10 thực chất là ta viết số đú dưới dạng tường minh qua tổng cỏc lũy thừa của và tớnh số tổng ấy.
Vớ dụ:
+6
2.2.6. Chuyển biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số sang hệ đếm cơ số cơ số
Để chuyển biểu diễn của một số hệ đếm cơ số sang hệ đếm cơ số ta sẽ sử dụng hệ đếm cơ số 10 làm trung gian.
Bước 1: Chuyển số từ hệ đếm cơ số sang hệ đếm cơ số 10. Bước 2: Chuyển số từ hệ đếm cơ số 10 sang hệ đếm cơ số . Vớ dụ: Chuyển số sang hệ đếm cơ số 3
Bước 1: Bước 2:
.
.
2.3. Một số bài toỏn giải bằng phương phỏp
biểu diễn số trong hệ đếm khụng phải là hệ thập phõn
Ta biết cỏch biểu diễn số trong hệ đếm với cơ số khỏc nhau, và cỏch chuyển từ hệ đếm cơ số này sang hệ đếm cơ số khỏc. Sau đõy ta sẽ thấy
rừ mối quan hệ giữa cỏch biểu diễn số trong hệ đếm với cơ số khỏc nhau và tớnh chất nguyờn tố, tớnh chia hết, phương trỡnh hàm… thụng qua cỏc bài toỏn sau đõy:
Bài toỏn 1: Cho và là hai số nguyờn dương. Kớ hiệu là tổng số cỏc số đó dựng khi biểu diễn số trong hệ đếm cơ số Tỡm tất cả cỏc số nguyờn tố biết rằng khi biểu diễn trong hệ đếm cơ số 31, thỡ là một hợp số. Tỡm số nguyờn tố bộ nhất trong cỏc số đang xột.
Giải: Vỡ tức là:
Vỡ vậy, nếu là số nguyờn tố và giả sử thỡ:
a) Nếu thỡ
b) Nếu thỡ
Như vậy, ta đó chứng minh được nếu:
(1) Ta cú:
Suy ra: (2) Do là số nguyờn tố (dĩ nhiờn ta chỉ xột khi vỡ khi
thỡ vỡ lỳc đú cũn
khụng chia hết cho 3, khụng chia hết cho 5 suy ra khụng chia hết đồng thời cho 2, 3, 5.
Kết hợp với (1) và là hợp số, nờn chỉ cú thể là:
(Cú thể thấy ngay sau khi thấy rằng cỏc số nguyờn tố 79 là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 27, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79. Ngoài cỏc số nguyờn tố ấy ra trừ 49 và 77 cũn lại cỏc hợp số khỏc đều chia hết cho ớt nhất một trong ba số 2, 3, 5).
Xột hai trường hợp sau:
1) Nếu . Gọi là số mà trong đú
. Số nhỏ nhất thoả món điều kiện này là số
Khi đú Mặt khỏc, dễ thấy 619 lại
là số nguyờn tố. Từ đú suy ra ngay trong cỏc số nguyờn tố mà thỡ số nguyờn tố nhỏ nhất là số 619.
2) Nếu Ta thấy nếu là số tuỳ ý thoả món điều (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
kiện , mà thỡ số
Rừ ràng Vỡ lẽ đú suy ra nếu cú sú nguyờn tố mà
, mà thỡ chắc chắn
Kết hợp lại ta đi đến kết luận: Số nguyờn tố thoả món mọi yờu cầu của bài toỏn là số . Đú là số duy nhất cần tỡm.
Bài toỏn 2: Giả sử là số nguyờn dương. Giả sử dưới dạng nhị phõn
cú dạng . Đặt . Khi đú với
mọi nguyờn dương, ta cú cỏc hệ thức sau:
.
