Các định nghĩa

Giả sử E là không gian Banach thực, Kvà K0 là hai nón trong không gian E, KK0 , không gian E nửa sắp thứ tự theo nón K,

 

0 0 \

u  K K  , kí hiệu  là phần tử không của không gian E, A E: E

là ánh xạ.

Định nghĩa 2.1.1. Toán tử A gọi là dương trên tập M E, nếu AM M.

Định nghĩa 2.1.2. Toán tử A gọi là đơn điệu trên tập M E, nếu

, :

x y M x y

   thì AxAy.

Định nghĩa 2.1.3. Toán tử A gọi là u0 - đo được trên tập M E, nếu:

 

 x M \     x 0   x 0u0 Axu0.

Định nghĩa 2.1.4. Toán tử A gọi là K u, 0 - lõm, nếu:

1) Toán tử A dương, đơn điệu và u0 - đo được trên nón K0; 2)  x K0 \   t  0;1  AtxtAx;

3) x y, K u0 0  t  0;1 :x ty 

 

   x y t, , 0 Ax tAyu0.

Định nghĩa 2.1.5. Toán tử A gọi là K u, 0 - lõm chính quy, nếu: 1) Toán tử A dương và đơn điệu trên nón K0;

2)  x K0 \   t  0;1  AtxtAx; 3) x y, K u0 0  t  0;1 :x ty 

 

   x y t, , 0 Ax tAyu0.

Định nghĩa 2.1.6. Toán tử A gọi là compact, nếu toán tử A biến tập con bất kỳ bị chặn theo chuẩn trong không gian E thành tập compact tương đối trong không gian E.

Định nghĩa 2.1.7. Phần tử xE\  gọi là vectơ riêng của toán tử A tương ứng với giá trị riêng R, nếu Axx.

2.2. Một số tính chất đơn giản về toán tử K u, 0 - lõm chính quy compact Định lý 2.2.1. Nếu A là toán tử K u, 0 - lõm chính quy compact, thì