• Trong mặt phang phức, nếu các điểm A, B có tọa độ là a, b thì độ dài đoạn
thẳng AB là AB = |a - b |.
• Nếu o là gốc tọa độ thì OA = |a|, OB = |b|. Các công thức môđun la.bl = |a|.|b| a
= N
al — Ibl < a ± b < a + b • Bất đẳng thức liên quan đến môđun
• Biểu diễn các số phức là căn bậc n của đơn vị trên mặt phang tọa độ là đỉnh
c ủ a m ộ t h ì n h n - g i á c đ ề u .
Ví dụ 1. Cho đa giác đều A1A2A3 ...A„ nội tiếp đường tròn tâm o bán kính R. Chứng minh rằng với m ọi điếm M ta có:
MAl.MAr MA,...MA < Ậ O M2 + R 2)" Lời giái
Xét mặt phang có gốc tọa độ o và không mất tính tổng quát, giả sử R = 1.
2,71 2,71 9
Đặt 8 = cos —— + isin —— thì s , s \ s 3,...,sn,m là tọa độ của các điêm Ai ,A2 , A3
n n
. . . A n , M. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
X - 8 . X - s 2 . X - s 3 . . . X - £ n <
>/(Mí+1)n
<^> |(x - s ) . ( x - £ 2) (x - £ 3)...(x - s n)| ^
o ị x n- l ị < Ậ ị x Ị 2+ l Ỵ
Nhưng ta có Ịx11- l | <| x| n+1 nên bất đẳng thức được chứng minh, nếu ta chứng minh được bất đẳng thức |x|" - 1 < ^ | x | 2 + ĩ j . Thật vậy
|2 I |2n-2
X X | x r - l , J ^ ^ ( | x r - l ) <(| x| 2+ l )
_ I in 1 I |2 - , 9 I |4 I |6 - ,n _ i I |2n—2
Ö 2 X < Cn X + c X + c X +... + C" XI I n I I n I I n I I n I I
Vi AiA2 A3. . .An là đa giác nên n > 3, do đó:
/"«1 L г л 1 L /"t3 L 1^ /"tn-1 L_|2n-2 . I |2 I
С X + c X + c X +... + C n I I n I I n I I n I X I > п х + n xI I I Theo bất đẳng thức Cauchy: |x|2 + |x|2n 2 > 2 ^
I |2 I |2n-2 I 1П
= > | x | + | x | > 2 | x |
Vậy bất đắng thức được chứng minh. Dấu “=” xảy ra nếu |x| =0, tức là M - o .
Ví dụ 2. Cho tam giác A B C và m ột điểm M bất kỳ trong m ặt phẳng. Chúng minh rằng MA. sin A < MB sin в + MC sin с .
Lời giải
Xét mặt phang phức có M là gốc tọa độ Gọi tọa độ của các điểm А, в , с là X, y, z
Ta có MA = |x|, MB = |y|, MC = |z| và AB = | x - y | , ВС = | y - z | , AC = | z - x |
Giả sử ДАВС nội tiếp đường tròn bán kính R.
BC _ AC AB
Theo định lý sin trong tam giác thì sin A = ,sinB = ,sin A =
2R 2R 2R
Nên bất đẳng thức cần chứng minh trở thành MA.BC < MB.CA + MC.AB Hay | x | | y - z | < | y | | z - x | + |z ||x - y |
Theo bất đẳng thức tam giác
|y||z - x| + |z||x - y| = |y.(z - x)| + |z.(x - y)| > |y.(z - x) + z.(x - y)| Vậy bất đắng thức được chứng minh.
Bất đẳng thức MA.BC < MB.CA + MC.AB chính là bất đẳng thức Ptolemy.
Dấu đắng thức xảy ra khi MABC là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Ví dụ 3: Cho AABC đều cạnh a và một điểm M bât kỳ nằm trong mặt phẳng. Chứng minh rằng MA.BC + MB.CA + MC.AB > a 2
Lời giải
Giả sử ÀABC nằm trong mặt phang phức, nội tiếp trong đường tròn bán kính đơn vị. Gọi tọa độ các điểm M, A, B, c lần lượt là X , 1, 8, £2
Trong đó s = c o s ^ + i s i n ^ , a = %/3R = V3 3 3 Chú ý rằng e3 = 1,1 + s + s 2 = 1 T a c ó M A = | x = | x - e | , M C = x - s 2 nên: • M A .M B = |x - l l . l x - e | = X2 - ( 1 + e) x + 8 = £2X2 + 8 X + 1 • MB.MC = |x - e |. • MA.MB = X2 + X + 1 X - 8 X2 - ( e + £2)x + 83 .|x - 1| = X2 - (1 + s2)x + £2 = 8X2 - (1 + e)x + 1 Mặt khác theo bất đẳng thức tam giác:
|s2x2 + sx + 1| + X2 + X + 1| + |sx2 - (1 + s)x + 1| > (e2 + 8 + l)x2 +3 = |3| = 3 Vậy MA.BC + M B.CA+ MC.AB> a2, điều phải chứng minh
Ví dụ 4: Cho AABC và m ột điểm M bất kỳ trong mặt phẳng. Chúng minh rằng: a.MB.M C + b.MC.MA + C.MA.MB > abc
Lòi giải
Xét mặt phang phức có M là gốc tọa độ Gọi tọa độ của A,B, c lần lượt là X , y, z. Ta CÓMA =|x|,M B = |y|,M C = |z|
và c = AB = |x - y |,a = BC = | y - z|,b = AC = | z - x| Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
có ( x - y ) x y |
> | ( y - z ) y z + ( z - x ) z x + ( x — y)xy|
Mà | ( y - z)yz + ( z - x) zx + ( x - y)xy| = | ( x - y X y - z ) ( z - x)| Vậy bài toán được chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi M là một đỉnh của tam giác ABC hoặc M là trực tâm của tam giác ABC.