Chứng minh:
1) Xột hệ thức
Giả sử dưới dạng nhị phõn, thỡ cú dạng:
(1) Khi đú, dựa vào phộp chia:
suy ra trong hệ thức phõn, thỡ: (2) Từ (1) và (2) suy ra:
(3) Bõy giờ ta đi đến hệ thức:
2)Xột hệ thức
suy ra dưới dạng nhị phõn thỡ: Ta cú: (4) (5) (6) Từ (4) và (5) ta thu được: (7) Theo (6), thỡ vế phải của (7) bằng . Vỡ lẽ ấy ta cú:
3)Xột hệ thức
Do đú, nếu , thỡ dựa vào phần 2), suy ra:
Vỡ thế:
(8)
Từ (4) và (5) ta cú:
(9) Dễ thấy (suy từ (8) vế phải của (9) bằng . Chớnh vỡ thế, ta đi đến hệ thức sau:
■
2.4. Ứng dụng của hệ đếm trong mỏy tớnh
2.4.1. Sử dụng mỏy tớnh để đổi biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số sang hệ đếm cơ số
a) Sử dụng mỏy tớnh khoa học (hoặc cỏc loại mỏy
tớnh khỏc cú chức năng tương đương)
Cỏc mỏy tớnh khoa học (Scientific Caculator) được trang bị bốn hệ đếm là hệ đếm cơ số 10 (decimal, viết tắt là Dec), hệ đếm cơ số 2
hệ đếm cơ số 16 (hexadecimal system, được viết tắt là Hex). Do vậy ta cú thể chuyển biểu diễn của một số nguyờn dương (trong phạm vi 10 chữ số giữa cỏc hệ đếm cú cơ số là 2, 8, 10, 16). Mặc dự cũn một số hạn chế, cỏc mỏy tớnh khoa học tương đối thuận tiện cho việc đổi cơ số. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Để chuyển đổi biểu diễn của một số trờn mỏy tớnh khoa học ta bấm phớm khi đú trờn màn hỡnh xuất hiện chữ Dec tức là ta đang ở hệ đếm cơ số 10. Ta nhập số trong hệ đếm cơ số 10 và ấn phớm . Muốn chuyển số đú sang hệ đếm cơ số nào thỡ ta ấn phớm tương ứng sẽ được kết quả hiện trờn màn hỡnh.
Vớ dụ 1: Chuyển số 1234567898 thành số trong hệ cơ số 8.
Vào chương trỡnh đổi cơ số chuyển số 1234567898 từ cơ số 10 sang cơ số 8:
Vậy (số trong ngoặc là đỏp số trờn màn hỡnh)
.
Vớ dụ 2:
Chuyển số thành số trong hệ đếm cơ số 8. Vào chương trỡnh làm việc với cơ số 2:
Khai bỏo và chuyển sang cơ số 8:
Vậy
Vớ dụ 3: Chuyển số sang hệ đếm cơ số 16. Vào chương trỡnh làm việc với cơ số 8:
Vậy
b) Sử dụng mỏy tớnh Calculator được cài đặt trờn Window
Calculator được cài đặt sẵn trờn Window nờn rất tiện sử
dụng.Calculator được trang bị bốn hệ đếm là hệ đếm cơ số 10, hệ đếm cơ số 2, hệ đếm cơ số 8 và hệ đếm cơ số 16. Calculator cho phộp đổi biểu diễn của một số nguyờn dương giữa cỏc hệ đếm cú cơ số là 2, 8, 10, 16 với những số lớn (trong phạm vi 33 chữ số) mà mỏy tớnh khoa học khụng làm được. Cỏch thực hiện cỏc thao tỏc chuyển đổi giống như với mỏy tớnh khoa học.
Vớ dụ 1: Chuyển số 123456789098 thành số trong hệ đếm cơ số 2.
Vào Calculator và khai bỏo 123456789098 trong hệ đếm cơ số 10:
Chuyển sang hệ đếm cơ số 2:
Vậy:
.
Vớ dụ 2:
Chuyển số thành hệ đếm cơ số 16.
Vào Calculator và khai bỏo trong hệ
đếm cơ số 8:
Khai bỏo và chuyển sang hệ đếm cơ
Vậy
Cỏc mỏy tớnh khoa học và mỏy tớnh Calculator đều chỉ chuyển đổi một số nguyờn dương giữa cỏc hệ đếm với cơ số là 2, 4, 8, 16. Muốn chuyển đổi số giữa cỏc hệ đếm với cơ số bất kỡ và chuyển đổi số thập phõn thỡ ta phải sử dụng cỏc chương trỡnh cao cấp hơn, thớ dụ phần mềm
Maple.
