§5. Khˆ ong gian h˜ u.u ha.n chiˆe `u ......

= 1 kA−1k − kA−Bk kxk. Vˆa.y B−1 ∈ L(X, Y).

4.3.4 Chuˆa’n tu.o.ng d¯u.o.ng

Cho X l`a mˆo.t khˆong gian vecto. v`ak.k1, k.k2 l`a hai chuˆa’n trˆenX (nhu. vˆa.y ta c´o hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n (X,k.k1) v`a (X,k.k2)). Ta goi hai chuˆa’n n`ay l`a tu.o.ng d¯u.o.ng nˆe´u ´anh xa. d¯ˆo` ng nhˆa´t id : (X,k.k1) → (X,k.k2) l`a ph´ep d¯ˆ` ngo phˆoi tuyˆe´n t´ınh.

V`ı id l`a mˆo.t song ´anh tuyˆe´n t´ınh nˆen theo Hˆe. qua’ 4.3.2, d¯iˆe` u kiˆe.n cˆa` n v`a d¯u’ d¯ˆe’ k.k1 tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i k.k2 l`a tˆ` n ta.i hai sˆo´ du.o.ngo c1, c2 sao cho v´o.i mo.i

x∈X, ta c´o

c1kxk1 ≤ kxk2 ≤ c2kxk1. (4.5)

Chu´ y´ r˘a`ng, trong thu.. c ha`nh d¯ˆe’ kiˆe’m tra 2 chuˆa’n tu.o.ng d¯u.o.ng ta thu.`o.ng thiˆ´t lˆe a.p bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c da.ng (4.5) na`y.

V´ı du. . Trong Rn ta x´et chuˆa’n k.k∞ d¯u.o.. c d¯i.nh ngh˜ıa

x= (x1, . . . , xn), kxk∞ = max

i=1,...,n(|xi|).

Khi d¯´o chuˆa’n n`ay tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i chuˆa’n Euclid trˆen Rn. (H˜ay ch´u.ng minh nhu. b`ai tˆa.p).

D- ˆe’ ´y r˘a`ng khi hai chuˆa’n k.k1, k.k2 tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i nhau th`ı hai mˆetric tu.o.ng ´u.ng s˜e tu.o.ng d¯u.o.ng d¯ˆ` u.e

4.4 Va`i tı´nh chˆa´t cu’a chuˆa’n trong khˆong gian thu.o.ng

Cho X la` mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n va` Y la` mˆo.t khˆong gian con d¯o´ ng cu’a no´ . Xe´ t khˆong gian thu.o.ng X/Y va` a´ nh xa. chiˆe´u chı´nh t˘a´c π : X → X/Y

xa´ c d¯i.nh bo’ i. x→ x.

4.4.1 D- i.nh ly´. π la` mˆo. t a´ nh xa. tuyˆ´n tı´nh liˆe en tu. c va` nˆ´ue π 6= 0 thı`

kπk= 1.

Ch´u.ng minh. Thˆa.t vˆa.y, v´o.i mo.i x∈X ta co´

kπxk =kxk ≤ kxk.

Nhu. thˆ´e π liˆen tu.c va` kπk ≤ 1. Nˆ´ue π 6= 0 thı` tˆ` n ta.io x ∈ X/Y : π(x) 6= 0. Theo d¯i.nh nghı˜a chuˆa’n trong khˆong gian thu.o.ng, v´o.i mˆo˜i n∈N tˆ` n ta.io xn ∈x

sao cho:

kxnk − 1

n <kπxk =kπxnk ≤ kπk kxnk.

Suy ra kxnk(1 − kπk) < 1

n. Lˆa´y gi´o.i ha.n du.´o.i bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c na`y va` d¯ˆe’ y´

kxnk ≥ kxk >0 ta co´ (lim

n infkxnk)(1− kπk)≤0 nˆen 1− kπk ≤0. Ngoa`i ra ta co´ kˆ´t qua’ thue ´ vi. sau:

4.4.2 D- i.nh ly´. Anh xa´ . π: X →X/Y la` mˆo. t a´ nh xa. mo’ , nghı˜a la. ` nˆ´ue G

la` tˆa. p mo’ trong. X thı` π(G) la` mˆo. t tˆa. p mo’ trong. X/Y.

