Ta chú ý rằng, nếu A sinh ra một C0-nửa nhóm {T(t)}t≥0 trên X thì nó cũng sinh ra một nửa nhóm tích phân {S(t)}t≥0, được xác định bởi
S(t)v =
Z t
0
T(s)vds, v ∈ X.
Do đó kết quả của chúng ta đương nhiên có thể áp dụng trong trường hợp này. Ta lại xét bài toán (3.1)−(3.4) nhưng trong miền Ω = Rn và
O là miền bị chặn trong Rn. Ta có thể viết lại như sau ∂u ∂t(t, x)−∆xu(t, x) + λu(t, x) = f(x, u(t, x)) + m X i=1 bi(x)vi(t), x ∈ Rn, t > 0, (3.7) vi(t) ∈ Z O k1,i(y)u(t−h, y)dy, Z O k2,i(y)u(t−h, y)dy ,1 ≤i ≤ m, (3.8) u(s, x) = ϕ(s, x), x ∈ Rn, s ∈ [−h,0]. (3.9) Trong mô hình này, ta giả sử
1. bi ∈ L2(Rn), kj,i ∈ L2(O), j = 1,2; 1≤ i ≤ m và ϕ ∈ C([−h,0];L2(Rn));
2. f :Rn×R →R sao cho f(·, z) là đo được với mỗi z ∈ R và tồn tại κ ∈ L2(Rn) mà
|f(x, z1)−f(x, z2)| ≤κ(x)|z1 −z2|,∀x∈ Rn, z1, z2 ∈ R. (3.10) Đặt
A1v = ∆v, v ∈ D(A1) = Hm(Rn), X = L2(Rn).
Ta đã biết rằng A1 sinh ra một nửa nhóm giải tích T1(·) trên X (xem chứng minh tại [17, Định lí 5.15]). Hơn nữa, T1(·) là một nửa nhóm co. Do đó, A = A1 −λI sinh ra một nửa nhóm giải tích T(·) xác định bởi T(t) = e−λtT1(t) và ta có
kT(t)k ≤ e−λt,∀t > 0.
Suy ra T(·) là nửa nhóm ổn định mũ và χ-giảm với số mũ λ. Xét F1, F2 cho bởi (3.5)−(3.6). Từ (3.10) ta thu được
kF1(v1)−F1(v2)k ≤ kκk · kv1 −v2k,∀v1, v2 ∈ X. Từ bất đẳng thức này suy ra
χ(F1(B)) ≤ kκk ·χ(B),∀B ∈ Pb(X).
Mặt khác, với miền bị chặn C ⊂ C([−h,0];X) ta thấy rằng F2(C) là tập con bị chặn của một không gian vô hạn chiều sinh bởi {bi}m
i=1. Do đó χ(F2(C)) = 0.
Đặt F(v, w) =F1(v) +F2(w), thì
χ(F(B, C)) ≤ χ(F1(B)) +χ(F2(C)) ≤ kκk ·χ(B),
với mọi B ∈ Pb(X), C ∈ Pb(C([−h,0];X)). Do đó, F thỏa mãn (F)(3) với p= kκk, q = 0.
Bây giờ, ta kiểm tra điều kiện (F)(2). Dễ thấy rằng
kF1(v)k ≤ kκk · kvk+kf(·,0)k, kF2(w)k ≤ m X i=1 kbikmax{kk1,ikL2(O),kk2,ikL2(O)} · kwkC([−h,0];X).
36 Vây, điều kiện (F)(2) được thỏa mãn với
a = kκk, b =
m
X
i=1
kbikmax{kk1,ikL2(O),kk2,ikL2(O)}. Từ đó, chúng ta thu được kết quả sau nhờ Định lí 2.2.5.
Định lí 3.2.1. Nửa dòng đa trị sinh bởi hệ (3.7)-(3.9) có tập hút toàn cục compact trong C([−h,0];L2(Rn)) với điều kiện
max{4kκk,kκk+
m
X
i=1
Kết luận
Luận văn tập trung nghiên cứu sự tồn tại tập hút toàn cục đối với một lớp phương trình phi tuyến có trễ dạng parabolic mà phần tuyến tính sinh ra nửa nhóm tích phân. Các kết quả chính đạt được trong luận văn gồm:
• Chứng minh tính giải được toàn cục của bài toán (1)-(2);
• Chứng minh nửa dòng đa trị sinh bởi hệ (1)-(2) có một tập hút toàn cục compact;
• Áp dụng các kết quả thu được cho một hệ điều khiển xác định bởi phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính trong hai trường hợp miền bị chặn và không bị chặn.
Tài liệu tham khảo
[1] M. Adimy, H. Bouzahir, K. Ezzinbi, Local existence and stability for some partial functional differential equations with infinite delay, Nonlinear Anal. 48 (2002), 323-348.
[2] M. Adimy, M. Laklach, K. Ezzinbi, Non-linear semigroup of a class of abstract semilinear functional differential equations with a non- dense domain, Acta Math. Sinica, Engl. Ser. Mar. (Engl. Ser.) 20 (5) (2004), 933-942.
[3] R.R. Akhmerov, M.I. Kamenskii, A.S. Potapov, A.E. Rodkina, B.N. Sadovskii,Measures of Noncompactness and Condensing Operators, Birkh¨auser, Boston-Basel-Berlin, 1992.