2.4.2. Sử dụng phần mềm Maple để chuyển đổi biểu diễn của một số
Maple là phần mềm toỏn học với nhiều tiện ớch. Nú cú khả năng
tớnh toỏn trờn cỏc số rất lớn. Maple cho ta một cụng cụ tốt để triển khai cỏc thuật toỏn cú độ phức tạp cao mà khụng cần một mẹo thủ cụng nào cú thể thay thế được. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a) Sử dụng Maple để chuyển đổi biểu diễn số từ hệ đếm cơ số 10 sang hệ đếm cơ số 2, 8, 16
Khai bỏo cõu lệnh:
convert (a , binary); Hoặc
convert (a , octal); Hoặc
convert (a , hex);
Và kết thỳc bằng việc bấm phớm “Enter” trong đú a là số trong cơ số 10.
Vớ dụ 1:
convert (1234567890989865431209876543 ,binary);
1111111101001101011110101101111001011111111001010010100011 10010010101111000001110000111111
Vớ dụ 2:
convert (123456789098986543120987654334567 ,octal); 302617463156210460560574311046424147
Vậy
.
b) Sử dụng Maple để chuyển đổi biểu diễn số từ hệ đếm cơ số 10 sang hệ đếm cơ số
Khai bỏo cõu lệnh:
convert (a, base, k)
và kết thỳc bằng cỏch bấm phớm “Enter” để được kết quả.
Trong trường hợp này kết quả được hiện ra là cỏc chữ số từ hàng thấp đến hàng cao, cho nờn khi viết kết quả ra giấy ta phải viết theo kết quả ngược lại với thứ tự hiện ra trờn màn hỡnh.
Vớ dụ 1: convert (12345678987654321 ,base, 16); Vậy: 12345678987654321= Vớ dụ 2: convert (12345678987654321456758 ,base, 9); Vậy:
c) Sử dụng Maple để chuyển đổi biểu diễn số từ hệ đếm cơ số sang hệ đếm cơ số
Khai bỏo cõu lệnh:
convert (a, decimal, k)
và kết thỳc bằng cỏch bấm phớm “Enter” để được kết quả.
Chỳ ý: Nếu trong biểu diễn của a cú chữ số lớn hơn 10 thỡ phải viết trong dấu ‘ ’ hoặc “ ”
Vớ dụ:
convert(‘1234567890ABCD1234567890ADCBBBCCDDA’, decimal, 14);
Vậy:
d) Sử dụng Maple để chuyển đổi biểu diễn số từ hệ đếm cơ số sang hệ đếm cơ số
Khai bỏo cõu lệnh:
convert ( , base, ); kết thỳc bằng cỏch bấm phớm “Enter” . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ở đõy được viết trong ngoặc vuụng với cỏc chữ số bắt đầu từ hàng thấp đến hàng cao; giữa mỗi chữ số được ngăn cỏch bởi dấu phẩy. Kết quả là số viết từ hàng thấp đến hàng cao mỗi chữ số cũng được ngăn cỏch bởi dấu phẩy, do vậy khi viết kết quả thỡ cũng phải viết theo thứ tự ngược lại với kết quả trờn màn hỡnh.
convert ; Vậy . Vớ dụ 2: convert ; Vậy . Ở đõy ta đặt .
Ngoài ra ta cú thể sử dụng cỏch khỏc như sau:
Bước 1: Chuyển từ hệ đếm cơ số thành số trong hệ đếm cơ số 10. Bước 2: Chuyển từ hệ đếm cơ số thành số trong hệ đếm cơ số .
Vớ dụ 1: convert (1234567876543210076, decimal, 9); 189963513971841669 Vớ dụ 2: convert (189963513971841669, base, 12); Vậy , trong đú . 2.5. Sử dụng lớ thuyết hệ đếm để giải một số bài toỏn thi quốc tế
Trong phần này chỳng ta đề cập tới một số bài toỏn được phỏt biểu bằng ngụn ngữ hệ đếm hoặc sử dụng những kiến thức về hệ đếm để giải. Khi sử dụng hệ nhị nhõn và hệ tam phõn ta cú một số tớnh chất sau:
1) Nếu thỡ: 2 , , 2
Tương tự hệ đếm cơ số 3 ta cú:
2) Nếu thỡ:
Bài toỏn 1: (Vụ địch Trung Mỹ, 1989)
Cho hàm số thỏa món .
Tỡm tất cả cỏc số sao cho tồn tại để cho .
