Chứng minh các đẳng thức về vectơ

M D= N E Chứng minh rằng N luôn song song với một mặt phẳng cố định.

1. Chứng minh các đẳng thức về vectơ

* Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế kia

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là một hình chữ nhật. Chứng minh rằng:

a. SA SC SB SD^{uur uuur uur uuur}+ = + b. _SA^uur2 +_SC^uuur2 =_SB^uur2+_SD^uuur2

Giải

a. Gọi O là tâm của hình chữ nhật. Vì OA – OC nên: _{SA SC}^{uur uuur}+ =_2SO^uuur (1)

Vì OB = OD nên _{SB SD}^{uur uuur}+ =_2SO^uuur (2)

So sánh (1) và (2) ta suy ra _{SA SC SB SD}^{uur uuur uur uuur}+ = + b. Ta có:

2 2

2

( ) 2 .

SA= SO OA+ =SO +OA + SO OA

uur uuur uuur uuur uuur uuuruuur Mà OA OC^{uuur uuur r}+ =0 nên

2 2 2 2 2

2

SA +SC = SO +OA +OC

uur uuur uuur uuur uuur

Tương tự ta có: _SB^uur2 +^uuur_SD² =₂^uuur_SO² +_OB^uuur2+_OD^uuur2 Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có

OA^uuur = OB^uuur = OC^uuur = OD^uuur

Từ đó suy ra _SA^uur2+_SC^uuur2 =_SB^uur2+_SD^uuur2

Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng:

a. ^{uuur uuur uuur uuur}_{AD BC}+ =_{AC BD}+ =_2MN^uuuur b. _{GA GB GC GD}^{uuur uuur uuur uuur r}+ + + =₀

c. ^{uuur uuur uuur uuur}_{PA PB PC PD}+ + + =_4PG^uuur với P là một điểm bất kì.

Giải:

a. Ta có: _MN^{uuuur uuur uuur uuur}=_{MA AD DN}+ + và

MN =MB BC CN+ +

uuuur uuur uuur uuur Suy ra:

2MN^uuuur=(MA MB^{uuur uuur}+ )+^{uuur uuur}AD BC+ +(DN CN^{uuur uuur}+ ) Vì _{MA MB DN CN}^{uuur uuur uuur uuur r}+ = + =₀ nên

2MN^{uuuur uuur uuur}=AD BC+

Hình 6.2 O D C B A S D C B ^G N M A

Ta suy ra: ^{uuur uuur uuur uuur}_{AD BC}+ = _{AC BD}+ =_2MN^uuuur

b. Vì GA GB^{uuur uuur}+ =2GM^{uuuur uuur uuur}, GC GD+ =2GN^uuur, GM GN^{uuuur uuur r}+ =0 nên _{GA GB GC}^{uuur uuur uuur r}+ + =₀ c. Với điểm P bất kì, từ kết quả trên ta có:

(^{uuur uuur}PA PG− ) (+ ^{uuur uuur}PB PG− ) (+ PC PG^{uuur uuur}− ) (+ PD PG^{uuur uuur}− ) 0=^r Do đó: PA PB PC PD^{uuur uuur uuur uuur}+ + + =4PG^uuur