x thỏa mãn f1 () =0 Do đó f0 (.) sẽ đạt cực tiểu tại điểm tiếp úc ∗ giữa đường thẳng
2.4. THUẬT TOÁN XẤP XỈ NGOÀI Xét bài toán
Xét bài toán
f(x) → min, x ∈ D, (P)
trong đó D là tập lồi trong IRn và f : IRn →IR là hàm lõm. Phương pháp xấp xỉ ngoài của tập chấp nhận được bởi một dãy các tập thay thế đơn giản hơn là một phương pháp cơ bản trong lý thuyết tối ưu. Nội dung cơ bản của phương pháp là: thay vì giải bài toán (P) người ta giải thay thế bằng một loạt bài toán đơn giản hơn
trong đó IRn ⊃ D1 ⊃ D2 ⊃. . . D và
minf(Dk) →minf(D) khi k → ∞.
Thông thường tập Dk phải nằm trong họ F, thỏa mãn một số tính chất sau:
(a) Dãy Dk là đóng, và bài toán (Pk) với Dk ⊂ F có nghiệm và có thể giải được theo một thuật toán có sẵn nào đó.
(b) Với mỗi Dk ⊂ F nào đó chứa D và điểm x(k) ∈ Dk \D có thể tìm được hàm lk :IRn → IR thỏa mãn:
– lk(x) ≤0 ∀x ∈ D,
– lk(x(k)) > 0,
– {x ∈ Dk | lk(x) ≤ 0} ∈ F.
Với các điều kiện trên lời giải của phương pháp được xác định như sau: 2.4.1 Phương pháp xấp xỉ ngoài tổng quát
Phương pháp xấp xỉ ngoài tổng quát như sau (dùng cho hàm mục tiêu liên tục)
B1: Chọn D1 ∈ F sao cho D1 ⊃ D. Đặt k := 1.
B2: Thực hiện với k = 1,2, . . . .
B3: Giải bài toán (Pk) nhận được x(k) ∈ argminf(Dk) thỏa mãn các điều kiện của (b). Nếu x(k) ∈ D, dừng và x(k) nghiệm của (P). Nếu không chuyển B4.
B4: Cấu trúc hàm lk thỏa mãn (b) và Dk+1 := Dk ∩ {x | lk(x) ≤ 0}, k :=
k+ 1, chuyển B2.
(i) lk nửa liên tục dưới với mọi k = 1,2, . . . ,
(ii) Mỗi dãy con hội tụ {xq} ⊂ {x(k)} thỏa mãn limq→∞xq = x chứa
{xr} ⊂ {xq} sao cho limr→∞lr(xr) = limr(x),
(iii) limr→∞lr(x) = 0 suy ra x ∈ D.
Khi đó mọi điểm tích lũy của dãy {x(k)} nằm trong D và kéo theo là nghiệm của (P).
Chương 3.