vào chính nó. Khi đó, cặp ánh xạ (S,T) được gọi làtương thích yếu tại x nếu ρ(ST x, T Sx, a) ≤ ρ(T x, Sx, a),∀a ∈ X.
36
X →X thỏa mãn
SX ⊆ F X, T X ⊆ GX.
Giả sử tồn tạiα ∈ Avà hằng sốL ≥ 0sao cho
ρ(Sx, T y, a) ≤ α(ρ(Gx, F y, a), ρ(Gx, Sx, a), ρ(F y, T y, a))+LNa(x, y), (2.28)
∀x, y, a ∈ X, trong đó,
Na(x, y) = min{ρ(Gx, Sx, a), ρ(F y, T y, a), ρ(Gx, T y, a), ρ(F y, Sx, a)}.
Khi đó,
i) Nếu F X ∪GX là không gian con đầy đủ của X thì tập C(T,F) và C(S,G) là khác rỗng, trong đó C(T,F) được định nghĩa là tập hợp các điểm trùng nhau của T và F.
ii) Hơn nữa, nếu (T,F) và (S,G) là các cặp ánh xạ tương thích yếu tại các điểm trùng nhau thì F, G, S, T có duy nhất một điểm bất động chung.
Chứng minh. i) Giả sử SX ⊆ F X, T X ⊆ GX. Khi đó với mỗi điểm x0 nào đó thuộc X ta có thể tìm được x1, x2, . . . ∈ X sao cho Sx0 = F x1, T x1 =
Gx2, Sx2 = F x3, . . .Từ đó, ta có thể xét dãy{yn}trong X xác định như sau yn = ( Sxn = F xn+1 nếu n chẵn T xn = Gxn+1 nếu n là lẻ. Trường hợp 1:n ∈ N, n chẵn ρ(yn, yn+1, a) = ρ(Sxn, T xn+1, a) ≤ α(ρ(Gxn, F xn+1, a), ρ(Gxn, Sxn, a), ρ(F xn+1, T xn+1, a)) +LNa(xn, xn+1) = α(ρ(yn−1, yn, a), ρ(yn−1, yn, a), ρ(yn, yn+1, a)) +LNa(xn, xn+1) ≤ kρ(yn−1, yn, a) + LNa(xn, xn+1).
Ta có, Na(xn, xn+1) = min{ρ(Gxn, Sxn, a), ρ(F xn+1, T xn+1, a) ρ(Gxn, T xn+1, a), ρ(F xn+1, Sxn, a)} = min{ρ(yn−1, yn, a), ρ(yn, yn+1, a), ρ(yn−1, yn+1, a), ρ(yn, yn, a)} = min{ρ(yn−1, yn, a), ρ(yn, yn+1, a), ρ(yn−1, yn+1, a),0} = 0. Suy ra: ρ(yn, yn+1, a) ≤ kρ(yn−1, yn, a). Trường hợp 2:n ∈ N, n lẻ. Ta có ρ(yn, yn+1, a) = ρ(T xn, Sxn+1, a) ≤ α(ρ(Gxn+1, F xn, a), ρ(Gxn+1, Sxn+1, a), ρ(F xn, T xn, a)) +LNa(xn+1, xn) = α(ρ(yn, yn−1, a), ρ(yn, yn+1, a), ρ(yn−1, yn, a)) +LNa(xn+1, xn) ≤ kρ(yn−1, yn, a) + LNa(xn+1, xn). Ta có, Na(xn+1, xn) = min{ρ(Gxn+1, Sxn+1, a), ρ(F xn, T xn, a), ρ(Gxn+1, T xn, a), ρ(F xn, Sxn+1, a)} = min{(ρ(yn, yn+1, a), ρ(yn−1, yn, a), ρ(yn, yn, a), ρ(yn−1, yn+1, a)} = min{ρ(yn, yn+1, a), ρ(yn−1, yn, a),0, ρ(yn−1, yn+1, a)} = 0. Suy raρ(yn, yn+1, a) ≤ kρ(yn−1, yn, a).
38
Vậy∀n ∈ N,luôn tồn tại hằng số k ∈ [0,1)sao cho
ρ(yn, yn+1, a) ≤k.[ρ(yn−1, yn, a)], ∀a ∈ X. Bằng quy nạp, ta có
ρ(yn, yn+1, a) ≤knρ(y0, y1, a), ∀a ∈ X, (2.29) k là hằng số thuộc[0,1).
Hoàn toàn thương tự như trong chứng minh Định lí 2.1.5 ta có {yn}là dãy số Cauchy trong X.
Do cách xác định của{yn}nên {yn} ⊂ F X ∪GX đầy đủ. Do đó, tồn tại một điểm ω ∈ F X ∪ GX sao cho lim
n→∞yn = ω. Không mất tính tổng quát giả sử ω ∈ GX. Khi đó tồn tại u ∈ X sao cho ω = Gu, thay x = u, y = xm vào (2.28), ta có
ρ(Su, T xm, a) ≤ α(ρ(Gu, F xm, a), ρ(Gu, Su, a), ρ(F xm, T xm, a)) +LNa(u, y) = α(ρ(ω, ym−1, a), ρ(w, Su, a), ρ(ym−1, ym, a))
+LNa(u, y), (2.30)
trong đó
Na(u, y) = min{ρ(Gu, Su, a), ρ(F xm, T xm, a), ρ(Gxm, T xm, a), ρ(F xm, Su, a)} = min{ρ(ω, Su, a), ρ(ym−1, ym, a), ρ(ym−1, ym, a), ρ(ym−1, Su, a)}. Từ tính liên tục củaα,ym → ω và Mệnh đề 1.2.7 thì từ (?), chom → ∞ta có
ρ(Su, ω, a) ≤ α(ρ(ω, ω, a), ρ(ω, Su, a), ρ(ω, ω, a))
+Lmin{ρ(ω, Su, a), ρ(ω, ω, a), ρ(ω, ω, a), ρ(ω, Su, a)} ≤ α(0, ρ(ω, Su, a),0) +Lmin{ρ(ω, Su, a),0, ρ(ω, Su, a)} ≤ k.0 + 0 = 0, ∀a ∈ X.