Bài tập
Bài l:Chứng minh rằng:
71 371 571 1
1. COS— + COS—- + COS— = —
7 7 7 2
. n . 2n . 4n s ỉ ĩ
2. —sin _ + sin —— + sin —- = ———
7 7 7 2
„ 7 1 371 571 1k 9ĩl 1
3. COS —— + COS —— + COS —— + COS —- + COS —— = —
11 11 11 11 11 2
Bài 2. Biểu diễn sin 5x, sin 7x theo các lũy thừa của sin X. Biểu diễn tan 3x, tan 5x theo các lũy thừa của tan X.
Bài 3. Chứng minh các đẳng thức với X Ф k7T ,(k G Z ):
^ sin(2n + l)x 1 . 1 + cos 2x + COS 3x + ...+ COS 2(n - l)x + COS 2nx = ---
s i n x
si nnxsi ní n + l)x 2. sin 2x + sin4x +... + sin 2nx = --- ---—
s i n x
3. sin X + 3sin3x + 5sin5x+...+ (2n - l)sin(2n - l)x _ sin 2nx cos X - 2n cos 2nx sin X
y - z y z + z - х z X + X - y X y > y - z z - х X - y
Ta
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n lớn hon 1 và mọi số thực a ,
đa thức ( X sin a + c o s a ) n - X sin n a - cos n a chia hết cho đa thức X2 + 1.
Bài 6: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì đa thức (x + l)2n+1 + x n+2
chia hết cho đa t h ứ c X2 + X +1.
Bài 7: Tìm số tự nhiên n sao cho P(x) chia hết cho Q(x) với 1. P(x) = Xn + ( x - 2 ) " và Q ( x ) = X2 - 2 x + 2
2. P(x) = 3n(1 - x)" -(1 + x )2n và Q( x ) = x 2 - x + l. Bài 8: Giải các hệ phương trình với X , y 6 R:
yfx 2 +--- = 3yỊ2 Vx 2---= 2 + y/3
1 2x + 5v ) 1 X + 2y ]
Bài 10: Cho tam giác ABC và hai điểm M, N bất kì trong mặt phẳng.
Chứng minh rằng: a.AM.AN + b.BM.BN + C.CM.CN > abc Bài 11. Cho tam giác ABC và điểm M bất kì trong mặt phẳng.
Chứng minh rằng 2m. .AM + b.BM + c.MC > 2bc.
Bài 12: Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì trong mặt p h a n g .
Bài 13: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và R, R], R-2,R3 lần lượt là bán kính đừng tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, GBC, GCA, GAB.
Chứng minh rằng + R2 + R3 >3R.
Bài 14: Cho tam giác ABC. Dựng bên ngoài tam giác đó các tam giác đều có cạnh BC, CA, AB và gọi trọng tâm ba tam giác đó theo thứ tự là A ’, B ’, c \ Chứng minh rằng tam giác A ’B ’C ’ là tam giác đều.
Chứng minh trong các tỷ sôX MA MB MC’ u ’ có ít nhất một tỷ số không
a b c
KẾT LUẬN
Với mục đích cung cấp thêm một số dạng toán mới về số phức. Khóa luận đã trình bày sơ lược về số phức, xây dựng được một số ví dụ minh họa, bài tập tương tự và đặc biệt một số bài toán có nhận xét riêng của bản thân rút ra trong quá trình giải toán. Đồng thời khóa luận “ số phức và một số dạng toán thường gặp” bước đầu hoàn thành việc nghiên cứu sâu hơn về số phức, một số dạng bài tập về số phức và ứng dụng của số phức vào một số bài toán lượng giác, tổ hợp, đại số, hình học.
Đe hoàn thành tốt khóa luận này tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ hình học đặc biệt là thầy giáo Nguyễn Văn Vạn đã tận tình giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này.
Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học chắc chắn khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong các thầy cô, các bạn sinh viên đóng góp ý kiến trao đổi để khóa luận hoàn thiện tốt hơn và thực sự sẽ là tài liệu tham khảo bố ích cho giáo viên, sinh viên, học sinh trung học.