Ngay từ thế kỷ thứ t TCN, các nhà hình học cổ HiLạp đã tìm ra đờng lối chung để giải 1 bài toán dựng hình gồm bốn bớc; Phân tích, dựng hình, chứng minh và biện luận.
2.1.4.1. Bớc phân tích.
Phân tích là phần quan trọng nhất giúp lập phơng án dựng để tìm ra lời giải của một bài toán làm cơ sở xác định đợc mối quan hệ giữa các yếu tố phải tìm (giống nh khi giải bài toán đại số ta chọn ẩn biểu thị bằng chữ x chẳng hạn rồi lập mối liên hệ giữa x với các đại lợng đã cho của bài toán từ đó mà lập đợc phơng trình).
Nh thế trớc hết phải vẽ một hình tơng ứng với hình phải dựng (tức là giả sử hình vẽ đã dựng đợc thoả mãn điều kiện của bài toán). Qua hình vẽ phát hiện những yếu tố cho trớc và những yếu tố phải dựng.
Ví dụ bài toán sau đây:
α b s a b c c'
Dựng tam giác ABC biết cạnh đáy AC = b; góc A = α kề với đáy và tổng của hai cạnh kia AB + BC = S".
Trớc hết ta giả sử ∆ABC đã dựng đợc (hình vẽ). Nh thế trên hình vẽ ta đã biết cạnh đáy AC, góc A còn tổng hai cạnh kia không có. Để thể hiện tổng S ta kéo dài cạnh AB và đặt trên đờng kéo dài cạnh BC' = BC, thế là ta có AC' = S đã cho.
Nếu nối C với C' thì ∆AC'C có thể dựng đợc ngay (Dựng ∆ biết 2 cạnh và góc xen giữa).
Dựng đợc ∆AC'C này chỉ còn phải dựng điểm B trên cạnh AC' để có đ- ợc ∆ABC cần dựng.
Lu ý rằng nếu ta thể hiện tổng S bằng cách kéo dài cạnh CB trên đó đặt đoạn BA' = BA để có CA' = S thì việc dựng ∆AA"C không dễ dàng.
Vậy bớc phân tích liên quan tới hình vẽ ban đầu, do đó hình vẽ để phân tích phải đợc vẽ cẩn thận và chính xác.
2.1.4.2. Bớc cách dựng
Bớc này gồm 2 phần:
a) Kể theo một thứ tự nhất định tất cả các phép dựng cơ bản cần thực hiện đợc suy ra từ bớc phân tích.
b) Thực hiện các phép dựng đó bằng các dụng cụ thớc và compa, không phải chỉ thực hiện cách dựng mà còn phải mô tả cách dựng đó.
Với bài toán trên, cách dựng sẽ nh sau:
- Trên đờng thẳng bất kỳ xy dựng đoạn AC = b - Lấy AC làm cạnh Aà = α.
- Kéo dài AB, trên đờng kéo dài dựng đoạn BC' = BC; - Dựng ∆AC'C (biết góc A và hai cạnh AC', AC). - Dựng trung trực của CC'.
- Lấy giao điểm B của trung trực này với AC'. Ta đợc ∆ABC phải dựng.
Sở dĩ phải nêu cách thực hiện phép dựng vì cùng một phép dựng có thể có những phơng pháp khác nhau. Ta hãy xét ví vụ sau:
"Dựng hình bình hành ABCD biết một góc nhọn BADã = α và hai đờng chéo AC = d và BD = e".
Giả sử đã dựng đợc hình bình hành. Vì các đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng nên có thể dựng đợc ngay ∆ABD biết đáy BD=e, góc ở đỉnh BADã = αvà trung tuyến AO 1d
2
= .
Dựng đợc ∆ABD này ta bổ sung nó thành hình bình hành ABCD. Suy ra cách dựng sau:
- Trên đờng thẳng bất kỳ xy dựng đoạn BD bằng đờng chéo nhỏ e ứng với góc nhọn cho trớc α.
- Dựng cung chứa góc α vẽ trên đoạn BD.
- Dựng đờng tròn có tâm là trung điểm của BD và có bán kính d
2.
- Lấy giao điểm của cung chứa góc và đờng tròn (có 2 giao điểm).
- Nối các giao điểm này với B và D, ta đợc ∆BAD (và ∆BA'D).
