16 Chứng minh ba đường thẳng đồng qui 16.1 Phương pháp giải
Xem phương pháp giải mục 6.1 ở trang 25.
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, I , K , H là trung điểm của AB, CD, AC, BD, AD, BC. Chứng minh MN, IK, HL đồng qui.
Giải
Cách 1 Rõ ràng tứ giác MINK, MHNL là các hình bình hành và MN là đường chéo chung của hai hình bình hành. Vì vậy IK, HL cùng cắt MN tại trung điểm của MN.
Cách 2 Rõ ràng MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (MINK) và (MHNL). Gọi O là giao điểm của HL và IK, khi đó O thuộc đồng thời hai mặt phẳng (MINK) và (MHNL). Do đó O thuộc MN.
A B C D K N H I M L 16.2 Bài tập
1. Cho hình chóp SABC. Gọi A’, B’, C’ là trung điểm của BC, CA, AB. Trên SA, SB, SC lấy A1, B1, C1 sao cho SA1
SA = SB1
SB = SC1
SC . Chứng minh rằng các đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy.
17 BÀI TẬP TỔNG HỢP
2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi I, J là giao điểm các đường chéo của hai hình bình hành đó. Các điểm M, N tương ứng là trung điểm các đoạn CE và DF. Chứng minh IJ, AM, BN đồng qui.
3. Cho hình thang ABCD (AB song song CD) và tam giác CDE nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình thang. Các điểm M, N là trung điểm của CE, DE của tam giác CDE. Chứng minh AM, BN, OE đồng quy.
17 Bài tập tổng hợp
1. (Thi học kì I - Tiền Giang - 2012-2013) Cho hình chóp SABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Gọi M, N là điểm trên cạnh SA sao cho SM =M N =N A.
(a) Chứng minh GM song song (SBC)
(b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua G. Chứng minh BG song song CD và GN song song MD.
2. (Thi học kì I - Vĩnh Bình - 2011-2012) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm AB.
(a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng i. (SAC) và (SBD)
ii. (SAD) và (SBC)
(b) Gọi(α)là mặt phẳng qua M và song song BD, SA. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α).
3. (Thi học kì I - Chợ Gạo - 2011-2012) Cho hình chóp SBCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, K là trung điểm AB, CD, SA.
(a) Chứng minh: MN song song (SBC), SC song song (MNK) (b) Tìm thiết diện của (MNK) và hình chóp. Thiết diện là hình
gì.
17 BÀI TẬP TỔNG HỢP
4. (Thi học kì I - Vĩnh Kim - 2011-2012) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là AB. Gọi M là một điểm tùy ý trên cạnh SB, G1 là trọng tâm tam giác SAD và G2 là trọng tâm tam giác SBC
(a) Tìm giao tuyến mặt phẳng (SAD) và (SBC). (b) Tìm giao điểm của DM và (SAC).
(c) Chứng minhG1G2 song song (SCD)
5. (Thi học kì I - Nguyễn Văn Côn - 2011-2012) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, K là trung điểm của AC, BC và BD.
(a) Xác định giao tuyến của: i. (MNK) và (BCD) ii. (MNK) và (ABD) iii. (MNK) và (ACD)
(b) (MNK) cắt AD tại L. Chứng minh ML song song (BCD) 6. (Kiểm tra lần I - HKI - Chợ Gạo ) Cho hình chóp SABCD có
ABCD là hình thang, đáy lớn AD. Gọi M, N là trung điểm SC, SD
(a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD). Tìm giao điểm K của SB và (AMN)
(b) Tìm thiết diện của (AMN) và hình chóp SABCD.
7. (Kiểm tra lần II - HKI - Chợ Gạo ) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi M, N là trung điểm SA, SB
(a) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD). Chứng minh MN song song (ABCD)
(b) Tìm giao điểm K của SC và (ADN). Kéo dài AN và DK cắt nhau tại I. Chứng minh SI kABkCD.
17 BÀI TẬP TỔNG HỢP
8. (Kiểm tra lần II - HKI - Chợ Gạo ) Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là trung điểm AC, BC. K là điểm bất kì trên BD. Tìm thiết diện của (MNK) và tứ diện. Xác định K trên BD để thiết diện là hình bình hành.
9. (Kiểm tra lần II - HKI - Chợ Gạo ) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi M ,N là hai điểm trên AB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song song SA. Tìm thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp. Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang. 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với CD là đáy lớn. Điểm M là trung điểm AD, K là điểm thuộc SM sao cho SK = 2KM
(a) Tìm giao tuyến (SBC) và (SAD) (b) Tìm giao điểm của CK và (SBD)
(c) Mặt phẳng (α) qua K và song song SD, AB. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(α).
11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hnh, O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC.
(a) Tìm giao điểm của SO với mp (MNB). Suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (MNB).
(b) Tìm giao điểm E, F của AD, CD với mp(MNB). (c) Chứng minh rằng E, B, F thẳng hàng.
12. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD l hình bình hành. M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC.
(a) Tìm giao tuyến của (SMN) và (SBD) (b) Tìm giao điểm I của MN và (SBD)
(c) Tính tỷ số M NM I
13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD l hình thang AD//BC và đáy lớn AD = 2BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác SCD.
17 BÀI TẬP TỔNG HỢP
(a) Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAC) và (SBD), (SAD) và (SBC), (SAB) và (SCD).
(b) Xác định giao điểm H của BG và mp(SAC). Từ đó tính tỉ số
HB HG
14. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình hành ABCD có tâm là O. Gọi M là trung điểm của SC.
(a) Xác định giao tuyến của mp(ABM) và mp(SCD).
(b) Gọi N là trung điểm của BO, hãy xác định giao điểm I của (AMN) với SD. Chứng minh rằng IDSI = 23.
15. Cho hai hình vuông có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF ta lấy các điẻm M, N sao cho AM = BN. Mặt phẳng (P) chứa MN và song song với AB cắt AD và AF lần lượt tại M’, N’.
(a) Tứ giác MNM’N’ là hình gì? (b) Chứng minh M’N’ // EC.
(c) Chứng minh MN // (DEF).