a x ) . mod( n1 n 2 a x Định lí: nếu (n1, n2) = 1 thì có nghiệm duy nhất
2. Một số kiến thức toán học
Căn nguyên tố
– Từ Định lý Ole ta có a(n)mod n=1, với a và n là nguyên tố cùng nhau. Nếu không có số mũ dương nào nhỏ hơn Ф(n), mà có tính chất như vậy đối với a, thì khi đó ta gọi a là căn nguyên tố của n.
– Ví dụ:
(a) Xét xem a = 2 có phải là căn nguyên tố của 5 không?
2. Một số kiến thức toán học
(a) Ta có:
– 2 mod 5 = 2; 22mod 5 = 4; 23mod 5 = 3; 24mod 5 = 1.
– Rõ ràng m= 4= Ф(5) là số mũ dương nhỏ nhất có tính chất 2m mod 5 = 1, nên 2 là căn nguyên tố của 5.
(b) Ta có:
– 3 mod 8 = 3; 32 mod 8 = 1; 33mod 8 = 3; 34 mod 8 = 1
2. Một số kiến thức toán học
Logarit rời rạc
– Bài toán ngược của bài toán lũy thừa là tìm logarit rời rạc của một sô modulo p, tức là tìm số nguyên x sao cho:
ax = b mod p. Hay còn được viết là x=logab mod p
– Nếu a là căn nguyên tố của p và p là số nguyên tố, thì luôn luôn tồn tại logarit rời rạc, ngược lại thì có thể không
– Ví dụ:
Tìm x = log2 3 mod 13?
2. Một số kiến thức toán học
Tìm x = log2 3 mod 13? (Hay: 2x = 3 mod 13)
– 20 mod 13 = 1;
– 21 mod 13 = 2,
– 22 mod 13 = 4,
– 23 mod 13 = 8,
– 24 mod 13 = 3.
– Vậy log2 3 mod 13 = 4.
Tìm x = log3 4 mod 13? (Hay 3x = 4 mod 13)
– Trong trường hợp này không có lời giải, vì 30 mod 13 = 1;
2. Một số kiến thức toán học
Ta nhận thấy, trong khi bài toán lũy thừa là dễ dàng, thì bài toán logarit rời rạc là rất khó. Đây dàng, thì bài toán logarit rời rạc là rất khó. Đây cũng là một cơ sở của mã công khai
2. Một số kiến thức toán học
Định nghĩa nhóm nhân của Zn: