=> B + C = 1200 ; theo trên B - C = OAH => B - C = 200 .
b) Svp = SqBOC - SBOC = . .1202 0 2 1 . 3. 360 2 2 R R R π − = 2 2 2 . . 3 .(4 3 3) 3 4 12 R R R π − = π−
ễn tập thi vào THPT
phần tự luyện
Bài120: Cho hai đờng tròn tâm O và O’ có R > R’ tiếp xúc ngoài tại C . Kẻ các đờng kính COA và CO’B. Qua trung điểm M của AB , dựng DE ⊥ AB.
a) Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ?
b) Nối D với C cắt đờng tròn tâm O’ tại F . CMR ba điểm B , F , E thẳng hàng c) Nối D với B cắt đờng tròn tâm O’ tại G . CMR EC đi qua G
d) *Xét vị trí của MF đối với đờng tròn tâm O’ , vị trí của AE với đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCFE Bài 121: Cho nửa đờng tròn đờng kính COD = 2R . Dựng Cx , Dy vuông góc với CD . Từ điểm E bất kì trên nửa đờng tròn , dựng tiếp tuyến với đờng tròn , cắt Cx tại P , cắt Dy tại Q.
a) Chứng minh ∆ POQ vuông ; ∆ POQ đồng dạng với ∆ CED b) Tính tích CP.DQ theo R c) Khi PC= 2 R . CMR 16 25 = ∆ ∆ CED POQ
d) Tính thể tích của hình giới hạn bởi nửa đờng tròn tâm O và hình thang vuông CPQD khi chúng cùng quay theo một chiều và trọn một vòng quanh CD
Bài 122: Cho đờng tròn tâm O bán kính R có hai đờng kính AOB , COD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất kì trên OA , nối CE cắt đờng tròn tại F . Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đờng tròn , qua E dựng Ey vuông góc với OA . Gọi I là giao điểm của Fx và Ey .
a) Chứng minh I,F,E,O cùng nằm trên một đờng tròn. b) Tứ giác CEIO là hình gì ?
c) Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào ?
Bài 123: Cho đờng tròn tâm O và một điểm A trên đờng tròn . Qua A dựng tiếp tuyến Ax . Trên Ax lấy một điểm Q bất kì , dựng tiếp tuyến QB .
a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc
b) Gọi E là trung điểm của QO , tìm quỹ tích của E khi Q chuyển động trên Ax.
c) Hạ BK ⊥ Ax , BK cắt QO tại H . CMR tứ giác OBHA là hình thoi và suy ra quỹ tích của điểm H Bài 124: Cho ∆ ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O . Các đờng cao AD , BK cắt nhau tại H , BK kéo dài cắt đờng trong tại F . Vẽ đờng kính BOE .
a) Tứ giác AFEC là hình gì ? Tại sao ?
b) Gọi I là trung điểm của AC , chứng minh H , I , E thẳng hàng c) CMR OI =
2
BH
và H ; F đối xứng nhau qua AC
Bài 125: Cho (O,R) và (O’,R’ ) (với R>R’ ) tiếp xúc trong tại A . Đờng nối tâm cắt đờng tròn O’ và đờng tròn O tại B và C . Qua trung điểm P của BC dựng dây MN vuông góc với BC . Nối A với M cắt đờng tròn O’
tại E .
a) So sánh ∠ AMO với ∠ NMC (∠ - đọc là góc) b) Chứng minh N , B , E thẳng hàng và O’P = R ; OP = R’
c) Xét vị trí của PE với đờng tròn tâm O’
Bài 126: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB . Lấy B làm tâm vẽ đờng tròn bán kính OB . Đờng tròn này cắt đờng tròn O tại C và D
a) Tứ giác ODBC là hình gì ? Tại sao ? b) CMR OC ⊥ AD ; OD ⊥ AC
c) CMR trực tâm của tam giác CDB nằm trên đờng tròn tâm B
Bài 127: Cho đờng tròn tâm O và một đờng thẳng d cắt đờng tròn đó tại hai điểm cố định A và B . Từ một điểm M bất kì trên đờng thẳng d nằm ngoài đoạn AB ngời ta kẻ hai tiếp tuyến với đờng tròn là MP và MQ ( P, Q là các tiếp điểm ) .
a) Tính các góc của ∆MPQ biết rằng góc giữa hai tiếp tuyến MP và MQ là 450 .