[4] M. Alia, K. Ezzinbi, Strong solutions for some nonlinear partial functional differential equations with infinite delay, Electron. J. Dif- ferential Equations 91 (2008), 1-19.
[5] C.T. Anh, N.M. Chuong, T.D. Ke, Global attractors for the m- semiflow generated by a quasilinear degenerate parabolic equation, J. Math. Ana. Appl, 363 (2010) 444-453.
[6] C.T. Anh, T.D. Ke, On quasilinear parabolic equations involving weighted p-Laplacian operators, Nonlinear Differ. Equa. Appl. 17 (2010), 195-212.
[7] J.M. Ball, Continuity properties and global attractor of general- ized semiflows and the Navier-Stokes equations, J. Nonlinear Sci. 7 (1997), 475-502.
[8] J.M. Ball, Global attractor for damped semilinear wave equations, Discrete Contin. Dyn. Syst. 10 (2004), 31-52.
[9] D. Bothe, Multivalued Perturbations of m-Accretive Differential In- clusions, Israel J. Math 108 (1998), 109-138.
[10] H. Bouzahir, H. You, R. Yuan, Global attractor for some partial functional differential equations with infinite delays, Funkcialaj Ek- vacioj 54(2011), 139-156.
[11] T. Caraballo, P. E. Kloeden, Non-autonomous attractor for integro- differential evolution equations, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S 2 (2009), 17-36.
[12] N.M. Chuong, T.D. Ke, Generalized Cauchy problem involving non- local and impulsive conditions, J. Evol. Equations 12 (2012), 367- 392.
[13] V.V. Chepyzhov, M.I. Vishik, Attractors for Equations of Mathe- matics Physics, American Mathematical Society Colloquium Publi- cations, Vol. 49, American Mathematical Society, Providence 2002. [14] V.V. Chepyzhov, M.I. Vishik, Evolution equations and their trajec-
tory attractors, J. Math. Pures Appl. 76 (1997), 913-964.
[15] T. Caraballo, P. Marin-Rubio, J.C. Robinson, A comparision be- tween to theories for multi-valued semiflows and their asymptotic behaviour. Set Valued Anal. 11 (2003), 297-322.
[16] G. Da Prato and E. Sinestrari, Differential Operators with Non- Dense Domain, Ann. Sc. Norm. Pisa, 14 (1987), 285-344.
40
[17] K.-J. Engel, R. Nagel, One-parameter semigroups for linear evolu- tion equations. With contributions by S. Brendle, M. Campiti, T. Hahn, G. Metafune, G. Nickel, D. Pallara, C. Perazzoli, A. Rhandi, S. Romanelli and R. Schnaubelt. Graduate Texts in Mathematics, 194. Springer-Verlag, New York, 2000.
[18] K. Ezzinbi, S. Lalaoui Rhali, Positivity and stability for some par- tial functional differential equations, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 10 (2003), 15-32.
[19] L. Górniewicz, M. Lassonde, Approximation and fixed points for compositions of Rδ-maps. Topology Appl. 55 (3) (1994), 239-250. [20] A. Halanay, Differential Equations, Stability, Oscillations, Time
Lags, Academic Press, New York and London 1996.
[21] T.D. Ke, D. Lan, Global attractor for a class of functional differ- ential inclusions with Hille-Yosida operators, Nonlinear Anal. 103 (2014), 72-86.
[22] M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca, Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, in: de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, vol. 7, Walter de Gruyter, Berlin, New York, 2001.
[23] T.D. Ke, N.C. Wong, Long time behavior for a model of porous- medium equations with variable coefficients, Optimization 60:6 (2011), 709-724.
[24] H. Kellerman, M. Hieber, Integrated semigroup , J. Funct. Anal. 84(1989), 160-180.
[25] V.S. Melnik, J. Valero,On attractors of Multivalued Semi-Flows and Differential Inclusions, Set-Valued Analysis 6 (1998), 83-111.
[26] V. Obukhovskii, J.-C. Yao, On impulsive functional differential in- clusions with Hille-Yosida operators in Banach spaces, Nonlinear Analysis, 73 (2010), 1715-1728.
[27] H.B. Stewart, Generation of analytic semigroups by strongly elliptic operators, Trans. Amer. Math. Soc. 199 (1974), 141-162.
[28] R. Temam, Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, 2nd edition, Springer-Verlag, 1997.
[29] H.R. Thieme,Semiflows generated by Lipschitz perturbations of non- densely defined operators, Differential Integral Equations 3(6), 1990, 1035-1066.
[30] J. Valero, Finite and Infinite-Dimensional Attractor of Multival- ued Reaction-Diffusion Equations, Acta Math. Hungar., 88:3 (2000), 239-258.
[31] J. Valero, Attractors of parabolic equations without uniqueness, J. Dynam. Differential Equations 13 (2001), 711-744.
[32] I.I. Vrabie, C0-semigroups and applications, North-Holland Math- ematics Studies, 191. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 2003.
42
[33] H. You, R. Yuan, Global attractor for some partial functional differ- ential equations with finite delay, Nonlinear Anal. 72 (2010), 3566- 3574.
[34] W. Wang, Generalized Hanalay Inequality for Stability of Nonlinear Neutral Functional Differential Equations, J. Ineq. Appl., Vol. 2010, ArtID 475019, 16 pages.