Đ ị n h lý 1.18 (định lý Abel). Cho chuỗi lũy thừa
+ OC
a n x n = a 0 + d ị X + a 2x 2 + . . . . ( 1 . 1 0 )
'
1 1 = 0
Nếu chuỗi lũy thừa (1.10) hội tụ tại điểm Xqỷ 0 tìrì n ° hội tụ tuyệt
đối tại m ọ i đi ếm X m,à |x| < |д;оI •
+ 00
C h ứ n g m i n h . Vì chuỗi ^ anx[)n hội tụ nên lim anx ữn = 0, do đó
n = 0 ■ n^oc
dãy số {anx 0n} bị chặn, tức là tồn tại số к > 0 để
\anx on\ < k'ĩ với mọi n = 0,1, 2,...
X
Với mọi X m à |д;| < Жо , đặt q = — thì \q\ < 1.. Khi đó Xo
\anx n \ = \an(x0q)n\ = \anx 0n \ .\q\n < k.\q\n.
+ oo +00
Vì chuỗi к \q\n hội tụ nên chuỗi hội tụ tuyệt đối và đền
n=l n=0
theo định lý 2.1 1.
+ OC
H ệ quả. Từ định lý Abel suy ra nếu chuỗi anXn phân kỳ tại X[ thì n =0
nó phân kỳ tại mọi X mà |ж| > \xi |.
X = 0, nên người ta giới thiệu khái niệm sau về bán kính hội tụ của
chuỗi lũy thừa.
Đ ịn h nghĩa.Số thực R = sup < \x\ : CL'nXn hội tụ > được gọi là bán
l ?z=0 J
kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (1.10) và khoảng (—R , R ) được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa đó.
+ o o
Đ ịn h lý 1.19 Cho chuỗi lũy thừa a>n%n• Nếu n=0
Q>n+1
lim \ / |a „ | = p hoặc lim
khi 0 <p< + oo
thì bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa được tính theo cổng thức ( 1 ~p +oo khi p= 0 0 khi k = +00 R = < + o o
C h ứ n g m i n h . Xét chuỗi lũy thừa ^2 CLnX11. Theo dấu hiệu Cauchy
1 1 = 0
dùng cho chuỗi số dương ta có
lim ự I n,u I \xn\ = lim ■ựã^ |x| = p \ x \ .
n - t oc n —> o o
Nếu p = 0 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối với mọi X hay R = +oo Nếu
R = +oo và với X ^ 0 : lim iự\anx n\ = +CXO thì chuỗi lũy thừa (1.10)
n^f oc
phân kỳ. Do đó R = 0.
, , 1
Trường hợp 0 < p < +oo chuôi lũy thừa hội tụ với X mà \x\ < — và
p
I I 1 1
phân kỳ với X mà \x\ > —. Vậy R = —. Trường hợp p = lim
p p
được chứng minh tương tự.
= p;0 < p < +oo thì với mọi X mà |x| < — ta có
an p
^71+1
lim 11—>00 (In+1 'il “h 1 anx' = limIl —^ oc +1 a, . . 1 \x\ < p.— p = 1. Do đó, chuỗi hội tụ theo dấu hiộu D ’Alembert.
1 Nếu |x| > — thì p lim n - t oo 7i + 1 anx' 1 > p . - = 1. p
Do đó, theo dấu hiệu D ’Alembert chuỗi phân kỳ. Vậy bán kính hội tụ của chuỗi là —.
p
V í dụ 1.10. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
+ 0 0 £ 77, = 0 ( - l ) V 2n + 1 Ta có lim á / K Ĩ = lim — = 1. n—>00 ra—> 0 0 V Z77, + 1
Vậy chuỗi lũy thừa đã cho có bán kính hội tụ R = 1 và khoảng hội tụ ( - 1,1). + 0 0 'I là chuỗi phân kỳ. + 0 0 'I Tại X = —1 chuỗi trở thành V - ——— n=0 + 1 + 0 0 + 0 0 ^ __ ] ^ n
Tại X = 1 chuỗi trỏ thành - —-— hội tụ the* \ t í > 2n + l * Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa — 1 < X < 1
V í du 1.11. Chuỗi £ 77-
Tỉ '
hội tụ theo dấu hiện Leibniz.
Ta có
71+1
0 n ì
—>0 nên bán kính hội tụ của chuỗi là R = +00, tức là chuỗi hội tụ tại mọi điểm X G R.
V í dụ 1.12. Chuỗi n nx n. n=1
Ta có ự\ã~\ = n — +00 nên R = 0, tức là chuỗi hội tụ tại một điểm duy nhất X = 0.