C 1: hứng minh gúc giữa chỳng là một vuụng.
Bài tập rốn luyện
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là một tam giỏc vuụng tại A, AC = b,Cà =600.Đường chộo BC’ của mặt bờn BB’C’C tạo với mp(AA’C’C) một gúc 300.
1/Tớnh độ dài đoạn AC’ 2/Tớnh V khối lăng trụ.
Bài 2: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD.Biết AB =a và gúc giữa mặt bờn và đỏy bằng α,tớnh V khối chúp.Biết trung đoạn bằng d và gúc giữa cạnh bờn và đỏy bằng ϕ.Tớnh V khối chúp.
Bài 3:Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC. 1/Biết AB=a và SA=l ,tớnh V khối chúp.
2/Biết SA=l và gúc giữa mặt bờn và đỏy bằng α,tớnh V khối chúp.
Bài 4: Hỡnh chúp cụt tam giỏc đều cú cạnh đỏy lớn 2a, đỏy nhỏ là a, gúc giữa đường cao với mặt bờn là 300.Tớnh
V khối chúp cụt .
Bài 5: Một hỡnh trụ cú bỏn kớnh đỏy R và đường cao R 3.A và B là 2 điểm trờn 2 đường trũn đỏy sao cho gúc hợp bởi AB và trục của hỡnh trụ là 300.
1/Tớnh Sxq va Stp của hỡnh trụ . 2/Tớnh V khối trụ tương ứng.
Bài 6: Thiết diện qua trục của một hỡnh nún là một tam giỏc vuụng cõn cú cạnh gúc vuụng bằng a . 1/Tớnh Sxq va Stp của hỡnh nún 2/Tớnh V khối nún tương ứng.
Bài 7: Cho một tứ diện đều cú cạnh là a .Xỏc định tõm và bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.Tớnh S mặt cầu vàtớnh V khối cầu tương ứng.
Bài 8: Cho một hỡnh chúp tứ giỏc đều cú cạnh đỏy là a ,cạnh bờn hợp với mặt đỏy một gúc 600.Xỏc định tõm và bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp.Tớnh S mặt cầu và tớnh V khối cầu tương ứng.
Bài 9: Cho lăng trụ tam giỏc đều ABC.A’B’C’ cạnh đỏy a,gúc giữa đường thẳng AB’ và mp(BB’CC’) bằng ϕ .Tớnh Sxq của hỡnh lăng trụ.
Bài 10: Cho lăng trụ xiờn ABC.A’B’C’ cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a.Hỡnh chiếu của A’ xuống (ABC) trựng với tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC .Cho BAA ' 45ã = 0.
1/C/m BCC’B’ là hỡnh chữ nhật . 2/Tớnh Sxq của hỡnh lăng trụ.
Bài 11: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật ,SA vuụng gúc với đỏy và AB=a ,AD=b, SA =c.Lấy cỏc điểm B’,D’ theo thứ tự thuộc SB,SD sao cho AB' SB,AD' SD⊥ ⊥ .Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.Tớnh V khối chúp đú .
Bài 12: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD ,đỏy là hỡnh vuụng cạnh a ,cạnh bờn
tạo với đỏy một gúc 600. Gọi M là trung điểm SC.Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD ,cắt SB tại E và cắt
SD tại F.Tớnh V khối chúp S.AEMF.
Bài 13: Cho hỡnh lăng trụ đứng tam giỏc ABC.A’B’C’ cú tất cả cỏc cạnh đều bằng a.Tớnh V khối tứ diện A’BB’C.Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tõm VABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F.Tớnh V khối chúp C.A’B’FE.
Bài 14: Cho khối chúp S.ABC cú đường cao SA =a ,đỏy là tam giỏc vuụng cõn cú AB =BC =a. Gọi B’ là trung điểm của SB ,C’ là chõn đường cao hạ từ A của VABC.Tớnh V khối chúp S.ABC.C/m : SC⊥mp(AB'C').Tớnh V khối chúp S.AB’C’.
