2. Lời giải bài toán H(n) cho trường hợp n=3,4,5 với tập điể mở vị trí bất
2.2.3. Chứng minh công thức H(n) cho trường hợp n=5 với tập điể mở vị trí bất kỳ
phẳng luôn tồn tại tứ giác lồi rỗng suy rộng.
2.2.3. Chứng minh công thức H(n) cho trường hợp n=5 với tập điểm ở vị trí bất kỳ trí bất kỳ
Ta cần chứng minh H(5) = 10 - Mọi tập gồm tối thiểu mười điểm ở vị trí bất kỳ trên mặt phẳng luôn tồn tại năm điểm lập thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
Ta lần lượt xét các khả năng sau (theo chiều giảm dần về số điểm của tập
∂Ω):
Trường hợp 1 (|∂Ω| = 10 ).
Gọi các đỉnh của ∂Ω lần lượt là V1,V2,...,V10. Hiển nhiên một xích có độ dài bằng năm tạo thành một ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.11.
Hình 2.11: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 10, chứa ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
Trường hợp 2 (|∂Ω| = 9 ).
Gọi các đỉnh của ∂Ω lần lượt làV1,V2,...,V9. Gọi điểm thuộc int{convΩ} là A. Ta có được cấu hình (9,1). Theo mệnh đề 5 đường thẳng AV1 chia mặt phẳng thành hai miền (I) và (II). Ta luôn có một miền chứa không ít hơn ba đỉnh của ∂Ω, ba đỉnh liên tiếp này kết hợp với A và V1 tạo thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.12.
Hình 2.12: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 9, chứa ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
Trường hợp 3 (|∂Ω| = 8 ).
Gọi các đỉnh của ∂Ω lần lượt là V1,V2,...,V8. Gọi các điểm thuộc
int{convΩ} là A và B. Ta có được cấu hình (8,2). Theo mệnh đề 6 đường
chứa không ít hơn 3 đỉnh của ∂Ω, ba đỉnh liên tiếp này kết hợp với A và B tạo thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.13.
Hình 2.13: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 8, chứa ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
Trường hợp 4 (|∂Ω| = 7 ).
Ta gọi các đỉnh của ∂Ω lần lượt là V1,V2,...,V7. Gọi các điểm thuộc
int{convΩ} là A, B và C. Ta có được cấu hình (7,3). Kẻ đường thẳng qua
A và B, đường thẳng AB chia mặt phẳng thành hai miền (I) và (II) và giả sử điểm C thuộc miền (I). Ta có hai khả năng sau:
• Khả năng thứ nhất: Miền (II) chứa không ít hơn ba đỉnh của ∂Ω, ba đỉnh liên tiếp này kết hợp với A và B tạo thành ngũ giác lồi suy rộng rỗng. Xem hình 2.14.
Hình 2.14: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 7, chứa ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
• Khả năng thứ hai: Ngược lại miền (I) sẽ chứa không ít hơn năm đỉnh của ∂Ω. Ta kết hợp lại các đỉnh trên miền (I) với A và B. Ta được cấu hình dạng (m,1) với m = 7. Theo mệnh đề 5 ta có được ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.15.
Hình 2.15: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 7, chứa ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
Trường hợp 5 (|∂Ω| = 6 ).
Ta gọi các đỉnh của ∂Ω lần lượt là V1,V2,...,V6. Ta xét hai cấu hình sau (6,4) và (6 , 3,1).
1. Cấu hình (6,4) Ta gọi các đỉnh của ∂Ω1 là A, B, C và D. Kẻ đường thẳng qua C và D, đường thẳng CD, chia mặt phẳng thành hai miền (I) và (II) và ta giả sử điểm A và B thuộc miền (I) (nếu không ta đổi tên các đỉnh A, B, C, D). Ta có hai khả năng sau:
• Khả năng thứ nhất: Miền (II) chứa không ít hơn ba đỉnh của ∂Ω, ba đỉnh liên tiếp này kết hợp với C và D tạo thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.16.
Hình 2.16: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 6, có cấu hình (6,4).
• Khả năng thứ hai: Ngược lại miền (I) sẽ chứa không ít hơn bốn đỉnh của ∂Ω. Ta kết hợp lại các đỉnh trên miền (I) với C và D. Ta được cấu hình dạng (k,2) với k ≥ 6. Theo mệnh đề 6 ta có
được ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.17.
Hình 2.17: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 6, có cấu hình (6,4).
2. Cấu hình (6,3,1) Gọi các đỉnh của ∂Ω1 là B, C, D và đỉnh thuộc
int{convΩ1} là A. Theo mệnh đề 3 cấu hình (6,3,1) có chứa ngũ giác
Hình 2.18: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 6, có cấu hình (6 , 3,1).
Trường hợp 6 (|∂Ω| = 5 ).
