Ví dụ 1: Giải phơng trình nghiệm nguyên: 6x2 + 5y2 = 74. (1)
Giải:
Vì 5y2 ≥ 0 với mọi y. Từ (1) => 6x2 ≤ 74 => x2 ≤ 12,3…
Mà x2∈ N, nên x2∈ {0,1,4,9}.
- Với x2 = 0 => x = 0 thay vào (1) không tìm đợc giá trị nào của y. - Với x2 = 1 => x = ±1 thay vào (1) không tìm đợc giá trị nào của y. - Với x2 = 4 => x = ±2 thay vào (1) tìm đợc y2 = 10 (loại).
- Với x2 = 9 => x = ±3 thay vào (1) tìm đợc y2 = 4 => y = ±2. Vậy nghiệm của phơng trình (1) là: (3;2); (3;-2); (-3;2); (-3;-2).
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: y2 = x(x + 1)(x + 7)(x + 8)
Giải: y2 = x(x + 1)(x + 7)(x + 8)
<=> y2 = (x2 + 8x)(x2 + 8x + 7) (1)
Đặt x2 + 8x = t (t ∈ Z), thay vào (1) ta đợc: y2 = t2 + 7t.
* Với t > 9 ta thấy t2 + 6t + 9 < t2 + 7t < t2 + 8t + 16. Hay (t + 3)2 < y2 < (t + 4)2 điều này vô lý. Vậy t > 9 phơng trình không có nghiệm nguyên.
* Với t ≤ 9 => x2 + 8x ≤ 9 <=> x2 + 8x – 9 ≤ 0 <=> -9 ≤ x ≤ 1 ( xét dấu tam thức bậc hai). Mà x∈ Z => x∈ {−9,−8,−7,...,0,1}.
Thay 11 giá trị của x vào (1) ta đợc 11 giá trị tơng ứng của y, từ đó suy ra nghiệm của phơng trình.
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: x2 + x + 1 = y2. (3)
Giải:
Ta thấy x2 + x + 1 > x2 với x∈ N*
x2 + 2x + 1 > x2 + x + 1 với x∈ N*
Suy ra x2 < x2 + x + 1 < x2 + 2x + 1 hay x2 < x2 + x + 1 < (x + 1)2
hay x2 < y2 < (x + 1)2 (vô lý), nên không tìm đợc giá trị nào của x. Vậy phơng trình (3) không có nghiệm nguyên dơng.
Chú ý:
Ta có thể thay đầu bài là chứng minh rằng x2 + x + 1 không phải là số chính phơng.