Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A0 C.

C. BÀI TẬP Bài 6.13.

b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A0 C.

Giải:

Kết luận:

Bài 7.60. Huỳnh Bảo Toàn

Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0có tất cả các cạnh đều bằnga. Gọi Mlà trung điểm của cạnh

AB và N là điểm thuộc cạnh AC sao cho AN=2CN,E là giao của BN và CM. Đường thẳng

đi qua E, song song với BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại P và Q. Tính thể tích khối

chóp A0.B0PQ, và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A0P và C0Q.

Giải:

Kết luận:

8 - Một số bài tập tổng hợp

Bài 8.1. Diễn đàn onluyentoan.vn

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. H là trung điểm AB. Hai mặt

phẳng(SHD), (SHC)cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chópS.ABCD, biết khối chóp

có ba mặt bên là ba tam giác vuông.

ĐS:V=a 3

6 đvtt

Bài 8.2. Diễn đàn boxmath.vn

Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 . GọiGlà giao điểm của AC0 với mp(A0BD). Tính tỉ sốk= VG.CB0D0

VABCD.A0B0C0D0

.

ĐS: k=1

6

Bài 8.3. Diễn đàn boxmath.vn

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a,AD=ap

2,S A=avà S A

vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm củaBM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng(S AC)vuông góc với mặt phẳng(SMB). Tính thể tích của khối tứ diện AN IB.

ĐS:V=a 3p

2 36

Bài 8.4. Diễn đàn onluyentoan.vn

Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâmOvà O0 , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng

a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O0 lấy điểm B sao cho

AB=2a. Tính thể tích của khối tứ diệnOO0AB.

ĐS:V=a 3p

3 12

Bài 8.5. Diễn đàn onluyentoan.vn Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, S A=2a và S A vuông góc với mặt phẳng(ABC). GọiM và Nlần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳngSBvà SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCN M.

ĐS: V=3a 3p

3 50

Bài 8.6. Diễn đàn boxmath.vn

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên S AD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh

SB,BC,CD. Chứng minh AM vuông góc vớiBP và tính thể tích của khối tứ diệnCM N P.

ĐS:V=a 3p

3 96

Bài 8.7. Diễn đàn onluyentoan.vn

Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCD có đáy là hình vuông cạnha. GọiE là điểm đối xứng của

D qua trung điểm của S A, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh M N vuông góc vớiBDvà tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng M N và AC.

ĐS: HQ

2

Bài 8.8. Diễn đàn onluyentoan.vn

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, góc ƒABC=B ADƒ=90o,B A=BC=a,AD=2a.

Cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A=ap

2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.

Chứng minh tam giácSCD vuông và tính (theoa) khoảng cách từH đến mặt phẳng(SCD).

ĐS: d(H; (SCD))= a

3

Bài 8.9. Diễn đàn boxmath.vn

Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a,AC=ap

3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A0 trên mặt phẳng(ABC)là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A0.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng A A0,B0C0.

ĐS: ϕ=Bƒ0BH, cosϕ=1

4

Bài 8.10. Diễn đàn onluyentoan.vn

Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh2a,S A=a,SB=ap

3và mặt phẳng

(S AB)vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC.

Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMD N và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng

SM,D N.

ĐS:ϕ=SMEƒ, cosϕ=p1

5

Bài 8.11. Diễn đàn boxmath.vn

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên độ dài bằngap

5, các mặt bên cùng tạo với mặt đáy một góc 60o. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chópS.ABCD theoa.

ĐS:R= a p

3 3

Bài 8.12. Diễn đàn boxmath.vn

Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A0B0C0 . Biết 4ABC vuông tại B. AB=a;BC=b;A A0=

c(a2+b2<c2). Gọi (P)là phẳng đi qua Avà vuông góc với A0C. Xác định thiết diện của lăng

trụ khi bị cắt bởi phẳng(P). Tính diện tích thiết diện theo a,b,c.

ĐS:S=ab p

a2+b2+c2

2c

Bài 8.13. Diễn đàn boxmath.vn

Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A0B0C0 có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao là a. Dựng

thiết diện của lăng trụ tạo bởi mặt phẳng đi quaB0và vuông góc với cạnh A0C. Tính diện tích

của thiết diện.

