2 ,
với mọin ≥ n0. Chon →+∞ta suy ra
p(y, z) ≤p(y, z)−ϕ p(y, z) 2 ,
điều này chỉ xảy ra nếup(y, z) = 0, hayy = z.
Bây giờ, với bất kỳx ∈ Y, nhờ Bổ đề 2.2.3 và Bổ đề 2.2.5 ta có
p(yn+1, fn(x)) ≤ p(yn+1, z) +p(z, fn(x)) →0, khi n→ +∞.
2.2.8 Hệ quả. ([2]) Giả sử A1, A2, ..., Am là họ hữu hạn các tập con đóng khác rỗng của không gian mêtric đầy đủ (X, d) và giả sử rằng ánh xạ
f : m m S i=1 Ai → m S i=1
(i) f (A1) ⊂ A2, f(A2) ⊂A3, ..., f (Am) ⊂ A.
(ii) Tồn tạik thuộc đoạn[0,1]sao chod(f(x), f(y)) ≤kd(x, y)với mọi x ∈ Ai, y ∈ Ai+1 với 1≤ i ≤ m và Am+1 = A1 .
Khi đóf có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Bằng cách chọn hàm số ϕ : [0,+∞) → [0,+∞) cho bởi công thức ϕ(t) = (1−k)t với mọi t ∈ [0,+∞), trong đó k ∈ (0,1). Khi đó, hệ quả được chứng minh nhờ Định lý 2.2.6.
Ký hiệu Ψ là họ các hàm ψ : [0,+∞) → [0,+∞) sao cho hàm ϕ : [0,+∞) → [0,+∞) được xác định bởi công thức ϕ(t) = t−ψ(t) với mọi
t ∈ [0,+∞) thuộc vào họ Φ. Khi đó, từ Định lý 2.2.6 ta thu được kết quả sau
2.2.9 Hệ quả. ([2]) Giả sử A1, A2, ..., Am là họ hữu hạn các tập con đóng khác rỗng của không gian mêtric đầy đủ (X, d) và giả sử ánh xạ f :
m S i=1 Ai → m S i=1
Ai thỏa mãn điều kiện
(a) f (A1) ⊂A2, f (A2) ⊂A3, ..., f (Am) ⊂ A1.
(b) Tồn tại ψ ∈ Ψ sao cho d(f(x), f(y)) ≤ ψ(d(x, y)) với mọi
x ∈ Ai, y ∈ Ai+1, 1 ≤ i ≤ m vàAm+1 = A1.Khi đóf có duy nhất một điểm bất động. Khi đóf có duy nhất một điểm bất động.
Tương tự như Định lý 2.1.7, khi xét các phép ϕ-co cyclic cho các không gian mêtric riêng, vớiϕ ∈ Φ ta có kết quả sau.
2.2.10 Định lý. ([2]) ChoX là tập khác rỗng,pvàρlà hai mêtric riêng trên
X,mlà số nguyên dương,A1, A2, ..., Am là các tập con đóng khác rỗng của m
(a) A1, A2, ..., Am là một biểu diễn cyclic của Y đối với f; (b) p(x, y) ≤ ρ(x, y), với mọi x, y ∈ Y.
(c) (Y, p) là không gian mêtric riêng0-đầy đủ. (d) f : (Y, p) →(Y, p)liên tục.
(e) f : (Y, ρ) →(Y, ρ) là phép ϕ-co yếu cyclic với ϕ∈ Φ. Khi đóf có duy nhất một điểm bất động.
Kết luận
Sau một thời gian tập trung nghiên cứu và tham khảo nhiều tài liệu khác nhau, về đề tài: Một số định lý điểm bất động đối với các phép ϕ-co, dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của thầy giáo PGS.TS. Trần Văn Ân, chúng tôi đã thu được một số kết quả sau:
1. Hệ thống hóa các khái niệm, các tính chất cơ bản và các ví dụ minh họa về không gian mêtric, không gian mêtric đầy đủ, mêtric riêng, không gian mêtric riêng, dãy hội tụ trong không gian mêtric riêng, dãy Cauchy trong không gian mêtric riêng, không gian mêtric riêng đầy đủ, dãy 0- Cauchy trong không gian mêtric riêng, không gian mêtric riêng 0-đầy đủ, biểu diễn cyclic, hàm so sánh, hàm (c)-so sánh, dãy Picard, phépϕ-co, phép
ϕ-co cyclic, ánh xạ co yếu, phép ϕ-co yếu cyclic, phép ϕ-co yếu cyclic trong không gian mêtric riêng.
2. Trình bày một số định lý điểm bất động của các phépϕ-co cyclic với (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ϕ là hàm (c)-so sánh, một số kết quả về tính chất của dãy Picard đối với phépϕ-co cyclic vớiϕlà hàm (c)-so sánh, tính chất giới hạn của dãy điểm bất động của dãy phép ϕ-co cyclic hội tụ đều. Giới thiệu một số định lý điểm bất động của các phépϕ-co yếu cyclic trong không gian mêtric, một số định lý điểm bất động của các phépϕ-co yếu cyclic trong không gian mêtric riêng.
3. Chứng minh chi tiết một số tính chất của các khái niệm được giới thiệu và một số định lý mà trong các tài liệu tham khảo chưa chứng minh hoặc chứng minh còn vắn tắt chẳng hạn như Định lý 1.2.3, Định lý 1.2.10, Định lý 2.1.7, Bổ đề 2.2.3, Định lý 2.2.6, Hệ quả 2.2.8.
4. Trình bày chi tiết Ví dụ 2.1.4 và Ví dụ 2.1.5 về phép ϕ-co yếu cyclic với ϕlà hàm tăng ngặt trong không gian mêtric, Ví dụ 2.2.2 về phép ϕ-co yếu cyclic trong không gian mêtric riêng.