ễn tập thi vào THPT
b) Gọi I là trung điểm AB . CMR 5 điểm M , P , Q , O , I cùng nằm trên một đờng tròn . c) Tìm quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ MPQ khi M chạy trên d
Bài 128: Cho ∆ ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , tia phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại E và cắt đ- ờng tròn tại M .
a) CMR OM ⊥ BC
b) Dựng tia phân giác ngoài Ax của góc A . CMR Ax đi qua một điểm cố định c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài tại F . CMR FB . EC = FC . EB
( Hớng dẫn : áp dụng tính chất đờng phân giác của tam giác )
Bài 129: Cho ∆ ABC ( AB = AC , A < 900 ), một cung tròn BC nằm trong ∆ ABC và tiếp xúc với AB , AC tại B và C . Trên cung BC lấy điểm M rồi hạ các đờng vuông góc MI , MH , MK xuống các cạnh tơng ứng BC , CA , AB . Gọi P là giao điểm của MB , IK và Q là giao điểm của MC , IH.
a) CMR các tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đợc b) CMR tia đối của tia MI là phân giác HMK
c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp đợc . Suy ra PQ // BC
Bài 130: Cho ∆ ABC ( AC > AB ; BAˆC > 900 ) . I , K theo thứ tự là các trung điểm của AB , AC . Các đờng tròn đờng kính AB , AC cắt nhau tại điểm thứ hai D ; tia BA cắt đờng tròn (K) tại điểm thứ hai E ; tia CA cắt đờng tròn (I) tại điểm thứ hai F.
a) CMR ba điểm B , C , D thẳng hàng b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp đợc
c) Chứng minh ba đờng thẳng AD , BF , CE đồng quy
d) Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đờng tròn ngoại tiếp ∆ AEF . Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng DH , DE .
Bài 131: Cho đờng tròn (O;R) và điểm A với OA =R 2 , một đờng thẳng (d) quay quanh A cắt (O) tại M , N ; gọi I là trung điểm của đoạn MN .
a) CMR OI ⊥ MN. Suy ra I di chuyển trên một cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B, C thuộc (O) b) Tính theo R độ dài AB , AC . Suy ra A , O , B , C là bốn đỉnh của hình vuông
c) Tính diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đoạn AB , AC và cung nhỏ BC của (O)
Bài132: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R , C là trung điểm của cung AB . Trên cung AC lấy điểm F bất kì . Trên dây BF lấy điểm E sao cho BE = AF.
a) ∆ AFC và ∆ BEC có quan hệ với nhau nh thế nào ? Tại sao ? b) CMR ∆ FEC vuông cân
c) Gọi D là giao điểm của đờng thẳng AC với tiếp tuyến tại B của nửa đờng tròn . CMR tứ giác BECD nội tiếp đợc
Bài133: Cho đờng tròn (O;R) và hai đờng kính AB , CD vuông góc với nhau . E là một điểm bất kì trên cung nhỏ BD ( E ≠B;E ≠D ) . EC cắt AB ở M , EA cắt CD ở N.
a) CMR ∆ AMC đồng dạng ∆ ANC . b) CMR : AM.CN = 2R2
c) Giả sử AM=3MB . Tính tỉ số ND CN
Bài 134: Một điểm M nằm trên đờng tròn tâm (O) đờng kính AB . Gọi H , I lần lợt là hai điểm chính giữa các cungAM , MB ; gọi Q là trung điểm của dây MB , K là giao điểm của AM , HI.
a) Tính độ lớn góc HKM
b) Vẽ IP ⊥ AM tại P , CMR IP tiếp xúc với đờng tròn (O)
c) Dựng hình bình hành APQR . Tìm tập hợp các điểm R khi M di động trên nửa đờng tròn (O) đờng kính AB
Bài 135: Gọi O là trung điểm cạnh BC của ∆ ABC đều . Vẽ góc xOy =600 sao cho tia Ox, Oy cắt cạnh AB , AC lần lợt tại M, N .
