Cho điểm M(x0; y0; z0) và mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
0 0 0 2 2 2 ( , ( )) Ax By Cz D d M P A B C + + + = + + Bài tập:
Loại 1: Khoảng cỏch từ M (xM;yM;zM) đến mặt phẳng (α):Ax+By+Cz+D=0:
( α) M M M
2 2 2Ax +By +CZ +D Ax +By +CZ +D
d M, =
A +B +C
Loại 2: Khoảng cỏch giữa hai mặt phẳng (α), (β) song song: Lấy một điểm M tựy ý trờn mặt phẳng này, tớnh khoảng cỏch từ M điểm đú đến mặt phẳng kia.
1. Tớnh Khoảng cỏch từ điểm M đến mặt phẳng (P), biết:a) M (1; 2; 3), (P): 2x – y + 2z – 10 = 0 a) M (1; 2; 3), (P): 2x – y + 2z – 10 = 0
b) M( 2; -2; 3), (P): 4x – 3z + 3 = 0 c) M ( 0; -1; 3), (P): 3y – 11 = 0
2. Tớnh khoảng cỏch giữa hai mặt phẳng lần lượt cú phương trỡnh: x + 2y + 2z +11= 0 và x + 2y + 2z + 2 = 0 0
Taứi lieọu õn taọp toỏt nghieọpTHPT mõn Toaựn-2009-2010
3. Trong khụng gian Oxyz, cho điểm A(-2; 4; 3) và mp (P) cú phương trỡnh: (P): 2x – 3y + 6z + 19 = 0 Viết phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P). Tỡm Viết phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P). Tỡm khoảng cỏch giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q).
4. Tỡm m để khoảng cỏch từ M(m;0;1) đến mặt phẳng (α): 2x+y−2z+2=0 bằng 23. ĐS: m=±1
5. Trong khụng gian Oxyz, cho 4 điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4;0).
a) Viết phương trỡnh mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện. b) Tớnh chiều cao AH của tứ diện ABCD
6. Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). Tớnh độ dài đường cao của hỡnh chúp A.BCD
7. Trong khụng gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) .a) Chứng minh tam giỏc ABC vuụng tại A a) Chứng minh tam giỏc ABC vuụng tại A
b) Viết phương trỡnh mặt phẳng (ABC). Chứng minh ABCD là một tứ diện c) Tớnh khoảng cỏch từ D đến mặt phẳng (ABC)
d) Tớnh thể tớch tứ diện ABCD.
8. ( TN năm 07 – 08) Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và mp(P) cú phương trỡnh: 2x – 2y + z – 1 = 0.Tớnh khoảng cỏch từ A đến mp(P). Viết phương trỡnh của mp(Q) sao cho (Q)// trỡnh: 2x – 2y + z – 1 = 0.Tớnh khoảng cỏch từ A đến mp(P). Viết phương trỡnh của mp(Q) sao cho (Q)// (P) và khoảng cỏch giữa (P) và (Q) bằng khoảng cỏch từ A đến (P).
9. (TN năm 08 – 09) Trong khụng gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1)2 + (y -2)2+ (z -2)2 = 36 và mặt phẳng (P): x +2y + 2z + 18 = 0. Xỏc định tõm T và tớnh bỏn kớnh của mặt cầu (S). Tớnh khoảng cỏch từ phẳng (P): x +2y + 2z + 18 = 0. Xỏc định tõm T và tớnh bỏn kớnh của mặt cầu (S). Tớnh khoảng cỏch từ T đến (P).
10.Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). Tớnh độ dài đường cao của hỡnh chúp A.BCD
11. (ĐH – khối B – 09)Trong khụng gian Oxyz, cho tứ diện ABCD cú A(1; 2; 1), B(-2; 1; 3), C(2; -1; 1) và D(0; 3; 1). Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cỏch từ C đến (P) bằng và D(0; 3; 1). Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cỏch từ C đến (P) bằng khoảng cỏch từ D đến (P).
