xác định m ột hàm nguyên p (z) có không điểm tại mọi zn và chi tại đó. Một, cách chính xác, nếu a là một số phức xuất hiện m lần ( 0 < 771. < o o ) trong dãy zn thì p không có
bậc777. tại a . Điều kiện (2.18) luôn luôn được thỏa mãn kh/i pn — n — 1.
Chứnq minh. Trước hết nếu P n — n — 1 thì (2.18) được thỏa m ãn bởi vì 0 < — < I với n đủ lớn. Bây giờ cố định r > Ü. Nếu \z\ < r, bổ đề 2.2 suy ra rằng
l+Pn
í z \ y l+Pn
1 - E p n ( - )\ Z n J < Zn <
klii r n > r ( m à nó thỏa mãn với n đủ lớn ). Vì thế từ bổ đồ 2.2 chuỗi ^ 1 — E p í — j n = l \ Zn /
hội tụ đều trên mọi tập com pact trong m ặt phẳng. Định lý 2.6 chứng tỏ tích vô hạn n E Vn Ị — J hội tụ tới h à m nguyên p(z)c thỏa m ãn yên cầu. □
n = 1
Đ ịn h lý 2.8 (W eierstrass). Giả sử f lò, hàm, nguyên với / (0) 7^ 0 vò, giả sử Z ị , z2, . . .
là các kỉiônq điểm của f (không điểm bội m xuất hiện m lần). Khi đó, tồn tại hàm nquyên g và dãy các số nguyên không âm {pn} sao cho
</(*)
5 " - (í)
n = 1
(2.20)
Chứng minh. Giả sử p là tích vô hạn xác định trong định lý 2.7 với { ' P n } là dã các số nguyên không âm thỏa m ãn (2.18). Bởi vì c đơn liên nên - = (íg đối với hàm nguyên
y nào đó. Vậy thì
/ w = e»w I I (2.21)
Đ ịn h lý 2.9. Giả sử A ì,à tập con không cố điểm, tụ trong m iền Q 6 c và giả sử m.ỗi
01 £ A tương ứng với mỗi số nguyên dương 777. (a). Khi đó, tồn tại f G H (Q), H (Q)
là tập các hàm chỉnh hình trên Q sao cho tất, cả các không điểm của f là trong A và ngoài ra fc ó không điểm, bậc ra (a) tại mọi a e A.
Cỉiứnq minh. Khi íỉ = c đó chính là định lý 2.7. Vì vậy ta chỉ cần xét trường hợp
Q Ỷ c . Giả sử {an} là dãy thành lập từ A sao cho OL xuất hiện m (a) lần trong dãy đó với mọi a e A. Vì OQ 7^ ộ với mỗi Oí.n ta tìm điểm ßn ị ũ sao cho \ßn — Oín\ <
\ß — OtnI với mọi ß Ệ íỉ. Khi đó Ißn — a n \ —¥ 0 khi n —ì oo vì A kliôĩig có điểm t.ụ trong
oo / \
Q. Ta kiểm tra lại rằng hàm f (z) = n E n í an~ßn j thỏa m ãn đòi hỏi của định lý.
n=l ' n '
T liật vậy đ ặ t rn — 2 |ü;n — ßn\. Giả sử k là tập com pact tùy ỷ trong Q. Bởi vì rn —>• 0 tồn tại N sao cho \z — ßn\ > rn với mọi z G K và mọi n > N . Khi đó ^ nS ß n\^ ^ 2' Ĩ1Ó suy ra rằng
l-E„ ( > —\ z - ß n J z - ßn ~fn < (-Ỵ\ 2 J .
Với mọi n > N v ầ mọi 2 G K .
Áp dụng định lý 2.6 tới f n (2) = E n ( an~ßH ì , ta suy ra rằng tách vô hạn n E n ( an~ßn ^
\ / n=l
hội tụ đều trên mọi compact, trong ũ tới / G H (Q) m à Ĩ1Ó thỏa mãn đòi hỏi của định
lý. □
Đ ịn h lý 2 .1 0 . Mọi hàm phân hình trên m iền Q có th ể viết như thương của hai hàm
giải tích trên íỉ.