Bài 15: Cho khối chúp S.ABC cú đường cao SA = 2a ,VABC vuụng ở C cú AB=2a, CAB 30ã = 0.Gọi H,K lần lượt là hỡnh chiếu của A trờn SC và SB . Tớnh V khối chúp H.ABC.C/m : AH⊥SB và SB⊥mp(AHK ). Tớnh V khối chúp S.AHK.
Bài 16: Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú mặt đỏy là tam giỏc ABC vuụng tại B và AB=a ,BC =2a ,AA’=3a .Một mp(P) đi qua A và vuụng gúc với CA’ lần lượt cắt cỏc đoạn thẳng CC’ và BB’ tại M và N .
1/ Tớnh V khối chúp C.A’AB. 2/C/m :AN⊥A 'B. 3/Tớnh V khối tứ diện A’AMN. 4/Tớnh SVAMN.
Bài 17: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cú độ dài cạnh bờn bằng 2a ,đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A, AB =a,
AC=a 3 và hỡnh chiếu vuụng gúc của đỉnh A’ trờn mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC.Tớnh theo a thể tớch khối chúp A’.ABC và tớnh cosin của gúc giữa 2 đường thẳng AA’,B’C’.
Bài 18: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh 2a ,SA=a , SB=a 3 và mp(SAB) vuụng gúc với mặt phẳng đỏy.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB,BC .Tớnh theo a thể tớch khối chúp S.BMDNvà tớnh cosin của gúc giữa 2 đường thẳng SM,DN.
Bài 19:Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng ,AB=BC=a, cạnh bờn AA '=a 2.Gọi M là trung điểm của cạnh BC.Tớnh theo a thể tớch khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cỏch giữa 2 đường thẳng AM,B’C.
Bài 20:Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a ,mặt bờn SAD là tam giỏc đều và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với đỏy.Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh SB,BC,CD.C/m :AM ⊥BP Bài 21:Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thang ,ABCã =BADã =900, BA=BC=a ,AD =2a.Cạnh bờn SA vuụng gúc với đỏy và SA =a 2.Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn SB. C/m VSCDvuụng và tớnh
[ ]
d H;(SCD) .
Bài 22:Cho hỡnh trụ cú cỏc đỏy là 2 hỡnh trũn tõm O và O’, bỏn kớnh đỏy bằng chiều cao và bằng a .Trờn đường trũn đỏy tõm O lấy điểm A, trờn đường trũn đỏy tõm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a .Tớnh V khối tứ diện OO’AB. Bài 23:Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật với AB=a , AD=a 2 ,SA= a và
SA ⊥mp(ABCD).Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC .I là giao điểm của BM và AC . 1/Cmr: mp(SAC)⊥mp(SMB) 2/Tớnh V khối tứ diện ANIB.
Bài 24:Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a, SA =2a và SA ⊥mp(ABC).Gọi M,N lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn cỏc đường thẳng SB và SC .Tớnh V khối chúp A.BCMN.
Bài 25: Cho hỡnh lăng trụ lục giỏc đều ABCDE.A’B’C’D’E’ cạnh bờn l, mặt chộo đi qua 2 cạnh đỏy đối diện nhau hợp với đỏy 1 gúc 600.Tớnh V lăng trụ.
Bài 26: Cạnh đỏy của 1 hỡnh chúp tam giỏc đều bằng a; mặt bờn của hỡnh chúp tạo với mặt đỏy 1 gúc α.Tớnh V khối chúp .
Bài 27: Cho 1 hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cú đường chộo B’D=a tạo thành với mặt phẳng đỏy ABCD 1 gúc bằng α và tạo thành với mặt bờn AA’D’D 1 gúc bằng β.Tớnh V của hỡnh hộp chữ nhật trờn.
