Ví dụ 2.8. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
12x - 19y + 21 = 0.
Lời giải. Phương pháp này dựa trên mệnh đề sau:
Mệnh đề. Xét phương trình ax + by + c = 0, trong đó a,b là các số nguyên dương, (a,b) = 1,c là số nguyên. Khi đó phương trình này có một nghiệm riêng sau đây:
Do a,c là các số nguyên, còn ϕ(b) ≥ 1 là số nguyên nên hiển nhiên x0 là số nguyên. Theo định lí Ơ-le thì
Từ đó y0 là số nguyên. Mặt khác ax0 + by0 + c = −aca + ca − c + c = −caϕ(b) + caϕ(b) = 0
Vậy (x0,y0) là nghiệm riêng của phương trình ax + by + c = 0, suy ra điều phải chứng minh.
Trở lại phương trình đã cho
12x − 19y + 21 = 0 ⇔12x + 19(−y) + 21 = 0
⇔12x + 19z + 21 = 0,với z = −y. Do 19 là số nguyên tố nên ϕ(19) = 19 − 1 = 18. Do đó
là một nghiệm riêng của phương trình 12x + 19z + 21 = 0. Vậy mọi nghiệm của phương trình này có dạng
Nói cách khác, phương trình 12x − 19y + 21 = 0 có nghiệm là:
Nhận xét 2.1. Cách giải này hoàn toàn mang tính chất lí thuyết. Trong thực tế, chúng ta sẽ không sử dụng cách này.
2.1.5. Tìm cấp của số nguyên Ví dụ 2.9. Tìm cấp (mod 101) của 2.
Lời giải. Đặt n = 101 và a = 2. Gọi h là cấp của a(mod101). Vì 2ϕ(101) ≡ 1(mod 101) nên ta có
. ..h (2.6)
Do 101 là số nguyên tố nên dễ thấy ϕ(101) = 101 − 1 = 100. Như vậy từ (2.6), ta có
. ..h
101
23
Nếu h < 100 thì do các ước nhỏ hơn 100 của 100 chỉ có thể là 2, 4, 10 , 20, 25, 50 nên suy ra hoặc là 50... h hoặc là 20...h. Vì h là cấp của 2(mod101) nên ta có
250 ≡ 1(mod 101) hoặc 220 ≡ 1(mod 101) (2.7)
Mặt khác, nên ta đi đến 10245 ≡ 145(mod 101) ≡ 19.196.14(mod 101) ≡ (−6)(−6).14(mod 101) ≡ 504(mod 101) ≡−1(mod 101) Vì thế ta có 250 ≡−1(mod 101) (2.8) Lại thấy 220 ≡ 10242 ≡ 142 ≡ 196 ≡−6(mod 101) (2.9) Từ (2.7), (2.8) và (2.9) suy ra mâu thuẫn. Vậy giả thiết phản chứng
. ..h suy ra h = 100.
h < 100 là sai. Vì thế từ 100 Vậy 100 là cấp (mod 101) của 2.