ễn tập thi vào THPT
a) CMR ∆ OBM đồng dạng ∆ NCO , từ đó suy ra BC2 = 4 BM.CN . b) CMR : MO, NO theo thứ tự là tia phân giác các góc BMN, MNC .
c) CMR đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định , khi góc xOy quay xung quanh O sao cho các tia Ox,Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC
Bài136: Cho M là điểm bất kì trên nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB=2R (M ≠A,B). Vẽ các tiếp tuyến Ax , By , Mz của nửa đờng tròn đó . Đờng Mz cắt Ax , By lần lợt tại N và P . Đờng thẳng AM cắt By tại C và đờng thẳng BM cắt Ax tại D . Chứng minh :
a) Tứ giác AOMN nội tiếp đờng tròn và NP = AN + BP b) N và P lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng AD và BC c) AD.BC = 4R2
d) Xác định vị trí M để t giác ABCD có diện tích nhỏ nhất
Bài 137: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tâm (O) và I là điểm chính giữa cung AB (cung AB không chứa C và D ). Dây ID , IC cắt AB lần lợt tại M và N .
a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp trong đờng tròn
b) IC và AD cắt nhau tại E ; ID và BC cắt nhau tại F . CMR EF // AB
Bài 138: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AC . Trên đoạn OC lấy điểm B (B ≠C) và vẽ đờng tròn tâm (O’) đờng kính BC . Gọi M là trung điểm của đoạn AB . Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB , DC cắt đờng tròn (O’) tại I .
a) Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ? b) Chứng minh ba điểm I , B , E thẳng hàng
c) CMR: MI là tiếp tuyến của đờng tròn (O’) và MI2 = MB.MC
Bài 139: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AB = 2R và một điểm M di động trên một nửa đờng tròn . Ngời ta vẽ một đờng tròn tâm (E) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại M và tiếp xúc với đờng kính AB tại N . Đ- ờng tròn này cắt MA , MB lần lợt tại các điểm thứ hai C , D
a) Chứng minh : CD // AB .
b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm K cố định. c) CMR : KM.KN không đổi
Bài 140: Cho một đờng tròn đờng kính AB , các điểm C , D ở trên đờng tròn sao cho C , D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi các điểm chính giữa các cung AC , AD lần lợt là M , N ; giao điểm của MN với AC , AD lần lợt là H , I ; giao điểm của MD với CN là K
a) CMR: ∆NKD;∆MAK cân
b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp đợc . Suy ra KH // AD c) So sánh góc CAK với góc DAK
Bài 141: Cho ba điểm A , B , C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và đờng thẳng (d) vuông góc với AC tại A . Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì . Tia CM cắt đờng thẳng d tại D ; tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N ; tia DB cắt đờng tròn tại điểm thứ hai P.
a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp đợc
b) CMR : CM.CD không phụ thuộc vị trí của M c) Tứ giác APND là hình gì ? Tại sao ?
d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đờng tròn cố định khi M di động.
Bài 142: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB . Một điểm M nằm trên cung AB ; gọi H là điểm chính giữa của cung AM . Tia BH cắt AM tại một điểm I và cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn (O) tại điểm K . Các tia AH ; BM cắt nhau tại S .
a) Tam giác BAS là tam giác gì ? Tại sao ? Suy ra điểm S nằm trên một đờng tròn cố định . b) Xác định vị trí tong đối của đờng thẳng KS với đờng tròn (B;BA)
c) Đờng tròn đi qua B , I , S cắt đờng tròn (B;BA) tại một điểm N . CMR đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung AB.
d) Xác định vị trí của M sao cho MKˆA=900.
