Định nghĩa 2.1.13. Giả sửX : Ω →E là phần tử ngẫu nhiên. Phần tử m ∈ E
được gọi là kỳ vọng của X nếu với mọi f ∈ E∗ ta có f(m) = E(f(X)). Ký hiệu m = EX.
Sử dụng định nghĩa trên và các tính chất của kỳ vọng của biên ngâu nhiên, ta dễ dàng chứng minh được
Định lý 2.1.14. Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên, ξ là biến ngẫu nhiên cùng xác định trên (Ω,F,P), a ∈ R, α ∈ E. Khi đó, nếu tồn tại EX,EY,Eξ
thì
1. Tồn tại E(X +Y) và E(X +Y) =EX +EY; 2. Tồn tại E(aX) và E(aX) = aEX;
3. Tồn tại E(αξ) và E(αξ) = αEξ; 4. Nếu P(X = α) = 1 thì EX = α;
5. Nếuξ vàf(X) độc lập với mọif ∈ E∗ thì tồn tạiE(ξX) vàE(ξX) =
EξEX;
6. Với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục T : E → E0 (E0 là không gian Banach thực khả ly) thì tồn tạiE(T(X)) và E(T(X)) = T(E(X)).
Chứng minh. Trường hợp 1. X là phần tử ngẫu nhiên đơn giản X = n X j=1 ajIAj với Sn j=1 Aj = Ω, Ai∩Aj = ∅ (i 6= j), Aj ∈ F, aj ∈ E. Khi đó EX = n X j=1 E(ajIAj) = n X j=1 ajP(Aj) ∈ E. Hơn nữa kEXk = n X j=1 ajP(Aj) 6 n X j=1 kajkP(Aj) = EkXk.
Trường hợp 2. X là phần tử ngẫu nhiên bất kỳ. Khi đó, tồn tại dãy phần tử ngẫu nhiên đơn giản {Xn, n >1} sao cho
Xn →X, kXnk6 2kXk, kXn −Xk → 0,
kXn−Xk 63kXk, EkXk < ∞.
áp dụng định lý hội tụ bị chặn Lebesgue cho dãy biến ngẫu nhiên {kXn −
Xk, n > 1}, ta có EkXn −Xk → E0 = 0 khi n → ∞. Từ đó suy ra rằng {EXn, n > 1} là dãy cơ bản, do đó nó sẽ hội tụ trong E đến phần tử m nào đó. Ta có |Ef(Xn)−Ef(X)| = |Ef(Xn−X)| 6 E|f(Xn−X)| 6 kfkEkXn −Xk → 0. Khi đó m = EX vì f(m) = f( lim n→∞EXn) = lim n→∞f(EXn) = lim n→∞E(f(Xn)) =Ef(X) với mọi f ∈ E∗.
Hơn nữa kEXk = k lim n→∞EXnk= lim n→∞kEXnk 6 lim n→∞EkXnk= EkXk. Định lý được chứng minh. 2.1.5 Các dạng hội tụ
Định nghĩa 2.1.16. Giả sử(Ω,F,P)là không gian xác suất đầy đủ,Elà không gian Banach thực khả ly, {X, Xn, n > 1} là họ phần tử ngẫu nhiên cùng xác định trên Ω và nhận giá trị trong E. Ta nói:
•Dãy {Xn, n > 1} hội tụ hầu chắc chắn đến X khi n→ ∞ nếu tồn tại tập N ∈ F sao cho P(N) = 0 và Xn(ω) → X(ω) (theo chuẩn) khi n → ∞ với mọiω ∈ Ω\N.
Ký hiệuXn →X h. c. c., hoặc Xn −−−→h. c. c. X khi n → ∞.
• Dãy{Xn, n > 1} hội tụ đầy đủ đến X khi n → ∞ nếu với mọi ε > 0
thì ∞
X n=1
P(kXn−Xk > ε) < ∞.
Ký hiệuXn −→c X khi n → ∞.
•Dãy {Xn, n > 1} hội tụ theo xác suất đến X khin → ∞ nếu với mọi
ε > 0 thì
lim
n→∞P(kXn −Xk > ε) = 0.
Ký hiệuXn −→P X khin → ∞.
•Dãy {Xn, n > 1} hội tụ theo trung bình cấp p > 0đến X khin → ∞ nếu X, Xn (n> 1) khả tích bậc p và lim (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
n→∞EkXn−Xkp = 0. Ký hiệuXn −→Lp X khin → ∞.
Nhận xét 1. Từ định nghĩa trên suy ra rằng dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn, n >
phần tử ngẫu nhiên X khi n → ∞ khi và chỉ khi dãy biến ngẫu nhiên (thực) {kXn −Xk, n > 1} hội tụ hầu chắc chắn (đầy đủ, theo xác suất, theo trung bình cấp p) đến 0 khi n → ∞. Do đó, bằng cách sử dụng các tính chất tương ứng của dãy biến ngẫu nhiên thực (xem Mục 2.1), ta có ngay các tính chất sau đây của dãy phần tử ngẫu nhiên.
1. Xn → X h. c. c. (n→ ∞) khi và chỉ khi với mọi ε > 0,
lim
n→∞P sup
m>n
kXm−Xk > ε = 0.
2. Nếu Xn −→c X thì Xn −−−→h. c. c. X khi n→ ∞.
3. Nếu {Xn, n > 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập và Xn −−−→h. c. c.
C ∈ E thì Xn −→c C khi n→ ∞.
4. Nếu Xn −−−→h. c. c. X hoặc Xn −→Lp X thì Xn −→P X khi n → ∞.
5. Nếu dãy {Xn, n > 1} hội tụ theo xác suất thì tồn tại dãy con {Xnk, k > 1} ⊂ {Xn, n >1} sao cho {Xnk, k > 1} hội tụ hầu chắc chắn. Định nghĩa 2.1.17. Ta nói dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn, n >1}là dãy cơ bản:
• hầu chắc chắn nếu P( lim
m,n→∞kXm−Xnk = 0) = 1; • theo xác suất nếu lim
m,n→∞P(kXm −Xnk> ε) = 0 với mọi ε > 0; • theo trung bình cấp p > 0 nếu lim
m,n→∞EkXm−Xnkp = 0.
Nhận xét 2. Định nghĩa trên là mở rộng nhưng hoàn toàn tương tự với định nghĩa tương ứng đối với dãy biến ngẫu nhiên (thực). Do đó, bằng cách sử dụng phương pháp và kỹ thuật tương tự như đối với dãy biến ngẫu nhiên thực, ta có ngay các tính chất sau đây.
1. Dãy{Xn, n > 1}cơ bản hầu chắc chắn khi và chỉ khi dãy{Xn, n > 1} hội tụ hầu chắc chắn.
2. Dãy {Xn, n > 1} là dãy cơ bản hầu chắc chắn khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau được thoả mãn:
(i) lim n→∞P sup k,l>n kXk −Xlk > ε = 0 với mọi ε > 0; (ii) lim n→∞P sup k>n kXk −Xnk > ε = 0 với mọi ε > 0.
3. Nếu dãy{Xn, n>1}cơ bản theo xác suất thì tồn tại dãy con{Xnk, k >
1} ⊂ {Xn, n >1} sao cho {Xnk, k >1} hội tụ hầu chắc chắn.
4. Dãy {Xn, n >1} hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản theo xác suất.
5. Dãy {Xn, n > 1} hội tụ theo trung bình cấp p (p > 1) khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản theo trung bình cấpp.