Bài 28: Đường sinh của 1 hỡnh nún cú độ dài bằng a và tạo thành với đỏy 1 gúc α. Tớnh diện tớch xung quanh và thể tớch hỡnh nún .
Bài 29: Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc vuụng cõn ,cạnh huyền BC = a .Mặt bờn SBC tạo với đỏy gúc α
.Hai mặt bờn cũn lại vuụng gúc với đỏy .
1/C/m SA là đường cao của hỡnh chúp 2/Tớnh V khối chúp .
Bài 30: Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cú đỏy là 1 hỡnh vuụng và chiều cao bằng h .Gúc giữa đường chộo và mặt đỏy của hỡnh hộp chữ nhật đú bằng α .Tớnh Sxq và V của hỡnh hộp đú.
Bài 31: Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC .Hai mặt bờn SAB và SBC của hỡnh chúp cựng vuụng gúc với đỏy ,mặt bờn cũn lại tạo với đỏy 1 gúc α.Đỏy ABC của hỡnh chúp cú Aà =900, B$=600, cạnh BC =a. Tớnh Sxq và V
của hỡnh chúp.
Bài 32: Đỏy của hỡnh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ là 1 tam giỏc cõn cú AB=AC =a và Aà = α2 . Gúc giữa mặt phẳng đi qua 3 đỉnh A’,B,C và mặt đỏy( ABC) bằng β.
Tớnh Sxq và V của hỡnh lăng trụ đú .
Bài 33: Cho lăng trụ tam giỏc đều ABC.A’B’C’cú cạnh đỏy bằng a và 1 điểm D trờn cạnh BB’.Mặt phẳng qua cỏc điểm D,A,C tạo với mặt đỏy (ABC) 1 gúc α và mp qua cỏc điểm DA’C’ tạo với mặt đỏy A’B’C’ 1 gúc β.Tớnh V lăng trụ .
Bài 34: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ .Đỏy ABC là tam giỏc cõn cú AB=AC =1200.Đường chộo của mặt
BB’C’C bằng d và tạo với mặt đỏy gúc α. Tớnh Sxq và V của hỡnh lăng trụ đú .
Bài 35: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A với AC =a và Cà =α.Đường chộo BC của mặt bờn (BCC’B’) hợp với mặt bờn (ACC’A’) một gúc β.Tớnh V lăng trụ .
Bài 36: Cho hỡnh hộp ABCD.A’B’C’D’ cú đỏy là hỡnh thoi ABCD cạnh a ,Aà =α, và chõn đường vuụng gúc hạ từ B’ xuống đỏy (ABCD) trựng với giao điểm O cỏc đương chộo của đỏy .Cho BB’ =a .Tớnh V và Sxq của hỡnh hộp đú .
Bài 37: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng ABCD cạnh a ; (SAC) vuụng gúc với đỏy ;ASCã =900 và SA tạo với đỏy 1 gúc bằng α.Tớnh V của hỡnh chúp.
Bài 38: Cho hỡnh chúp S.ABC cú BACã =90 ,ABC0 ã =α;SBC là tam giỏc đều cạnh a và (SAB)⊥(ABC)
.Tớnh V của hỡnh chúp.
Bài 39: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD , cú chiều cao h ,gúc ở đỉnh của mặt bờn bằng 2α.Tớnh Sxq và V của hỡnh chúp đú .
Bài 40: Cho hỡnh chúp S.ABC cú cỏc mặt bờn đều là tam giỏc vuụng đỉnh S và SA=SB=SC =a .Tớnh
[ ]
d S;(ABC) .
Bài 41: Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a 3, đường cao SA=a.Mặt phẳng qua A và vuụng gúc với SB tại H cắt SC tại K. Tớnh SK và SVAHK.
Bài 42: Cho hỡnh chúp S.ABCD , đỏy là hỡnh bỡnh hành ABCD cú diện tớch bằng a2 3 và gúc giữa 2 đường chộo bằng 600.Biết rằng cỏc cạnh bờn của hỡnh chúp nghiờng đếu trờn mặt đỏy 1 gúc 450.Chứng tỏ ABCD là hỡnh chữ nhật. Tớnh V của hỡnh chúp đú .
