ti¶u v èi ng¨u
Trong thüc t¸ s£n xu§t, câ nhúng h¢ng s£n xu§t nhi·u lo¤i s£n ph©m kh¡c nhau. Qu¡ tr¼nh s£n xu§t c¡c s£n ph©m n y câ thº sû döng chung c¡c nguy¶n li»u. Trong khuæn khê luªn v«n n y, chóng ta ch¿ xem x²t mæ h¼nh s£n xu§t cõa c¡c h¢ng m qu¡ tr¼nh s£n xu§t khæng câ nguy¶n li»u n o ÷ñc dòng chung cho hai s£n ph©m trð l¶n. Hìn th¸, méi s£n ph©m câ h» sè cæng ngh» Leontief ri¶ng v h m s£n xu§t cõa méi s£n ph©m l mët h m s£n xu§t Leontief. â l nëi dung nghi¶n cùu cõa ch÷ìng n y.
3.1 Kh¡i ni»m b i to¡n s£n xu§t Leontief a möcti¶u ti¶u
X²t ho¤t ëng cõa mët h¢ng s£n xu§t k lo¤i h ng hâa kh¡c nhau. S£n ph©m i, i = 1,2, ..., k, câ h» sè cæng ngh» Leontief l ci = (ci1, ci2, ..., cini), tùc l º s£n xu§t mët ìn và s£n ph©m i, c¦n cij nguy¶n li»u ij, j = 1,2, ..., ni. Vîi bë nguy¶n li»u xi = (xi1, xi2, ..., xin
i), ð ¥y xij l khèi l÷ñng nguy¶n li»u lo¤i ij (xij ≥ 0, j = 1,2, ..., ni), câ thº s£n xu§t ÷ñc mët khèi l÷ñng fi(xi) s£n ph©m i b¬ng fi(xi) = min ( xij cij : j = 1,2, ..., ni ) , xi = (xi1, xi2, ..., xini) ∈ Rni. (3.1)
°t n = k X i=1 ni, Rn = k Y i=1 Rni, x = (x1, x2, ..., xk) vîi xi ∈ Rni + Vîi têng sè vèn ÷ñc xem l b¬ng 1, b i to¡n °t ra l t¼m ph÷ìng ¡n s£n xu§t cüc ¤i t§t c£ c¡c s£n ph©m
maxfi(xi) i = 1,2, ..., k vîi r ng buëc x ∈ X, (3.2) trong â tªp X ÷ñc ành ngh¾a t÷ìng tü nh÷ ð ch÷ìng 2. Nhc l¤i tªp X : X = ( x ∈ Rn+ :x ≤ Atu, m X j=1 uj ≤ 1, uj ≥ 0, j = 1,2, ..., m ) ,
ành ngh¾a 3.1. B i to¡n (3.2) ÷ñc gåi l b i to¡n s£n xu§t Leontief a möc ti¶u.
Trong thüc t¸, x¯ ∈ X sao cho fi(¯xi) = maxfi(xi) ∀i = 1,2, ..., k nâi chung khæng tçn t¤i. V¼ vªy, chóng ta th÷íng dòng kh¡i ni»m nghi»m húu hi»u Pareto v nghi»m húu hi»u Pareto y¸u cho b i to¡n (3.2). N¸u ta °t f¯
i(x) = fi(xi), i = 1,2, ..., k, th¼ b i to¡n (3.2) câ thº vi¸t l¤i nh÷ sau:
maxf¯i(x) i = 1,2, ..., k vîi r ng buëc x ∈ X. (3.3) ành ngh¾a 3.2. Vectì x0 ∈ X ÷ñc gåi l nghi»m húu hi»u Pareto n¸u khæng tçn t¤i x0 ∈ X sao cho f¯i(x0) ≥ f¯i(x0) vîi måi i = 1,2, ..., k v
¯
fj(x0) > f¯j(x0) vîi j n o â thuëc {1,2, ..., k}.
ành ngh¾a 3.3. Vectì x0 ∈ X ÷ñc gåi l nghi»m húu hi»u Pareto y¸u n¸u khæng tçn t¤i x0 ∈ X sao cho f¯
i(x0) > f¯i(x0) vîi måi i = 1,2, ..., k. Nhªn x²t. C¡c h m s£n xu§t Leontief l c¡c h m lãm thu¦n nh§t khæng gi£m, tªp r ng buëc X l tªp lçi a di»n âng bà ch°n câ thù nguy¶n ¦y v thäa t½nh ch§t bä i ÷ñc. V¼ vªy, b i to¡n s£n xu§t Leontief a möc ti¶u t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n tèi ÷u vectì tr¶n tªp lçi m c¡c h m möc ti¶u l h m lãm thu¦n nh§t khæng gi£m.