Ch´u.ng minh. Tru.´o.c hˆ´t d¯ˆe’ ye ´ r˘a`ng x∈π−1(π(G)) tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i x=g

trong d¯o´ g ∈G hay x∈G+Y. D- iˆe` u na`y co´ nghı˜a la` π−1(π(G)) =G+Y. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Do d¯o´ nˆ´ue G la` tˆa.p mo’ trong. X thı`π−1(π(G)) cu˜ ng la` tˆa.p mo’ trong. X.

Bˆay gi`o. gia’ su.’ Gla` mˆo.t tˆa.p mo’ trong. X nhu.ngπ(G) khˆong mo.’ trongX/Y.

Khi ˆa´y tˆ` n ta.io ξ0 ∈π(G) khˆong pha’i la` d¯iˆe’m trong cu’a tˆa.p na`y nˆen (∀ n∈N) (∃ξn ∈X/Y, ξn ∈/ π(G)) : kξn−ξ0k < 1

n.

Lˆa´y x0 ∈ X sao cho πx0 = ξ0. Nhu. vˆa.y x0 ∈ π−1(π(G)). Ta d¯ˆe’ y´ r˘a`ng

ξn−ξ0 ={y−x0 | y ∈ξn} nˆen theo d¯i.nh nghı˜a chuˆa’n trong khˆong gian thu.o.ng, tˆ` n ta.io xn ∈ ξn sao cho kxn −x0k < 1

n. Vı` ξn ∈/ π(G) nˆen xn ∈/ π

M˘a.t kha´ c, π−1(π(G)) mo.’ va` x0 ∈π−1(π(G)) nˆen tˆ` n ta.io m >0 d¯ˆe’ B(x0, 1 m)⊂ π−1(π(G)) t´u.c la` nˆ´ue kx−x0)k < 1

m thı` x∈ π

−1(π(G)). D- iˆe` u na`y mˆau thuˆa˜n nˆ´u ta lˆe a´yx =xn v´o.i nd¯u’ l´o.n.

B `AI T ˆA. P

4.1. Cho C[0,1] l`a khˆong gian c´ac h`am liˆen tu.c trˆen [0,1] v´o.i chuˆa’n “max”. D- ˘a.t A: C[0,1] →C[0,1], x→Ax x´ac d¯i.nh bo’ i.

a) (Ax)(t) =t2x(0).

b) (Ax)(t) =ϕ(t)x(t), trong d¯´o ϕ(t)∈C[0,1]

c) (Ax)(t) =x(1)−tx(t).

d) (Ax)(t) =x(1)−x(1−t).

Ch´u.ng minh c´ac to´an tu.’ n`ay la` tuyˆ´n tı´nh, liˆen tu.c v`a h˜ay t´ınhe kAk.

4.2. ChoX, Y l`a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a A: X →Y l`a mˆo.t ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh. Gia’ su.’ v´o.i mo.i d˜ay (xn)n trong X m`a lim

n xn = 0 th`ı d˜ay (Axn)n bi. ch˘a.n o’ trong. Y. Ch´u.ng minh to´an tu.’ A liˆen tu.c.

4.3. Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, Y l`a khˆong gian con cu’a X

tr`u mˆa.t trong X v`a Z l`a khˆong gian Banach. Cho A ∈ L(Y, Z). Ch´u.ng minh r˘a`ng tˆo` n ta.i duy nhˆa´t ˜A∈ L(X, Z) sao cho

˜

A

Y =A; kA˜k=kAk.

4.4 . Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. Ch´u.ng to’ r˘a`ng khˆong tˆo` n ta.i c´ac to´an tu’ liˆen tu.c. u, v : X → X sao cho u◦v−v◦u= id.

4.5. ChoX, Y l`a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, (xn)n v`a (An)n lˆ` n lu.o.a . t l`a hai d˜ay trong X v`a L(X, Y) hˆo.i tu. vˆe` x ∈ X v`a A ∈ L(X, Y) tu.o.ng ´u.ng. Ch´u.ng minh Anxn → Ax khi n→ ∞.