Bài 43: Cho hỡnh chúp S.ABCD , đỏy là hỡnh thang vuụng ABCD vuụng tại A và B ,AB=BC=2a ; đường cao của hỡnh chúp là SA =2a .Xỏc định và tớnh đoạn vuụng gúc chung của AD và SC . Tớnh V của hỡnh chúp đú .
Bài 44: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú cạnh SA =x ,cũn tất cả cỏc cạnh khỏc cú độ dài bằng 1.C/m: SA ⊥SCTớnh V của hỡnh chúp đú .
Bài 45: Cho hỡnh chúp S.ABCD .Đỏy ABCD là nửa lục giỏc đều với AB=BC=CD=a và AD= 2a .Hai mặt bờn SAB và SAD vuụng gúc với đỏy ,mp(SBD) tạo với mp chứa đỏy 1 gúc 450.
1/Tớnh V của hỡnh chúp đú . 2/Tớnh d C;(SBD)[ ].
Bài 46: Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc ABC.A’B’C’,trong đú ABC là tam giỏc đều cạnh c, A’H vuụng gúc với mp(ABC).(H là trực tõm của tam giỏc ABC ), cạnh bờn AA’ tạo với mp(ABC) 1 gúc α.C/mr: AA’⊥BCTớnh V của khối lăng trụ .
Bài 47: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú tất cả cỏc cạnh đều bằng a.Tớnh V của hỡnh chúp S.ABCD .Tớnh khoảng cỏch từ tõm mặt đỏy ABCD đến cỏc mặt bờn của hỡnh chúp.
Bài 48: Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC, cú đường cao SO =1 và đỏy ABC cú cạnh bằng 2 6.Điểm M,N là trung điểm của cạnh AB,AC tương ứng .Tớnh V của hỡnh chúp S.AMN và bỏn kớnh hỡnh cầu nội tiếp hỡnh chúp đú.
Bài 49: Trong mp(P) cho 1 điểm O và 1 đường thẳng d cỏch O một khoảng OH =h .Lấy trờn d hai điểm phõn biệt B,C sao cho BOHã =COHã =300. Trờn đường thẳng vuụng gúc với (P) tại O, lấy điểm A sao cho OA =OB . 1/Tớnh V của tứ diện OABC. 2/Tớnh d O;(ABC)[ ] theo h .
Bài 50: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú cạnh SA =x và cỏc cạnh cũn lại đều bằng 1 .
1/C/m :SA ⊥SC. 2/Tớnh V của hỡnh chúp .Xỏc định x để bài toỏn cú nghĩa. Bài 51: Tớnh V của khối tứ diện ABCD , biết AB =a, AC=AD=BC=BD=CD=a 3.
Bài 52: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ cú đỏy ABCD là hỡnh thoi cạnh a, gúc nhọn BADã =600 .Biết AB'⊥BD'. Tớnh V của khối lăng trụ trờn theo a .
Bài 53: Trờn nửa đường trũn đường kớnh AB =2R , lấy 1 điểm C tuỳ ý .Dựng CH⊥AB(H thuộc AB) và gọi I là trung điểm của CH .Trờn nửa đường thẳng It vuụng gúc với mp(ABC) lấy điểm S sao cho ASBã =900.
1/C/m :VSHC là tam giỏc đều . 2/Đặt AH =h .Tớnh V của tứ diện SABC theo h và R.
Bài 54: Cho tứ diện ABCD cú 3 cạnh AB,AC,AD,vuụng gúc với nhau từng đụi một và AB=a, AC=2a ,AD =3a .Hĩy tớnh diện tớch tam giỏc BCD theo a.