Vậy,Su = ω = Gu.
Thayx = u,y = v trong (2.28), ta có ρ(ω, T v, a) ≤ α(0,0, ρ(ω, T v, a)) +L.0 ≤ k.0 + 0 = 0, ∀a ∈ X. Do đó, F v = T v = ω = Su = Gu. (2.31) Vậy, C(F, T) 6= ∅vàC(G, S) 6= ∅.
ii)Bây giờ giả sử rằng(F, T) và(S, G)là các cặp ánh xạ tương thích yếu tại các điểm trùng nhau, ta sẽ chứng minhω là điểm bất động chung duy nhất của S, T, F, G.
Thật vậy, trước tiên ta chứng minh S, T, F, Gcó điểm bất động chung là ω. Từ (2.31) ta có F và T tương thích yếu với nhau tạiv nên với mọi a ∈ X (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ρ(F T v, T F v, a) ≤ ρ(T v, F v, a)
ρ(F ω, T ω, a) ≤ ρ(ω, ω, a) = 0. Suy ra,
F ω = T ω. (2.32)
Tương tự, S và G tương thích yếu với nhau tại unên với mọi a ∈ X ρ(SGu, GSu, a) ≤ ρ(Gu, Su, a)
ρ(Sω, Gω, a) ≤ ρ(ω, ω, a) = 0. Suy ra,
Sω = Gω. (2.33)
Bây giờ thayx = ω, y = v vào (2.28) và từ (2.32) ta có
ρ(Sω, T v, a) ≤ α(ρ(Gω, F v, a), ρ(Gω, Sω, a), ρ(F v, T v, a)) +LNa(ω, v)
ρ(Sω, ω, a) ≤ α(ρ(Sω, ω, a), ρ(Sω, Sω, a), ρ(ω, ω, a)) +LNa(ω, v) = α(ρ(Sω, ω, a),0,0) +LNa(ω, v)
40
trong đó,
Na(ω, v) = min{ρ(Gω, Sω, a), ρ(F v, T v, a), ρ(Gω, T v, a), ρ(F v, Sω, a)} = min{ρ(Sω, Sω, a), ρ(ω, ω, a), ρ(Sω, ω, a), ρ(ω, Sω, a)} = min{0,0, ρ(Sω, ω, a)} = 0.
Do đó, ρ(Sω, ω, a) = 0 hay Sω = ω = Gω. Tương tự, cho x = y = ω, từ (2.28) và (2.33) ta cóT ω = ω = F ω.Vậy, Sω = Gω = ω = T ω = F ω.
Cuối cùng ta chỉ raω là duy nhất.
Thật vậy, giả sử ω0 là một điểm bất động chung của bốn ánh xạ S, T, G, F. Khi đó, thayx = ω0, y = ω vào (2.28) ta có
ρ(Sω0, T ω, a) ≤ α(ρ(Gω0, F ω, a), ρ(Gω0, Sω0, a), ρ(F ω, T ω, a)) +Lmin{ρ(Gω0, Sω0, a), ρ(F ω, T ω, a), ρ(Gω0, T ω, a), ρ(F ω, Sω0, a} ρ(ω0, ω, a) ≤ α(ρ(ω0, ω, a), ρ(ω0, ω0, a), ρ(ω, ω, a)) + Lmin{ρ(ω0, ω0, a), ρ(ω, ω, a), ρ(ω0, ω, a), ρ(ω, ω0, a)} = α(ρ(ω0, ω, a),0,0) +Lmin{0,0, ρ(ω0, ω, a)} ≤ k.0 + 0 = 0. Suy ra,ρ(ω0, ω, a) = 0, hayω0 = ω.
ChoF = Gtrong Định lí 2.2.3 ta thu được hệ quả sau
2.2.4 Hệ quả. ChoF,S và T là các ánh xạ từ không gian 2-mêtric (X, ρ)vàochính nó thoả mãnSX∪T X ⊆F X và tồn tạiα ∈ A, hằng sốL ≥ 0sao cho chính nó thoả mãnSX∪T X ⊆F X và tồn tạiα ∈ A, hằng sốL ≥ 0sao cho
ρ(Sx, T y, a) ≤ α(ρ(F x, F y, a), ρ(F x, Sx, a), ρ(F y, T y, a)) +LNa(x, y),
∀x, y, a∈ X,trong đó
i) NếuF X là không gian con đầy đủ củaX thìF, S vàT có một điểm trùng nhau.
ii) Hơn nữa, nếu F tương thích yếu với cả S và T tại các điểm trùng nhau thìF, S, T có một điểm bất động chung duy nhất.
Chọn F là ánh xạ đồng nhất củaX, trong Hệ quả 2.2.4 dẫn theo hệ quả sau