278 Đ ị n h n g h ĩ a 2 . 1 . 1 . P h ư ơ n g tr ì n h v i p h â n ẩ n ( I D E ) l à p h ư ơ n g t r ì n h c ó d ạ n g
279 F ( t , X , X1) = 0, (2.1.1)
280 t r o n g đ ó t e ( a , b ) , a , b c ó t h ể l à — o o h o ặ c + o o .
281 Định nghĩa 2.1.2. Nghiệm địa phương của phương trình vi phân ẩn (2.1.1) l à h à m
x ị t ) k h ả v i v ớ i m ọ i t e ( tữ — ố, tữ + ổ) v à t h ỏ a m ã n
282 F ( t , x ( t ) , x' { t ) ) = 0, t € ( t0 - ố, tQ + ô ) .
283 Ta thấy rằng, phương trình vi phân thường là trường hợp đặc biệt
284 của phương trình vi phân đại số với F(t,x,x') = x' —Ngược lại,
285 phương trình vi phân ẩn có thể đưa về phương trình vi phân thường nếu dF
286 0 ,íCn) ^ 0 , vì theo đinh lí hàm ẩn, khi ấy x'{t) có thể biểu diễn
287 a x '
288 theo (t, X) dưới dạng phương trình vi phân thường x'{t) = f(t, x(t)) và đây
289 chính là phương trình vi phân thường nhưng kết quả này cũng chỉ mang
290 d F
291 tính chất địa phương. Hơn nữa, nói chung điều kiệnữ,x'o) 7 ^ 0
292 c/ Jb
294 ẩn không phải lúc nào cũng được đưa về phương trình vi phân thường. Do đó phải nghiên cứu nó một cách trực tiếp.
295 Định nghĩa 2.1.3. Phương trình vi phân đại số là phương trình có dạng
296 x' =
297 <p(t, x) = 0 , l ẽ R "
298 trong đó ( 2 . 1 . 2 ) là phương trình vi phân và ( 2 . 1 . 3 ) là ràng buộc đại số.
299 Phương trình này được hiểu là một hệ phương trình hỗn hợp vi phân và đại số trong không gian Mn.
300 Nghiệm và chỉ số của phương trình vi phân đại số
301 Định nghĩa 2.1.4. Hàm x(t ) được gọi là nghiệm (cổ điển) của phương trình vi phăn dạng tổng quát