Chứng minh. Cho / một hàm phân hình t.rcn Giả sử A là tập tấ t cả các cực đicm của / và giả sử mỗi 01 G A ,m . (a) kỷ hiệu bậc của cực điểm Gí. Theo định lỷ 2.9 ta tìm được ÌI € H (íỉ) sao cho tập các không điểm của h chứa t.rong A và ÌI có không điểm bậc 777. (a) tại mọi Oi G A. Đặt, g = f h . Những điểm bất. thường của g trong A và thực chất chúng là các điểm thường. Vì vậy g G H (Q) và / = Jị. □
2 .4 . Đ ịn h lý M itta g - Leffler
Đ ịn h lý 2 .11 (M ittag - Leffler). Giả sử A ì,à tậ,p con không cố điểm, tụ trong m iền Q và giả sử mỗi a € A ta có số nguyên dương 777. (a) và hàm hữu tỷ
m ( a )
Pcx { z ) = 5 1 Cj A Z - a ) ~ j -
3 =1
Khi đó, tồn tại hàm. phân tích f trên Q sao cho phần chính của nỏ tại m,ọi (Y G A ỈÀ
p a và f không có cực điểm ngoài A.
Chứnq minh. Để đơn giản ta chỉ xét trường hợp Q — c . Đặt. A TỈ = {z G с : \z\ < n \
và A n = А П ( An\ A n_i). Bởi vì A không có điổm tụ, A n là tập hữu hạn với mọi n > 1. Đặt
4n {z) = ^ 2 Pa (z ^ n = ^ 2 ’ ■ • • • ( 2 -2 2 )
a e A n
Do A n là tập hữu hạn, qn là hàm hữu tỷ. Hicn nhicn tập các cực đicm của qn là bao hàm trong A n\ A n_!. Đặc biệt qn giải t.ích trên A n_i = { z G с : \z\ < n — 1} . Bằng cách d ặt khai triển Taylor an tại 0 G ATỈ-1 tìm được đa t.hức qn sao cho
\ q ( z ) - p n ( z ) \ < 2 - n - z e A n- 2. (2.23) Ta kiểm tra lại rằng
oo
/ {z) = qi {z) + ^ 2 {qTl (z) - Pn (2)), z e n . (2.24)
n=2
T hỏa m ãn đòi hỏi của định lý. T h ậ t vậy, cố định N. Trcn Лдг ta có
y v + l 00
f { z ) = qx + (Qn - P n ) + ( Яп- Рп) - (2.25) 7 1 = 2 n = N + 2
T ừ (2.23) mỗi thành phần trong tổng cuối cùng trong (2.25) nhỏ hơn 2~n trên Д/у, chuỗi cuối cùng hội tụ đền Ддг tới hàm m à nó giải tích trên Ддг. Vậy thì hàm / — (ợi + • • • + (Jn+i) giải tích trong A n . Như vậ}'' f có phần chính pa tại mọi a G A. □
K Ế T L U Ậ N
Trên đây là t.oàn bộ nội dung khóa luận "X â y d ự n g h à m g iả i tíc h v ớ i tậ p k h ô n g đ i ể m là tậ p k h ô n g có đ i ể m t ụ c h o tr ư ớ c " . Khóa luận trình bày về hàm giải tách và xây dựng hàm giải tích với tập không điểm là tập không có điểm tụ cho trước.
Do thời gian nghicn cứu và năng lực còn hạn chế ncn khóa luận mới chỉ đạt được một số kết quả nhất định. Tôi rất, mong các thầy cô, các bạn góp ý và nhận xét để khóa luận này được đầy đủ và hoàn thiện hơn.
Trước khi kết thúc khóa luận này, m ột lần nữa tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với các thầy cô giáo trong trường, đặc biệt là T h S . N g u y ễ n Q u ố c T u ấ n đã t.ận tình giúp dỡ tôi hoàn th àn h khóa luận này.
Hò, Nội, Ngày 14 tháng 5 năm, 2015
Sinh viên