4.6. Cho X, Y l`a hai khˆong gian Banach, A ∈ L(X, Y). Gia’ su.’ c´o c´ac sˆo´

|α| kyk, kxk ≤βkyk. Ch´u.ng minh r˘a`ng khi d¯´o v´o.i mo.i y ∈ Y th`ı phu.o.ng tr`ınh

Ax=y c´o nghiˆe.m x0 ∈X thoa’ d¯iˆ` u kiˆe.ne kx0k ≤ β

1−αkyk. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

4.7. K´y hiˆe.u X = C[0,1] l`a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v´o.i chuˆa’n “max”. X´et d˜ay to´an tu.’ An : X →X cho bo.’ i

(Anx)(t) = x(t1+n1), n∈N.

a. Ch´u.ng minh An ∈ L(X).

b. Ch´u.ng minh r˘a`ng v´o.i mo.i x∈X th`ıAnx →x trong X.

c. An c´o hˆo.i tu. trong L(X) d¯ˆe´n to´an tu.’ d¯ˆ` ng nhˆo a´t id =I hay khˆong? 4.8. Cho k.k1, k.k2 l`a hai chuˆa’n trong khˆong gian vecto. X. Gia’ su.’ X1 = (X,k.k1) l`a mˆo.t khˆong gian Banach c`on X2 = (X,k.k2) khˆong pha’i l`a khˆong gian Banach. Ch´u.ng minh r˘a`ng hai chuˆa’n n`ay khˆong tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i nhau.

4.9. Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, A : X → X l`a mˆo.t to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh sao cho trong X tˆ` n ta.i mˆo.t d˜ay (o xn)n, kxnk = 1 v`a Axn →0. Ch´u.ng minh r˘a`ng A khˆong tˆ` n ta.i to´an tu.’ ngu.o..c bi. ch˘a.n.o

4.10. Cho X l`a mˆo.t khˆong gian Banach v`a A ∈ L(X). Gia’ su.’ tˆ` n ta.i mˆo.to sˆo´c > 0 sao cho ∀x ∈X : kAxk ≥ ckxk. Ch´u.ng minh ImA=A(X) l`a khˆong gian con d¯´ong cua’ X.

4.11 K´y hiˆe.u X = C[01,1] l`a khˆong gian vecto. gˆ` m c´o ac h`am sˆo´x(t) kha’ vi

liˆen tu.c o’ trˆen [0,. 1]. V´o.i mˆo˜i x∈X ta xe´ t 2 chuˆa’n sau:

kxk1 = max t∈[0,1] |x0(t)|+|x(0)|, kxk2 = Z 1 0 (|x(t)|+|x0(t)|)dt.

Ch´u.ng minh r˘a`ng ´anh xa. d¯ˆo` ng nhˆa´t I : (X,k · k1) → (X,k · k2) cho bo.’ i

I(x) = x v´o.i mo.i x∈X l`a liˆen tu.c nhu.ng ´anh xa. ngu.o..c cu’a n´o khˆong liˆen tu.c.

§5. KH ˆONG GIAN H ˜U.U HA. N CHI` UEˆ

Gia’ su.’ (X,k.k) l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, trong d¯´o khˆong gian vecto.

X c´o sˆo´ chiˆ` u h˜e u.u ha.n (dimX <∞).L´uc d¯´o ta go.iX l`a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n h˜u.u ha. n chiˆ` ue (hay v˘a´n t˘a´t, khˆong gian h˜u.u ha. n chiˆ` u)e . Mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t cu’a loa.i khˆong gian n`ay cho bo’ i:.

5.1 D- i.nh l´y. Hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n trˆen tru.`o.ng K co´ cu`ng sˆo´ chiˆ` ue h˜u.u ha. n n la` d¯ˆ`ng phˆo oi tuyˆe´n t´ınh v´o.i nhau.

Ch´u.ng minh. T`u. tı´nh chˆa´t quan hˆe. d¯ˆo` ng phˆoi tuyˆ´n tı´nh lae ` quan hˆe. tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen tˆa.p ca´ c khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n nˆen ta chı’ cˆa` n ch´u.ng minh r˘a`ng nˆ´ue X l`a mˆo.t khˆong gian n - chiˆ` u thı`e X d¯ˆ` ng phˆo oi tuyˆ´n tı´nh v´e o.i khˆong gian Euclid Kn v´o.i chuˆa’n x= (ξ1, . . . , ξn)∈Kn th`ıkxk =

n

P

i=1

|ξi|21/2

.

V`ıX l`a khˆong gian vecto.n- chiˆ` u nˆen tˆe ` n ta.i mˆo.t co. so.’o {e1, . . . , en}trong d¯o´ v`a mo.i x∈X d¯u.o.. c biˆe’u diˆ˜n mˆo.t c´ach duy nhˆa´t du.´o.i da.nge x=

n

P

i=1

ξiei.