Giải: (Sử dụng hệ nhị phõn)
Vỡ với mọi tức
là và đều được tớnh theo nờn ta nghĩ tới viết cỏc số trong hệ nhị phõn. Ta cú
Qui luật giỏ trị của hàm số viết trong cơ số 3 cú cỏc chữ số chớnh là cỏc chữ số của viết trong hệ đếm cơ số 2, tức là khi:
thỡ: =
Chứng minh: Giả sử cụng thức (1) đỳng với mọi . Ta chứng minh nú đỳng với . Nếu lẻ thỡ . Nếu thỡ Theo qui nạp ta cú Vậy . Nếu chẵn thỡ ta cú
Vậy mọi trường hợp ta đều cú
Từ chứng minh trờn ta cú: Tất cả cỏc số tự nhiờn cần tỡm sao cho tồn tại số tự nhiờn để cho chớnh là tập cỏc số tự nhiờn được viết trong cơ số 3 mà khụng cú chữ số 2. ■
Giả sử cú và hai điều kiện sau đõy được thỏa món với mọi số nguyờn dương n:
1)
2) .
Tỡm tất cả cỏc nghiệm nguyờn của phương trỡnh:
Giải: Vỡ và 1+ nguyờn tố cựng nhau nờn từ điều kiện 1) suy ra chia hết cho tức là với là số nguyờn dương nào đú.
Từ điều kiện 2) suy ra hay với mọi
Từ điều kiện 1) suy ra (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Như vậy ta trở về bài toỏn 1. Suy ra viết trong cơ số 3 cú cỏc chữ
số chớnh là cỏc chữ số của khi tức là:
Bởi vỡ nờn số nghiệm của phương trỡnh cũng chớnh là cỏch viết số dưới dạng tổng của 2 số trong hệ đếm cơ số 3 mà cỏc chữ số của nú chỉ cú thể là 0 hoặc 1. Nhận xột rằng trong hệ đếm cơ số 2 cộng như vậy sẽ khụng cú nhớ. Vỡ vậy cả hai phải cựng là 0 tại vị trớ thứ 2(từ bờn trỏi) cựng là 1 tại vị trớ thứ tư và thư sỏu. Tại vị trớ thứ nhất, thứ ba, thứ năm một số cú chữ số là 0 và một số cú chữ số là 1. Như vậy ta cú bốn khả năng sau:
1) 2) 3)
4)
Vậy đối với cỏc phương trỡnh đó cho xảy ra 4 trường hợp sau:
hay
hay
hay
hay
Như vậy ta cú 8 cặp nghiệm sau:
= . ■
Nhận xột: Đõy là cỏc bài toỏn giải phương trỡnh hàm thường rất hay gặp
ở cỏc kỡ thi học sinh giỏi. Ta nhận thấy rằng trong phỏt biểu của bài toỏn khụng cú liờn quan tới hệ đếm, nhưng khi giải chỳng thỡ phải sử dụng tới cỏc hệ đếm (cơ số 2, cơ số 3,...). Do vậy hệ đếm cú thể được xem như một phương phỏp để giải một lớp cỏc bài toỏn về phương trỡnh hàm trờn tập số tự nhiờn.
Bài toỏn 3: (Thi trắc nghiệm học sinh giỏi toỏn toàn nước Mỹ, 1981)
Trong hệ đếm cơ số 8 cho một số chớnh phương trong đú . Vậy bằng (chọn một trong năm đỏp số sau) :
c) 3 d) 4 e) Khụng xỏc định một cỏch duy nhất.
Giải: Ta cú .
Nếu là số chẵn, thỡ chia hết cho 4. Do đú số dư khi chia cho 8 chỉ cú thể là 0 hoặc 4.
Nếu lẻ tức là khi đú:
.
Vỡ luụn chẵn nờn khi chia cho 8 luụn cú
số dư là 1. Như vậy trong mọi trường hợp, số chỉ cú thể là 0, 1 hay 4. Nếu thỡ
vụ lý vỡ 8 khụng phải là số chớnh phương.
Nếu thỡ
vụ lý vỡ khụng cú số chớnh phương lẻ nào cú dạng .
Vậy suy ra và nhận một trong 3 giỏ trị Bỡnh phương cỏc số này tương ứng là
Vậy ta chọn đỏp ỏn a). ■
Một số đề thi toỏn vụ địch của cỏc nước
Bài toỏn 1: (Vụ địch Hàn Quốc, 1997) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Một từ được mó húa bằng 8 chữ số, mỗi chữ số bằng 0 hoặc bằng 1. Gọi là hai từ cú đỳng ba vị trớ cỏc chữ số khỏc nhau. Chứng minh rằng tổng số tất cả cỏc từ khỏc với mỗi một trong hai từ ớt nhất 5 vị trớ chữ số bằng 38..