Gọi các đỉnh của ∂Ω lần lượt là V1,V2,...,V5. Ta xét các cấu hình sau: (5,5); (5,4,1) và (5 , 3,2).
1. Cấu hình (5,5) Gọi các đỉnh của ∂Ω1 là A, B, C, D và E. Hiển nhiên ta có ngũ giác lồi rỗng suy rộng ABCDE. Xem hình 2.19.
Hình 2.19: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 5, có cấu hình (5,5).
2. Cấu hình (5,4,1) Gọi các đỉnh của ∂Ω1 là B, C, D , E. Gọi đỉnh thuộc
int{convΩ1} là A. Khi đó ta chia mặt phẳng thành bốn miền sau: Xem hình 2.20.
Miền (I) được giới hạn bởi các tia AB và AC. Miền (II) được giới hạn bởi các tia AC và AD. Miền (III) được giới hạn bởi các tia AD và AE. Miền (IV) được giới hạn bởi các tia AE và AB.
Như vậy bao giờ cũng tồn tại một miền chứa không ít hơn hai
Hình 2.20: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 5, có cấu hình (5 , 4,1). đỉnh của ∂Ω,
ta giả sử là miền (I), các đỉnh này kết hợp cùng với A,B và C lập thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.21.
3. Cấu hình (5,3,2) Ta gọi các đỉnh của ∂Ω1 làC, D, E. Gọi các đỉnh thuộc
int{convΩ1} là A và B. Theo mệnh đề 4 cấu hình này cho ta ngũ giác lồi
rỗng suy rộng.
Trường hợp 7 (|∂Ω| = 4 ).
Gọi các đỉnh của ∂Ω lần lượt là V1,V2,...,V4. Ta xét các cấu hình sau: (4,6); (4,5,1); (4,4,2) và (4 , 3,3).
1. Cấu hình (4,6) Gọi các đỉnh của ∂Ω1 là A, B, C, D, E và F. Hiển nhiên năm đỉnh liên tiếp cho ta ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình
2.22.
Hình 2.22: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 4, có cấu hình (4,6).
2. Cấu hình (4,5,1) Gọi các đỉnh của ∂Ω1 là B, C, D, E, F, đỉnh thuộc
int{convΩ1} là A. Ta có hai khả năng sau:
• Khả năng thứ nhất. Điểm A thuộc vào phần trong của một trong các tam giác sau: BFC, FEB, EDF, DCE và CBD (ta giả sử là tam giác BFC). Khi đó điểm A ở vị trí lồi với tứ giác lồi CDEF. Vậy ACDEF tạo thành một ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình
• Khả năng thứ hai. Ngược lại điểm A không thuộc vào phần trong của một trong các tam giác trên. Khi đó ta chia mặt phẳng thành năm miền sau ( xem hình 2.24):
Miền (I) được giới hạn bởi các tia AB và AC. Miền (II) được giới hạn bởi các tia AC và AD.
Hình 2.23: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 4, có cấu hình (4 , 5,1).
Miền (III) được giới hạn bởi các tia AD và AE. Miền (IV) được giới hạn bởi các tia AE và AF.
Miền (V) được giới hạn bởi các tia AF và AB. Khi đó:
[i]Tồn tại một trong năm miền chứa ít nhất hai đỉnh của ∂Ω, ta giả sử là miền (I) và giả sử hai điểm đó là V1, V2. Khi đó ABV1V2C lập thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.25.
[ii] Ngược lại mỗi miền chứa nhiều nhất một đỉnh của ∂Ω, ta giả sử là miền (I) là miền không có đỉnh nào của ∂Ω - được tô mầu xanh, vì |∂Ω| = 4. Khi đó:
[*] Nếu có một đỉnh ∂Ω nằm trong vị trí lồi với các tứ giác lồi ABCD, ACDE, ADEF và AEFB ( miền gạch chéo), thì ta thu được ngũ giác lồi rỗng suy rộng (ta giả sử là miền (II) và đỉnh đó làV1 ). Khi đó ABCV1D lập thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.26.
Hình 2.26: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 4, có cấu hình (4 , 5,1).
[**] Ngược lại thì bốn đỉnh của ∂Ω phải thuộc vào đúng bốn miền (*), sao cho mỗi miền (*) chứa đúng một đỉnh của ∂Ω (còn một miền (*) thuộc phần trong của miền (I)). Như vậy có ba đỉnh liên tiếp nằm trong vị trí lồi với đường thẳng ED (hoặc EF). Do đó chúng cùng với ED (hoặc EF ) lập thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.27.
Hình 2.27: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 4, có cấu hình (4 , 5,1).
3. Cấu hình (4,4,2) Gọi các đỉnh của ∂Ω1 làC, D, E, F. Gọi các đỉnh thuộc int{convΩ1} là A và B. Chia mặt phẳng thành bốn miền sau (xem hình 2.28):
Miền (I) được giới hạn bởi các tia AC và AD.