Do d¯´o to´an tu.’ “to.a d¯ˆo.” A : X →Kn cho bo.’ i

x→x= (ξ1, . . . , ξn)

l`a mˆo.t song ´anh tuyˆe´n t´ınh t`u.X lˆen Kn, d¯ˆ` ng th`o o.i v´o.i mo.i x∈X ta co´ : (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

kxk= Xn i=1 ξiei ≤ n X i=1 |ξi| keik ≤ n X i=1 |ξi|21/2 Xn i=1 keik21/2 =Mkxk, v´o.i M = n X i=1 keik21/2 .

Nhu. vˆa.y A−1 liˆen tu.c.

D- ˆe’ ch´u.ng minh A liˆen tu.c, ta k´y hiˆe.u m˘a.t cˆa` u d¯o.n vi.{x∈Kn : kxk = 1}

trong Kn l`a S v`a x´et h`am sˆo´f : S →R cho bo.’ i

f(x) = kxk. f l`a mˆo.t h`am sˆo´ liˆen tu.c v`ı v´o.i mo.i x, y∈S,

|f(x)−f(y)|=

kxk − kyk

≤ kx−yk ≤Mkx−yk.

Ho.n n˜u.a S l`a tˆa.p compact trong Kn nˆen f d¯a.t d¯u.o..c gi´a tri. b´e nhˆa´t f(x0) = α

trˆen d¯´o ta.i d¯iˆe’m x0 ∈ S. V`ıkx0k = 1 nˆen x0 6= 0, nhu. thˆe´ x0 6= 0. Do d¯´o nˆ´ue

x ∈S thı` kxk =f(x) ≥ α > 0. Bˆay gi`o. v´o.i x ∈ X, x 6= 0 th`ıAx = x 6= 0. Ta d¯˘a.t y = x

kAxk th`ı y = Ax

kAxk nˆen kyk = 1. Theo d¯iˆ` u v`e u.a ch´u.ng minh ta c´o

kyk ≥α haykxk ≥αkAxkt´u.c l`a kAxk ≤α−1kxk v´o.i mo.ix6= 0. Bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c n`ay c˜ung d¯´ung khi x= 0 nˆen A liˆen tu.c. Vˆa.yA l`a ph´ep d¯ˆ` ng phˆo oi tuyˆe´n t´ınh .

Nhˆa. n x´et. V´o.i ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh A x´ac d¯i.nh nhu. trˆen, Aluˆon luˆon l`a ph´ep d¯ˆ` ng phˆo oi tuyˆe´n t´ınh t`u.X lˆen Kn d`u cho trong X ta cho.n bˆa´t k`y chuˆa’n n`ao.

D- iˆe` u n`ay d¯u.o.. c suy ra t`u. khˆong gian Euclid Kn l`a khˆong gian Banach v`a

X d¯ˆ` ng phˆo oi tuyˆe´n t´ınh v´o.i Kn.

5.3 Hˆe. qua’. Gia’ su.’ X la` mˆo. t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n tuy` y´ va` Y la` mˆo. t khˆong gian con h˜u.u ha. n chiˆ` u cu’ae X. Khi d¯o´ Y la` mˆo. t khˆong gian con d¯o´ ng cu’a

X.

Ch´u.ng minh. Vı` Y h˜u.u ha.n chiˆe` u nˆen Y la` khˆong gian Banach. Gia’ su.’ (yn)n ⊂ Y sao cho yn → y ∈ X. Lu´ c d¯o´ thı` (yn)n la` da˜ y co. ba’n trong Y nˆen pha’i hˆo.i tu. vˆe` phˆ` n tu.a ’ y0 ∈ Y. Do tı´nh chˆa´t duy nhˆa´t cu’a gi´o.i ha.n, suy ra

y =y0 ∈Y.Vˆa.y Y la` tˆa.p d¯o´ ng trong X.

5.4 Hˆe. qua’. Hai chuˆa’n bˆa´t ky` trong mˆo. t khˆong gian vecto. h˜u.u ha. n chiˆ` ue d¯ˆ` u tu.o.ng d¯u.o.ng v´e o.i nhau.