Bài 143: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đờng tròn và P là điểm chính giữa của cung AB không chứa C và D . Hai dây PC và PD lần lợt cắt dây AB tại E và F . Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I ; các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K . CMR:
ễn tập thi vào THPT
a) Góc CID bằng góc CKD b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc c) IK // AB
d) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A
Bài 144: Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại A , kẻ tiếp tuyến chung Ax. Một đ- ờng thẳng d tiếp xúc với (O1) , (O2) lần lợt tại các điểm B , C và cắt Ax tại điểm M . Kẻ các đờng kính BO1D và CO2E.
a) CMR: M là trung điểm của BC b) CMR: ∆ O1MO2 vuông
c) Chứng minh B , A , E thẳng hàng ; C , A , D thẳng hàng
d) Gọi I là trung điểm của DE CMR đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với đờng thẳng d Bài 145: Cho (O;R) trên đó có một dây AB = R 2 cố định và một điểm M di động trên cung lớn AB sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn . Gọi H là trực tâm của tam giác MAB ; P , Q lần lợt là các giao điểm thứ hai của các đờng thẳng AH , BH với đờng tròn (O) ; S là giao điểm của các đờng thẳng PB , QA.
a) CMR : PQ là đờng kính của đờng tròn (O) b) Tứ giác AMBS là hình gì ? Tại sao ? c) Chứng minh độ dài SH không đổi
d) Gọi I là giao điểm của các đờng thẳng SH , PQ . Chứng minh I chạy trên một đờng tròn cố định. Bài 146: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao cho AP > R . Kẻ tiếp tuyến PM (M là tiếp điểm ) .
a) CMR : BM // OP
b) Đờngthẳng vuông gócvới AB tại O cắt tia BM tại N . Tứ giác OBNP là hình gì ? Tại sao ?
c) Gọi K là giao điểm của AN với OP ; I là giao điểm của ON với PM ; J là giao điểm của PN với OM . CMR : K , I , J thẳng hàng
d) Xác định vị trí của P sao cho K nằm trên đờng tròn (O)
Bài 147: Cho đờng tròn (O;R) , hai đờng kính AB và CD vuông góc nhau . Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O ) , đờng thẳng CM cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai N . Đờng thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đờng tròn (O) ở điểm P .
a) CMR tứ giác OMNP nội tiếp đợc b) Tứ giác CMPO là hình gì ? Tại sao ? c) CMR : CM.CN không đổi
d) CMR : khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên mộtđờng thẳng cố định
Bài 148: Cho hai đờng tròn (O) , (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B . Các đờng thẳng AO , AO’ cắt đờng tròn (O) lần lợt tại các điểm thứ hai C , D và cắt đờng tròn (O’) lần lợt tại các điểm thứ hai E , F .
a) CMR: B , F , C thẳng hàng b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc
c) Chứng minh A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE
d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đờng tròn (O) , (O’)
Bài 149: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đờng tròn ( M khác A và B ) . Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt đờng trung trực của đoạn AB tại I . Đờng tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng d tại C và D ( D nằm trong góc BOM ).
a) CMR các tia OC , OD là các tia phân giác của các góc AOM , BOM. b) CMR : CA và DB vuông góc với AB
c) CMR : ∆AMB đồng dạng ∆COD
d) CMR : AC.BD = R2
Bài 150: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB và một điểm M bất kỳ trên đờng tròn . Gọi các điểm chính giữa của các cung AM , MB lần lợt là H , I . Cãc dây AM và HI cắt nhau tại K .
a) Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi
b) Hạ ΙΡ ⊥ ΑΜ. Chứng minh IP là tiếp tuyến của (O;R)
c) Gọi Q là trung điểm của dây MB . Vẽ hình bình hành APQS . Chứng minh S thuộc đờng tròn (O;R)
ễn tập thi vào THPT
d) CMR kkhi M di động thì thì đờng thẳng HI luôn luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định.
Bài 151: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và hai điểm C , D thuộc nửa đờng tròn sao cho cung AC < 900 và COˆD =900. Gọi M là một điểm trên nửa đờng tròn sao cho C là điểm chính chính giữa cung AM . Các dây AM , BM cắt OC , OD lần lợt tại E và F .