Miền (II) được giới hạn bởi tia AD, đoạn AB và tia BE. Miền (III) được giới hạn bởi các tia BE và BF.
Hình 2.28: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 4 và có cấu hình (4 , 4,2).
• Khả năng thứ nhất Miền (II) hoặc miền (IV) chứa ít nhất một đỉnh của ∂Ω, ta giả sử là miền (II) và đỉnh đó là V1. Vậy ADV1EB lập thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.29
Hình 2.29: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 4 và có cấu hình (4 , 4,2).
• Khả năng thứ hai Ngược lại miền (I) hoặc miền (III) phải có một miền chứa nhiều hơn hai đỉnh của ∂Ω, giả sử là miền (I) và hai đỉnh đó là V1 và V2. Vậy ACV1V2D lập thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng.Xem hình 2.30.
4. Cấu hình (4,3,3) Gọi các đỉnh của ∂Ω1 là D, E, F. Gọi các đỉnh thuộc intΩ1 là A, B và C. Ta chia mặt phẳng thành ba miền sau ( xem
Hình 2.30: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 4 và có cấu hình (4 , 4,2).
hình 2.31):
Miền (I) được giới hạn bởi các tia AD và AF. Miền (II) được giới hạn bởi các tia BD và BE. Miền (III) được giới hạn bởi các tia CE và CF.
Như thế phải có một miền có nhiều hơn hai đỉnh của ∂Ω, ta giả sử
Hình 2.31: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 4 và có cấu hình (4 , 3,3).
là miền (I) và hai đỉnh đó là V1và V2. Khi đó AFV1V2D lập thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.32.
Trường hợp 8 (|∂Ω| = 3 ).
Gọi các đỉnh của ∂Ω lần lượt là V1,V2,V3. Ta xét các cấu hình sau: (3,7); (3,6,1); (3,5,2); (3,4,3); (3,3,4) và (3 ,3, 3,1).
Hình 2.32: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 4 và có cấu hình (4 , 3,3).
1. Cấu hình (3,7) Hiển nhiên thất giác thuộc int{convΩ} sẽ cho ta ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
2. Cấu hình (3,6,1) Cấu hình (3,6,1) chứa cấu hình con chuẩn tắc dạng (m,1) với m =6. Theo mệnh đề 5 cấu hình này chứa ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
3. Cấu hình (3,5,2)Cấu hình (3,5,2) chứa cấu hình con chuẩn tắc dạng (m,2) với m = 5. Theo mệnh đề 6 cấu hình này chứa ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
4. Cấu hình (3,4,3) Ta gọi các đỉnh của ∂Ω1 là D, E, F, G. Gọi các đỉnh thuộc int{convΩ1} là A, B và C. Ta có hai khả năng sau:
• Khả năng thứ nhất: Tồn tại một cạnh của tam giác ABC, mà trong nửa mặt phẳng không chứa đỉnh còn lại của tam giác có
đúng ba đỉnh của ∂Ω1, (ta giả sử như hình 2.33). Khi đó ABFGD lập thành một ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.33.
• Khả năng thứ hai: Ngược lại mỗi cạnh của tam giác ABC chia mặt phẳng thành hai miền và trong mỗi miền chứa đúng hai đỉnh của ∂Ω1. Khi đó ta chia mặt phẳng thành bốn miền sau. Xem
Hình 2.33: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 3 và có cấu hình (3 , 4,3).
hình 2.34:
Miền (I) được giới hạn bởi tia AE, đoạn AC và tia CD. Miền (II) được giới hạn bởi tia AE, đoạn AB và tia BF. Miền (III) được giới hạn bởi tia BF, đoạn BC và tia CG. Miền (IV) được giới hạn bởi các tia CD và CG.
Hình 2.34: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 3 và có cấu hình (3 , 4,3).
các tứ giác lồi tương ứng là ACDE, ABFE và BCGF. Như vậy phải tồn tại ít nhất một đỉnh của ∂Ω thuộc vào vị trí lồi với một trong các tứ giác lồi trên (vì bao lồi ngoài cùng là một tam giác – do đó muốn bao được cầu hình (4, 3) bên trong thì các đỉnh của nó không thể nằm về một nửa mặt phẳng của đường thẳng DG), ta giả sử đỉnh đó là V1 và thuộc vào miền (I). Vậy ta được ngũ giác lồi rỗng suy rộng ACDV1E. Xem hình 2.35.
Hình 2.35: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 3 và có cấu hình (3 , 4,3).