Ch´u.ng minh. Gia’ su.’ X l`a n - chiˆ` u v`e a k.k1, k.k2 l`a hai chuˆa’n trong X.K´y hiˆe.u {e1, . . . , en} l`a mˆo.t co. so.’ trong X v`a X1 = (X,k.k1), X2 = (X,k.k2). X´et

x= n P i=1 ξiei ∈X va` d¯ˆe’ y´ X1 −→A Kn A −1 −→X2 x→(ξ1, . . . , ξn)→x

trong d¯´o A l`a to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh x´ac d¯i.nh t`u. X v`ao Kn nhu. o.’ D- i.nh l´y 5.1. Theo phˆ` n ch´a u.ng minh cu’a d¯i.nh l´y n`ay, A l`a ph´ep d¯ˆ` ng phˆo oi tuyˆe´n t´ınh, khˆong phu. thuˆo.c v`ao chuˆa’n trˆenX do d¯´o ´anh xa. d¯ˆo` ng nhˆa´t id= A−1◦A l`a ph´ep d¯ˆ` ngo phˆoi t`u.X1 lˆen X2. Vˆa.y hai chuˆa’n k.k1 v`a k.k2 l`a tu.o.ng d¯u.o.ng.

Mˆo.t tı´nh chˆa´t d¯a.i sˆo´ cu’a khˆong gian vecto. h˜u.u ha.n chiˆe`u d¯u.o..c d¯˘a.c tru.ng bo.’ i tı´nh chˆa´t tˆo pˆo cho bo.’ i D- i.nh ly´ 4.6 sau d¯ˆay. Tuy nhiˆen tru.´o.c hˆe´t ta pha´t biˆe’u va` ch´u.ng minh bˆo’ d¯ˆ` quan tro.ng:e

5.5 Bˆo’ d¯ˆ` .e (Riesz) Gia’ su.’ Y l`a mˆo. t khˆong gian con d¯´ong cu’a X va` kha´ c v´o.i X. Cho z0 ∈ X \Y v`a > 0. L´uc d¯´o tˆ`n ta.io x0 ∈ hY ∪ {z0}i sao cho

kx0k= 1, kx0−yk >1− v´o.i mo. i y ∈Y.

Ch´u.ng minh. V`ız0 ∈/ Y =Y nˆen

d=d(z0, Y) = inf (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

y∈Y

Cho >0 tuy` y´ . D- ˘a.t0 = min(,1

2)>0.Lˆa´yδ =

0d

1−0 >0 thı` 0 = δ

d+δ.

Theo d¯i.nh ngh˜ıa cu’a infimum, tˆo` n ta.i y0 ∈Y sao cho

d≤ kz0−y0k < d+δ.

D- ˘a.t x0 = z0−y0

kz0−y0k th`ıkx0k = 1 v`a x0 ∈ hY ∪ {z0} i.

Bˆay gi`o. v´o.i y ∈Y ta x´et d¯´anh gi´a

kx0−yk = z0−y0 kz0−y0k −y = 1 kz0−y0kkz0−(y0+kz0−y0ky)k V`ıy0+kz0−y0ky ∈Y nˆen t`u. (5.1) ta c´o kx0−yk ≥ d kz0−y0k > d d+δ = 1− δ d+δ = 1− 0 >1−

5.6 D- i.nh ly´. D- iˆe` u kiˆe.n cˆa` n va` d¯u’ d¯ˆe’ khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X co´ sˆo´ chiˆ` ue h˜u.u ha. n la` hı`nh cˆ` u d¯oa ´ ng d¯o.n vi. B0(0,1) trong X la` mˆo. t tˆa. p compact.

Ch´u.ng minh.

D- iˆe` u kiˆe.n cˆa` n: Gia’ su.’ X co´ sˆo´ chiˆ` u lae ` n thı` X d¯ˆ` ng phˆo oi tuyˆ´n tı´nh v´e o.i

Kn nh`o. a´ nh xa.Athiˆ´t lˆe a.p bo’ i D. - i.nh ly´ 5.1. Lu´c d¯o´ B0(0,1) =A−1 A(B0(0,1))

.

Vı` A la` phe´ p d¯ˆ` ng phˆo oi tuyˆ´n tı´nh nˆene A(B0(0,1)) la` mˆo.t tˆa.p d¯o´ ng va` bi. ch˘a.n trong Kn tha`nh thu.’ tˆa.p na`y la` compact. T`u. d¯o´ B0(0,1) la` tˆa.p compact vı` no´ la` a’nh liˆen tu.c cu’a tˆa.p compact A(B0(0,1)) qua a´ nh xa. liˆen tu.c A−1.

D- iˆe` u kiˆe.n d¯u’. Gia’ su.’X co´ sˆo´ chiˆ` u vˆe o ha.n. Ta ch´u.ng minh B0(0,1) khˆong