Bài toỏn 2: (Dự tuyển vụ địch quốc tế lần thứ 34,1993)
Gọi là số cỏc dóy với trong đú khụng
cú sỏu cụm phần tử nào bằng nhau. Vớ dụ khụng chấp nhận được do cú sỏu
cụm giống nhau là . Chứng minh rằng: .
Bài toỏn 3: (Vụ địch toỏn toàn nước Mỹ, 1996; Vụ địch Trung Quốc, 1997)
Gọi là số cỏc dóy nhị phõn độ dài khụng chứa 3 số hạng liờn tiếp 0,1,1 trong mỗi dóy. Gọi là số cỏc dóy nhị phõn độ dài khụng chứa 4 số hạng liờn tiếp 0,0,1,1 hoặc 1,1,0,0 (theo thứ tự như thế) trong mỗi dóy. Chứng minh rằng với mọi số nguyờn dương ta cú .
Bài toỏn 4: (Vụ địch Nhật Bản, 1996)
Cho một số thực thỏa món . Với một số viết trong
hệ nhị phõn
Ta
định nghĩa như sau: . Chứng tỏ
rằng tồn tại vụ hạn số nguyờn sao cho khụng cú số nguyờn nào để .
Bài toỏn 5: (Dự tuyển vụ địch quốc tế lần thứ 41, 2000)
Hàm số được xỏc định trờn tập hợp cỏc số nguyờn khụng õm và nhận giỏ trị trờn tập hợp cỏc số nguyờn khụng õm, thừa món cỏc điều kiện sau
2) ; 3)
Chứng minh rằng, với mỗi số nguyờn dương , số cỏc số nguyờn dương
KẾT LUẬN
Với mục đớch tỡm hiểu lý thuyết hệ đếm và ứng dụng, luận văn cú cỏc nội dung chủ yếu sau đõy:
1. Trỡnh bày cỏc kiến thức cơ sở của hệ thập phõn; một số tớnh chất
của cỏc hàm số số học S(n), T(n) liờn quan đến biểu diễn số tự nhiờn n và cỏc bài toỏn cú sử dụng biểu diễn số trong hệ thập phõn.
2. Giới thiệu lớ thuyết biểu diễn số trong cỏc hệ đếm khụng phải là
hệ thập phõn.
3. Giới thiệu cỏc thuật toỏn chuyển đổi biểu diễn của một số từ hệ
đếm cơ số này sang hệ đếm cơ số khỏc.
4. Thực hành mỏy tớnh để chuyển đổi biểu diễn của một số qua cỏc
hệ đếm cơ số khỏc nhau.
5. Tỡm tũi một số phương phỏp giải cỏc bài toỏn cú sử dụng biểu
diễn số trong cỏc hệ đếm khụng phải là hệ thập phõn; giới thiệu một số đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế cú ứng dụng hệ đếm.
TÀI LIỆU THAM KHẢO (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[1]. Phan Huy Khải (2006), Các chuyên đề số học bồi dỡng học sinh giỏi toán trung học, NXB Giáo dục, Hà Nội.
[2]. Hà Huy Khoái (2004), Số học, NXB Giáo dục, Hà Nội.
[3]. Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[4]. Nguyễn Thành Quang (2003), Số học hiện đại, Trờng Đại học Vinh.
[5]. Nguyễn Thành Quang (2011), Lý thuyết trờng và ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[6]. Đàm Văn Nhỉ, Lu Bá Thắng, Nguyễn Việt Hải (2006), Số học, Tr- ờng Đại học S phạm Hà Nội.
[7]. Z. I. Borevic and R. I. Shafarevich (1966), Number Theory, Acamedic Press.
[8]. D. M. Burton (2002), Elementary Number Theory, Tata McGraw- Hill Company, New Delhi.
[9]. Sanchez, Julio; Canton, P. Maria (2007), Microcontroller programming: the microchip PIC, Boca Raton, FL: CRC Press. [10]. S. G. Telang (2001), Number Theory, Tata McGraw - Hill