5. Cấu hình (3,3,4) Ta gọi các đỉnh của ∂Ω1 là E, F, G. Gọi các đỉnh thuộc int{convΩ1} là A, B, C và D. Ta có hai khả năng sau:
• Khả năng thứ nhất: Có ít nhất một đỉnh của ∂Ω1 nằm trong vị trí lồi với tứ giác lồi ABCD ( phần được gạch chéo). Khi đó đỉnh này kết hợp với tứ giác lồi ABCD để được ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.36.
Hình 2.36: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 3 và có cấu hình (3 , 3,4).
• Khả năng thứ hai: Ngược lại phải có ba đỉnh liên tiếp E, F, G của ∂Ω1 thuộc vào ba miền (*) liên tiếp, ta giả sử như hình sau (xem hình 2.37).
Gạch chéo các miền con bên ngoài tam giác lồi EFG mà nếu
Hình 2.37: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 3 và có cấu hình (3 , 3,4).
có một đỉnh của ∂Ω nằm trong vị trí lồi với các tứ giác lồiCBEF và CDGF. Như vậy phải tồn tại ít nhất một đỉnh của ∂Ω thuộc vào vị trí lồi với một trong các tứ giác lồi trên (vì bao lồi ngoài cùng là một tam giác – do đó muốn bao được cấu hình (3, 4) bên trong thì các đỉnh của nó không thể nằm về một nửa mặt phẳng
của đường thẳng FG). Do đó ta được ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.38.
6. Cấu hình (3,3,3,1) Ta gọi các đỉnh của ∂Ω1 là E, F, G. Gọi các đỉnh của ∂Ω2 là B, C, D và đỉnh thuộc int{convΩ2} là A. Ta chia mặt phẳng thành ba miền, xem hình 2.39:
Miền (I) được giới hạn bởi các tia AB và AC. Miền (II) được giới hạn bởi các tia AC và AD. Miền (III) được giới hạn bởi các tia AD và AB. Khi đó ta có hai khả năng sau:
Hình 2.38: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 3 và có cấu hình (3 , 3,4).
• Khả năng thứ nhất. Tồn tại một miền chứa đúng hai đỉnh của ∂Ω1. Giả sử là miền (I) và hai đỉnh đó là E và F. Vậy ta được ngũ giác lồi rỗng suy rộng là ABEFC. Xem hình 2.40.
• Khả năng thứ hai. Ngược lại mỗi miền (I), (II), (III) chứa đúng một đỉnh của ∂Ω1, ta giả sử đỉnh E thuộc miền (I), đỉnh F thuộc miền (II), đỉnh G thuộc miền (III). Khi đó ta chia lại mặt phẳng thành ba miền mới là (xem hình 2.41 ): Miền (IV) được giới hạn bởi các tia AB và AC.
Miền (V) được giới hạn bởi các tia AC và AD.
Miền (VI) được giới hạn bởi các tia AD và AB. Khi đó :
[i] Tồn tại một miền trong các miền (IV), (V), (VI) chứa đúng
Hình 2.41: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 3 và có cấu hình (3 ,3, 3,1).
hai đỉnh của ∂Ω. Giả sử là miền (IV) và hai đỉnh đó là V1 và V2. Vậy ta được ngũ giác lồi rỗng suy rộng là CEV1V2F. Xem hình 2.42.
[ii] Mỗi miền (IV), (V), (VI) chứa đúng một đỉnh của ∂Ω. [*] Tồn tại một đỉnh của ∂Ω nằm trong vị trí lồi với các tứ giác
(miền gạch chéo):
ABEC và ACFD trong miền ( IV ). ACFD và ADGB trong miền ( V ). ADGB và ABEC trong miền ( VI ).
Hình 2.42: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 3 và có cấu hình (3 ,3, 3,1).
đỉnh V1 nằm trong vị trí lồi của tứ giác lồi ABEC. Vậy ta có được ngũ giác lồi rỗng suy rộng ABEV1C. Xem hình
2.43.
[**] Ngược lại mỗi miền (*) chứa đúng một đỉnh của ∂{convΩ}. Khi đó với hai đỉnh của ∂Ω thuộc hai miền (*) liên tiếp chúng luôn nằm trong vị trí lồi với một trong các tam giác
CEF, DFG và tam giác BEG. Vậy ta có được ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.44.
Hình 2.44: Tập 10 điểm có |∂Ω| = 3 và có cấu hình (3 ,3, 3,1).
Như vậy ta đã chứng minh được các công thức:
H(3) = 3, H(4) = 5, H(5) = 10.
Chứng minh giả thuyết Erdos-Szekeres¨ với trường hợp n=6 trong một số trường hợp riêng.
Trong chương này chúng tôi trình bày lại một cách tóm lược công trình của Knut Dehnhardt, Heiko Harboth và Zsolt Lángi [9] đã chứng minh cho giả thuyết Erdos-Szekeres¨ với trường hợp n = 6 trong một số trường hợp riêng mà không sử dụng máy tính.