Có thể bổ sung tam giác thành hình bình hành (Tức là xác định đỉnh thứ t C của hình bình hành) bằng nhiều phơng pháp, chẳng hạn:
- Qua B dựng BC // AD, qua D dựng DC// AB.
Trên BD dựng ∆ biết hai cạnh BC = AD và CD và AB, kéo dài AO về phía O và đặt OC = OA, nối C với các điểm B và D, …
2.1.4.3. Bớc chứng minh
Sau khi đã dựng đợc hình cần phải xác nhận xem nó có thoả mãn các điều kiện của bài toán hay không, tức là phải chứng minh bằng hình dựng đợc thoả mãn tất cả các điều kiện của đề bài, cách chứng minh này phụ thuộc vào cách dựng. Nói cách khác nếu không biết rõ hai bớc phân tích và cách dựng thì không thể nói rằng chứng minh đúng hay sai, vì có thể có những phơng pháp giải bài toán khác nhau và ngay cả khi đã phân tích giống nhau thì cũng có những cách khác nhau để thực hiện, tức là có cách dựng khác nhau.
b c
d a
d o e α
Cũng cần nói thêm rằng nếu cách dựng đã rõ ràng thì bớc chứng minh cũng đơn giản.
Trở lại bài toán dựng tam giác (bớc phân tích) cách chứng minh nh sau: ∆ABC có góc A bằng α (theo cách dựng), cạnh đáy, AC = b, tổng AB + BC' = AB + BC = S.
Vậy tam giác này thoả mãn các điều kiện của bài toán nên ∆ABC là tam giác phải dựng.
Hoặc với bài toán dựng hình bình hành, cách chứng minh phụ thuộc vào cách xác định đỉnh C. Nếu xác định đỉnh C bằng cách dựng BC // AD và qua D dựng DC //AB thì bớc chứng minh sẽ nh sau:
- Tứ giác ABCD là hình bình hành về có hai cặp cạnh song song (AD//BC; AB//DC).
- Nó có góc nhọn BADã = α, đờng chéo BD = e, đờng chéo AC = 2; AO = d (theo cách dựng ∆ABD).
Vậy hình bình hành này thoả mãn các điều kiện của bài toán nên ABCD là hình bình hành phải dựng.
2.1.4.4. Bớc biện luận
Khi giải bài toán đại số có tham số thờng đặt ra câu hỏi: Với những yếu tố cho trớc nh thế nào thì bài toán giải đợc, không giải đợc. Trong giải toán dựng hình cũng phải đặt ra câu hỏi nh thế, và mỗi bài toán là một yêu cầu về dựng một hình thoả mãn các điều kiện xác định, các điều kiện này thờng đợc cho bởi các giá trị và vị trí của một số yếu tố của hình.
Việc giải một bài toán dựng hình chỉ đợc coi là xong nếu đợc các điều kiện để lời giải tìm đợc là đáp án của bài toán. Một bài toán dựng hình có thể có một nghiệm hình, hai hoặc hơn 2 nghiệm hình, có vô số nghiệm hình (vô định) hoặc không có nghiệm hình (vô nghiệm).
Nếu một bài toán mà các giả thiết đối với yếu tố cho trớc thu hẹp thì phạm vi các giá trị thích hợp của các yếu tố đó sẽ hẹp đi và bớc biện luận sẽ đơn giản đi. Hãy xét ví dụ sau đây:
"Dựng đờng tròn tiếp xúc với hai đờng thẳng cho trớc và một đờng tròn cho trớc".
d c b a c d' d a-b b
Vì đề bài cho hai đờng thẳng bất kỳ nên chúng có thể cắt nhau, hoặc song song với nhau. Nếu chúng cắt nhau thì phần biện luận sẽ phức tạp nhng nếu chúng song song thì đơn giản hơn.
Đối với ví dụ sau: "Dựng tam giác biết hai cạnh và góc đối diện với một trong hai cạnh đó", thì góc đã cho có thể là nhọn, vuông hoặc tù, vì thế khi biện luận phải xét đến các trờng hợp ấy. Để đơn giản bớc biện luận có thể giới hạn độ lớn của góc, chẳng hạn cho góc nhọn đối diện với một trong hai cạnh, hay có thể hạ thấp hơn mức độ bằng cách cho góc nhọn đối diện với cạnh nhỏ.