ĐS:S=3 p

15 8 a

2

Bài 8.14. Diễn đàn onluyentoan.vn

Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A0

lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với A A0cắt lăng trụ theo 1 thiết diện có diện tích a

2p 3 8 Tính thể tích khối lăng trụ. ĐS:V=a 3p 3 36

Bài 8.15. Diễn đàn onluyentoan.vn

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh 2a, cạnh

bên A A0=3a,Q,I lần lượt là trung điểm các đường thẳngDD0,OB. mặt phẳngαquaIQ song song với AC chia hình hộp ABCD.A0B0C0D0 thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích 2 phần đó.

ĐS: V1

V2 = 25

119

Bài 8.16. Diễn đàn onluyentoan.vn

Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông với AB=BC=a, cạnh bên A A0 = p3a

2. M là điểm trên cạnh A A0 sao cho A A0=3AM. Tính thể tích của khối tứ diện MB0BC0. Tính khoảng cách từB0đến mặt phẳng(C0BM).

ĐS: d(B0, (BC0M))= a p

3 2

Bài 8.17. Diễn đàn onluyentoan.vn

Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có A0A=A0B, đáy ABC là một tam giác vuông tại B, BC=a, AB=

ap

3. Mặt bên(ACC0A0)vuông góc với đáy, góc tạo bởi mặt phẳng (A0BC)và(ACC0A0)làαsao chotanα=2. Tính thể tích của khối chóp A0.BCC0B0 và khoảng cách giữa A0BvàB0C theoa.

ĐS:d(A0B;B0C)= a p

3 2

Bài 8.18. Diễn đàn onluyentoan.vn Cho lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác vuông tạiB,ƒB AC=30o, cạnh ACbằng

2a. Cạnh bênA A0tạo với đáy một góc60ovà chân đường vuông góc hạ từ A0xuống mặt phẳng

(ABC)trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. Tính theoathể tích khối lăng trụABC.A0B0C0

và khoảng cách giữa hai đường thẳngB0C0 và A A0

ĐS:ap

3

Bài 8.19. Diễn đàn boxmath.vn

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0có đáy ABClà tam giác vuông tạiBvàB A=BC=a. Góc giữa đường thẳng A0Bvới mặt phẳng(ABC)bằng60o. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0

theoa.

ĐS: a 3p

3 2

Bài 8.20. Diễn đàn boxmath.vn

Cho hình nón đỉnh S nội tiếp trong mặt cầu tâm O bán kính R và đáy là đường tròn giao tuyến của mặt cầu đó với một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OS tại H sao cho

SH=x(0<x<2R). Tính theo R và x thể tích V và diện tích xung quanh S của hình nón đó; từ đó tìm một hệ thức liên hệ giữa ba đại lượngV,Svà R.

ĐS: S 2

V =6πR

Bài 8.21. Diễn đàn onluyentoan.vn

Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD là hình thang cân có đáy lớn AD=ap

2. Biết góc hợp bởiBC0và(ABCD)bằng60o, góc hợp bởi A0Dvới(ABCD)làϕsao chotanϕ=

p

3 2 ,

CD⊥(ABB0A0), A0B0⊥(CDD0C0). Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A0B0C0D0 và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB0 vàCD0.

ĐS:V=3 p 6a3 16 . d((AB 0), (CD0))=3 p 78a 26

Bài 8.22. Toán học tuổi trẻ số 400

Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông tại A, AB=a,AC=ap

3,D A=DB=DC. Biết rằngDBClà tam giác vuông. Tính thể tích tứ diện ABCD.

ĐS:V= p

3 6 a

3

Bài 8.23. Toán học tuổi trẻ số 401

Tính thể tích khối chóp tam giác đềuS.ABC có đáy bằng avà khoảng cách giữa cạnh bên và cạnh đối diện bằngm. ĐS: V= a 3m 6p 3a2−4m2 Ã ĐKm<a p 3 2 !

Bài 8.24. Toán học tuổi trẻ số 402

Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là điểm bất kì nằm trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình

ĐS:V=πa3p

6

Bài 8.25. Toán học tuổi trẻ số 403

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông, đường cao S A. Gọi M là trung điểm

SC; N,P lần lượt nằm trên SB và SD sao cho SN