Bài 55: Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh bằng a .I là trung điểm của AB .Qua I dựng đường vuụng gúc với mp(ABC) và trờn đú lấy điểm S sao cho 2IS=a 3.
1/C/m: VSAD là tam giỏc vuụng . 2/Tớnh V của hỡnh chúp S.ACD. Suy ra d C;(SAD)[ ].
Bài 56: Bờn trong hỡnh trụ trũn xoay cú 1 hỡnh vuụng ABCD cạnh a nội tiếp mà 2 đỉnh liờn tiếp A,B nằm trờn đường trũn đỏy thứ 1 của hỡnh trụ, 2 đỉnh cũn lại nằm trờn đường trũn đỏy thứ 2 của hỡnh trụ.Mặt phẳng hỡnh vuụng tạo với đỏy hỡnh trụ 1 gúc 450.Tớnh Sxq và V của hỡnh trụ đú.
Bài 57: Cho hỡnh chúp S.ABCD ,đỏy là hỡnh chữ nhật cú AB=2a, BC=a, .Cỏc cạnh bờn của hỡnh chúp đều bằng
a 2.Tớnh V của hỡnh chúp S.ABCD theo a.
Bài 58: Cho tứ diện ABCD cú AB, AC, AD lần lượt vuụng gúc với nhau từng đụi một, AB=a, AC=2a ,AD=3a. 1/Tớnh d A;(BCD)[ ] 2/Tớnh SVBCD.
Bài 59: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cạnh a ,đường cao SO =h.
1/Tớnh bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp . 2/Tớnh V của hỡnh chúp S.ABCD .
Bài 60: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh bằng a. Gúc giữa mặt bờn và đỏy là α (450<α<90 )0 .Tớnh STP và V hỡnh chúp.
Bài 61: Cho hỡnh chúp đều S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh bằng 2a. Cạnh bờn SA=a 5. Một mp(P) đi qua AB và vuụng gúc với mp(SCD) .(P) lần lượt cắt SC và SD tại C’ và D’.
1/Tớnh S tứ giỏc ABC’D’ 2/Tớnh V hỡnh đa diện ABCDD’C’.
Bài 62: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ cú chiều cao bằng h và 2 đường thẳng AB’ ,BC’ vuụng gúc với nhau. Tớnh V lăng trụ đú.
Bài 63: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú độ dài cạnh đỏy AB =a và gúc ãSAB=α .Tớnh V của hỡnh chúp S.ABCD theo a và α.
Bài 64: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh bằng a và SA=SB =SC= =SD =a.Tớnh STP và V hỡnh chúp S.ABCD .
Bài 65: Cho SABC là 1 tứ diện cú ABC là 1 tam giỏc vuụng cõn đỉnh B và AC =2a , cạnh SA ⊥mp(ABC) và SA =a.
1/Tớnh d A;mp(SBC)[ ] 2/Gọi O là trung điểm của AC .Tớnh d O;mp(SBC)[ ].
Bài 66: Cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD cú đỏy là hỡnh thang ABCD vuụng tại A và D , AB=AD =a ,CD=2a
.Cạnh bờn SD ⊥mp(ABCD),SD= a .
1/C/mr: VSBC vuụng .Tớnh SVSBC. 2/Tớnh d A;(SBC)[ ].
Bài 67: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh chữ nhật ,biết AB=2a ,BC =a ,cỏc cạnh bờn của hỡnh chúp bằng nhau và bằng a 2.Tớnh V hỡnh chúp .
Bài 68: Cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD cú đỏy là hỡnh thang ABCD vuụng tại A và D , AB=AD =a ,CD=2a .Cạnh bờn SD ⊥mp(ABCD),SD =a 3 .Từ trung điểm E của DC dựng EK ⊥SC (K∈SC).Tớnh V hỡnh chúp S.ABCD theo a và SC⊥mp(EBK ).
Bài 69: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng .SA ⊥(ABCD), SA=a 6.H là hỡnh chiếu của A lờn SD .