2 TÍCH VÔ HẠN
2.1.2 Mối liên hệ giữa tích vô hạn và chuỗi
Qua mối liên hệ được đưa ra trên đây và lý thuyết chuỗi số đã được hệ thống chuẩn mức, ta có thể trình bày một số kết quả về tích vô hạn theo các trường hợp sau dựa trên lý thuyết chuỗi số.
Trường hợp không âm Định lý 2.2. Tích vô hạn
∞
Q
n=1
(1 +an) với các số hạng không âm an hội tụ nếu và chỉ nếu chuỗi
∞
P
n=1
an hội tụ.
Chứng minh. Ta kí hiệu tích riêng và tổng riêng tương ứng bởi pn = n Q k=1 (1 +ak) và sn = n P k=1 ak.
Từ giả thiết các ak là không âm nên cả hai dãy {pn} và {sn} đều không giảm. Do đó, các dãy này hội tụ nếu và chỉ nếu chúng bị chặn. Trước hết, từ bất đẳng thức 1 +x ≤ ex; với mọi x ∈ R ta nhận được đánh giá pn = n Q k=1 (1 +ak) ≤ n Q k=1 eak = e n P k=1 ak = esn.
Bất đẳng thức này cho thấy rằng nếu dãy {sn} bị chặn thì dãy {pn}
cũng bị chặn. Để nhận được đánh giá ngược lại, ta thấy rằng pn = (1 +a1)(1 +a2)...(1 +an) ≥ 1 +sn.
Điều này nhận được do khi khai triển tích ta nhận được tổng 1 + (a1+
a2 +...+an) và các số hạng không âm khác. Điều này cho thấy rằng nếu dãy {pn} bị chặn thì dãy {sn} cũng bị chặn.
Ví dụ 2.3. Như một hệ quả của định lý trên, tích
∞ Q n=1 1 + 1 np
hội tụ với p > 1 và phân kỳ với p≤ 1.
Trường hợp tổng quát
Định lý 2.3. Một tích vô hạn
∞
Q
n=1
(1 +an) hội tụ nếu và chỉ nếu an →0 và chuỗi sau hội tụ
∞
P
n=m+1
ln(1 + an),
bắt đầu từ chỉ số m+ 1 nào đó. Hơn nữa, nếu L là tổng của chuỗi thì
∞
Q
n=1
(1 +an) = (1 +a1)...(1 +am)eL.
Chứng minh.Trước hết, ta nhấn mạnh rằng "bắt đầu từ chỉ số m+1
nào đó" với tổng của các hàm logarit là cần thiết.Vì ta cần làm rõ tổng bắt đầu từ bao nhiêu là đủ để không có số hạng 1 +an nào là 0 (nếu không thì 1 +an không thể định nghĩa). Theo mệnh đề 2.1, để tích
∞
Q
n=1
(1 +an) hội tụ ta cần an → 0. Do đó, ta có thể giả thiết an → 0
và cũng có thể chọn m sao cho n > m để |an| < 1. Cho bn = 1 + an, ta sẽ chứng minh tích vô hạn
∞
Q
n=1
bn hội tụ nếu và chỉ nếu chuỗi
∞
P
n=m+1
lnbn
hội tụ. Thêm nữa, như khẳng định của định lý, nếu L là tổng của chuỗi thì
∞
Q
n=1
bn = b1...bmeL. (2.5)
Thật vậy, với mỗi n > m, ta kí hiệu tích riêng và tổng riêng tương ứng bởi pn = n Q k=m+1 bk và sn = n P k=m+1 lnbk. Từ exp(lnz) = z với bất kỳ giá trị phức z khác 0, ta có
exp(sn) = pn. (2.6)
Do đó, nếu tổng sn hội tụ tới một giá trị L thì phương trình (2.6)
cho thấy rằng pn hội tụ tới eL và điều đó cũng chứng minh công thức
(2.5).
Ngược lại, giả sử rằng {pn} hội tụ tới một giá trị phức p khác 0. Ta sẽ chứng minh rằng {sn} cũng hội tụ. Sự thiết lập công thức (2.5) kéo theo công thức (2.6). Chú ý rằng ta có thể viết bm+1 bởi bm+1
p , ở đây cho rằng p= 1. Với mỗi số nguyên dương k > m, ta có thể viết
pn = exp(lnpn).
Như thế, công thức (2.6) có nghĩa là với n > m,
sn = lnpn+ 2πikn; với số nguyên kn nào đó. Hơn nữa, bởi vì
sn −sn−1 = n P k=m+1 lnbk − n−1 P k=m+1 lnbk = lnbn, và bn →1 (do an → 0), ta suy ra rằng lnpn−lnpn−1 + 2π(kn−kn−1) = sn−sn−1 →0; khi n → ∞. Từ giả thiếtpn → 1nên kn−kn−1 →0, điều này chỉ xảy ra khi kn = k, với số nguyên dương cố định n đủ lớn. Do đó
sn = lnpn + 2πikn → 2πik, điều này chứng tỏ {sn} hội tụ.