Giả sử sau thời điểm t, giá trị z của thuộc tính a C đƣợc làm mịn thành hai giá trị mới w và y (w,y Va). Tại thời điểm t+1, tồn tại một lớp tƣơng đƣơng điều kiện Cs nào đó đƣợc làm mịn thành hai lớp tƣơng đƣơng điều kiện mới Cp, Cq khi và chỉ khi:
(i) ft(Cs, a) = z ; (ii) Cs W với W = {x Cs: ft+1(x, a) = w} (iii) Cs Y với Y = {x Cs: ft+1(x, a) = y} Chứng minh: ( ) (1) Chứng minh (i)
Giả sử ft(Cs, a) z, khi đó mọi giá trị của các phần tử thuộc lớp này đều không đổi. Điều này là vô lý. Do đó ft(Cs, a) = z.
(2) Chứng minh (ii)
Giả sử Cs W = , khi đó ta có x Cs ft(x, a) = ft(Cs, a) = z.
Suy ra ft+1(x, a) = y bởi vì nếu ft+1(x, a) = w thì x W. Do vậy Cs W
. Điều này trái giả thiết. (3) Chứng minh (iii)
Chứng minh tƣơng tự đối với (ii). ( )
(1) Chứng minh Cp Cq (2.5) Đặt Cp = Cs W, Cq = Cs Y.
Theo giả thiết, ta có w y nghĩa là W Y = .
Suy ra Cp Cq = (Cs W) (Cs Y) = (Cs (W Y)) = Hay Cp Cq = suy ra Cp Cq
(2) Chứng minh Cp Cq = Cs (2.6)
Ta có Cp Cq = (Cs W) (Cs Y) = Cs (W Y) Mặt khác, vì x Cs, ft(x, a) = ft(Cs, a) = z.
Khi đó xảy ra hai trƣờng hợp: + Hoặc ft+1(x, a) = w suy ra x W + Hoặc ft+1(x, a) = y suy ra x Y
Do đó, x (W Y) nên Cs (W Y) Suy ra Cp Cq = Cs.
Từ (2.5) và (2.6) ta có Cp, Cq là một phân hoạch của Cs.
Hệ quả 2.2 [4]
Nếu sau thời điểm t, lớp tƣơng đƣơng điều kiện Cs nào đó đƣợc làm mịn thành hai lớp tƣơng đƣơng điều kiện mới Cp, Cq. Tại thời điểm t+1, ta có:
(i) Cs = Cp Cq ;
(ii) Dj U/D, Sup(Cs, Dj) = Sup(Cp, Dj) + Sup(Cq, Dj) ở đây j = 1, …, n
Chứng minh:
Chứng minh tƣơng tự nhƣ hệ quả 2.1.
Từ hệ quả này ta có, sau thời điểm t dòng tƣơng ứng với lớp tƣơng đƣơng điều kiện Cs nào đó trong ma trận độ hỗ trợ sẽ đƣợc tách thành hai dòng mới tƣơng ứng với hai lớp tƣơng đƣơng điều kiện mới Cp, Cq tại thời điểm t+1.
Khi đó, để tính giá trị các phần tử của hai dòng mới này trong ma trận độ hỗ trợ, trƣớc tiên ta phải tính giá trị Sup(Cp, Dj) đối với mọi j, sau đó suy ra giá trị của Sup(Cq, Dj) là hiệu giữa giá trị của Sup(Cs, Dj) và Sup(Cp, Dj).