Câu 68 Cho hàm sốy =( x+1 )2 (x −1)
KSHS 05: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
• PT x3 − 3x2 = m3 − 3m2 ⁄ −x3 + 3x2 + 1 = −m3 + 3m2 + 1. Đặt k = −m3 + 3m2 + 1
Số nghiệm của PT bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng d: y = k
Dựa vào đồ thị (C) ta cĩ PT cĩ 3 nghiệm phân biệt ⁄ 1 < k < 5 ⁄ m (−1;3) \ {0; 2}
2) Tìm m để phương trình | x4 − 5x2 + 4 |= log m cĩ 6 nghiệm.
9 9
•Dựa vào đồ thị ta cĩ PT cĩ 6 nghiệm ⁄ log12
m = ⁄ m = 124 = 144 4 12 .
4
Câu 87. Cho hàm số y = f (x) = 8x4 − 9x2 + 1.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2)Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 8 cos4 x − 9 cos2
x + m = 0 với x [0;π ] •Xét phương trình: 8 cos4 x − 9 cos2
x + m = 0
với x [0;π] (1)
Đặt t = cos x , phương trình (1) trở thành: 8t4 − 9t2 + m =
0 (2)
Vì x [0;π] nên t [−1;1] , giữa x và t cĩ sự tương ứng một đối một, do đĩ số nghiệm của phương trình (1) và (2) bằng
nhau. Ta cĩ: (2) ⁄ 8t4 − 9t2
+ 1 = 1 − m
Gọi (C1): y = 8t4 − 9t2 + 1 với t
[−1;1]
hồnh độ giao điểm của (C1) và (d).
(3)
và (d): y = 1 − m . Phương trình (3) là phương trình
Chú ý rằng (C1) giống như đồ thị (C) trong miền −1 ≤ x ≤ 1
. Dựa vào đồ thị ta cĩ kết luận sau:
m < 0 m = 0 0 < m < 1 1 ≤ m < 81
32 m =3281 m >3281
vơ nghiệm 1 nghiệm 2 nghiệm 4 nghiệm 2 nghiệm vơ nghiệm
Câu 85. Cho hàm số y = − x3 + 3x2 + 1 .
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2)Tìm m để phương trình x3 − 3x2 = m3 − 3m2 cĩ ba nghiệm phân biệt.
Câu 86. Cho hàm số y = x4 − 5x2 + 4 cĩ đồ thị (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2
x − 2
Câu 88. Cho hàm số y = 3x − 4 (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm các giá trị của m để phương trình sau cĩ 2 nghiệm trên đoạn ⊆0; 3 : sin6 x + cos6 x = m ( sin4 x + cos4 x)
•Xét phương
trình: sin6 x + cos6 x = m ( sin4 x + cos4 x) (*)
⁄ 1− 3 sin2 2x = m ⊇ 1− 1 sin2 2x ⁄sin2 4 − 3sin2 2x = 2m(2 − 2x) (1) 4 ℑ 2 ⊄ ↓ Đặt t = sin2 2x . Với x ∪ 0; 2π thì t [0;1] . Khi đĩ (1) trở thành: ⊆ 3 ∈ Trang 31 ∪ 2π ∈
100 Khảo sát hàm số
2m = 3t − 4 với t ∪0;1
t − 2 ∈
Nhận xét : với mỗi t ∪0;1 ta cĩ : ∪sin 2x = − t
⁄ sin 2x = t
∈ ⊆
∈sin2x =t
∪ 2π ∪ 3 ∪ 3
Để (*) cĩ 2 nghiệm thuộc đoạn ∈⊆0; 3 thì t ⊆∈⊆ 2 ;1 φι ↓ t ∈⊆4 ;1↓
Dưa vào đồ thị (C) ta cĩ: y(1) < 2m ≤ y ⊇ 3 ⁄ 1 < 2m ≤ 7 ⁄ 1 < m ≤ 7 . ℑ 4 5 2 10 ⊄ ↓ Câu 89. Cho hàm số y = x +1. x −1
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
x + 1 2)Biện luận theo m số nghiệm của phương trình = m.
x −1 • Số nghiệm của x + 1
= m bằng số giao điểm của đồ thị (C′): y = x +1 và y = m.
x −1 x −1
Dựa vào đồ thị ta suy ra được:
Câu 90. Cho hàm số: y = x4 − 2x2 + 1 .
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2)Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4 − 2x2 + 1 + log m = 0 (m > 0)
2
• x4 − 2x2 + 1 + log m = 0 ⁄ x4 − 2x2 + 1 =− log m (*)
2 2
+ Số nghiệm của (*) là số giao điểm của 2 đồ thị y = x4 − 2x2 + 1 và y =− log m
2
+ Từ đồ thị suy ra: