gian phức
Mục đích của phần này là trình bày hai tiêu chuẩn về tính hyperbolic của không gian phức sử dụng k-metric được chứng minh bởi A.Khalfallah năm 2007, [3].
Kết quả sau là một mở rộng kết quả của Royden [5] trong trường hợp đa tạp phức.
2.4.1 Định lý
Cho X là không gian phức. Khi đó X là hyperbolic khi và chỉ khi ∀p ∈ X, tồn tại lân cận mở U của p và c > 0 sao cho
KX1 (q, ξ) ≥ c|ξ|,
với mỗi
q ∈ U, ξ ∈ J1(X)q.
Chứng minh.
(⇒) Giả sử X là hyperbolic và điều kiện kéo theo không thỏa mãn. Khi đó tồn tại p ∈ X và ξn ∈ J1(X)pn sao cho dãy {pn} hội tụ tới p,|ξ| = 1 và KX1 (pn, ξn) →0. Từ đó tồn tại dãy fn : ∆rn →X các ánh xạ chỉnh hình thỏa mãn fn(0) = pn và [fn]1 = ξn và rn → +∞.
Ta xét dãy các ánh xạ chỉnh hình gn : ∆ → X xác định bởi gn(z) = fn(rnz).
Giả sử W là lân cận compact tương đối của p, ta có gn(0) ∈ W. Bằng cách lấy dãy con nếu cần, ta có thể giả thiết dãy {gn} hội tụ đều tới g trên một lân cận của 0 vì họ Hol(∆, X) là đồng liên tục. Từ đó ta suy ra mâu thuẫn vì
gn0(0) = rnfn0(0) = rn → +∞.
(⇐) Lấy p, p0 ∈ X sao cho p 6= p0 và W là lân cận compact tương đối của p sao cho p0 ∈/ W¯ .
Ta có
dX(p, p0) = δX0 (p, p0) ≥δX1 (p, p0) ≥cd(p, ∂W) > 0. Định lý được chứng minh.
Tiêu chuẩn sau là một mở rộng lên không gian phức tùy ý các kết quả của Hahn-Tim [2] trong đa tạp phức và D. D. Thái [6] trong không gian phức có kì dị rời rạc.
2.4.2 Định lý
Cho X là không gian phức. Các khẳng định sau là tương đương:
i) X là hyperbolic.
ii) X có tính chất Landau,
tức là, với mỗi lân cận compact tương đối W của p, tồn tại R > 0 sao cho
sup{|f0(0)| : f ∈ Hol(δ, X) với f(0) ∈ W} ≤ R. Chứng minh.
i) ⇒ ii). Giả sử X là không gian hyperbolic, nhưng không thỏa mãn tính chất Landau. Khi đó tồn tại p0 ∈ X và lân cận compact tương đối W của p0 và dãy ánh xạ chỉnh hình {fn : ∆ → X} sao cho
fn(0) ∈ W và |fn0(0)| → +∞.
Do tính compact tương đối của W ta có thể giả sử dãy {fn(0)} → p. Vì X là hyperbolic nên họ Hol(∆, X) là đồng liên tục. Từ đó, nếu U là lân cận compact tương đối của p thì tồn tại r >0 sao cho fn(∆r) ⊂ U. Theo công thức Cauchy ta có dãy {fn0(0)} là bị chặn.
Vậy, ii) được chứng minh.
ii) ⇐ i). Lấy p ∈ X và W là lân cận compact tương đối của p. Theo tính chất Landau, tồn tại số dương R sao cho
sup{|f0(0)| :f ∈ Hol(∆, X) với f(0) ∈ W} ≤ R.
Lấy ξ ∈ J1(W). Giả sử f ∈ Hol(∆r, X) sao cho [f]1 = ξ. Giả sử f ∈ Hol(∆, X) xác định bởi g(z) = f(rz). Ta có |g0(0)| = r|f0(0)| ≤ R.
Do đó
1
r ≥ 1
Vậy
KX1 (ξ) ≥ 1
R|ξ|. Suy ra X là không gian hyperbolic.
KẾT LUẬN
Nội dung chính của luận văn "k-metric vi phân Kobayashi-Venturini và ứng dụng" đã đạt được các kết quả sau:
1. Trình bày các định nghĩa và tính chất cơ bản của giả khoảng cách Kobayashi, khái niệm không gian phức hyperbolic và một số tính chất của không gian phức hypebolic.
2. Trình bày khái niệm metric vi phân Royden-Kobayashi và một số tính chất cơ bản của giả khoảng cách metric này. Trong đó có biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức thông qua metric vi phân Royden-Kobayashi.
3. Trình bày khái niệm k-metric vi phân Kobayashi-Venturini KXk trên không gian phức và các tính chất của KXk.
4. Trình bày một số ứng dụng của KXk trong việc biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi trên một không gian phức X.
5. Trình bày một số tiêu chuẩn cho tính hyperbolic của không gian phức X thông qua k-metric vi phân KXk.