Hướng dẫn: cú 2 trường hợp :
(P) chứa AB và song song CD ( Đs : 4x + 2y + 7z – 15 = 0 (P) qua A, B và M là trung điểm của CD ( Đs : 2x + 3z – 5 = 0)
12.Trong khụng gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) . Tớnh thể tớch tứ diện ABCD. diện ABCD.
13. Trong khụng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hỡnh hộp chữ nhật OABC.O’A’B’C’ cú cỏc đỉnh A(3; 0; 0), C(0; 4; 0), O’(0; 0; 5), O(0; 0; 0) và điểm B’ là đỉnh đối diện với O. 0; 0), C(0; 4; 0), O’(0; 0; 5), O(0; 0; 0) và điểm B’ là đỉnh đối diện với O.
a) Viết phương trỡnh mặt phẳng (ACO’) và tớnh khoảng cỏch từ O đến mặt phẳng này. b) Tỡm tọa độ điểm B’. Tớnh khoảng cỏch từ O đến (ACB’)
Sử dụng khoảng cỏch từ một điểm đến một mặt phẳng để giải cỏc bài toỏn liờn quan: Áp dụng 1: Viết phương trỡnh mặt cầu cú tõm và tiếp xỳc với một mặt phẳng cho trước
Mặt cầu cú tõm I và tiếp xỳc mặt phẳng (P) thỡ cú bỏn kớnh bằng khoảng cỏch từ tõm I đến mp(P)
14.Trong khụng gian Oxyz, cho 4 điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2). Viết phương trỡnh mặt cầu tõm A và tiếp xỳc mặt phẳng (BCD) mặt cầu tõm A và tiếp xỳc mặt phẳng (BCD)
15.Trong khụng gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).Viết phương trỡnh mặt cầu tõm D và tiếp xỳc mp (ABC). tõm D và tiếp xỳc mp (ABC).
16.( TN năm 06 – 07) Trong khụng gian Oxyz, cho mp(α): x + 2y – 2z +6 = 0.Viết phương trỡnh mặt cầu tõm là gốc toạ độ và tiếp xỳc với mp(α). tõm là gốc toạ độ và tiếp xỳc với mp(α).
17. (Khối B – năm 2005)Trong khụng gian Oxyz, cho hỡnh lăng trụ đứngABC.A’B’C’ với A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B’(4; 0; 4). Tỡm toạ độ điểm A’, C’. Viết phương trỡnh mặt cầu cú tõm A và tiếp B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B’(4; 0; 4). Tỡm toạ độ điểm A’, C’. Viết phương trỡnh mặt cầu cú tõm A và tiếp xỳc mặt phẳng (BCC’B’)
Áp dụng 2: : Xột vị trớ tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:
Nhắc lại : Cho mặt cầu (S) cú tõm I, bỏn kớnh R và mp(P)
Để xột vị trớ tương đối của (S) và (P), ta tớnh khoảng cỏch từ I đến (P) và so sỏnh với bỏn kớnh R a) Nếu d I P( ,( ))>Rthỡ mặt cầu (S) và mp(P) khụng cú điểm chung
b) Nếu d I P( ,( )) =R thỡ mặt cầu (S) và mp(P) cú duy nhất 1 điểm chung. Trường hợp này, ta núi (S) và (P) tiếp xỳc
Taứi lieọu õn taọp toỏt nghieọpTHPT mõn Toaựn-2009-2010
c) Nếu d I P( ,( )) <R thỡ mặt cầu (S) và mp(P) cắt nhau theo 1 đường trũn (C) cú tõm là hỡnh chiếu của I lờn (P) và bỏn kớnh r= R2−d2(I P,( ))
18. Cho mặt cầu (S): (x−3) (2+ +y 2) (2+ −z 1)2=100 và mặt phẳng ( )α 2x – 2y – z + 9 = 0. Chứng tỏ mặt phẳng ( )α cắt mặt cầu (S) theo một đường trũn (C). Hĩy tớnh bỏn kớnh của đường trũn (C). phẳng ( )α cắt mặt cầu (S) theo một đường trũn (C). Hĩy tớnh bỏn kớnh của đường trũn (C).
19. Cho mặt cầu (S) : x2+y2+z2−6x+4y−2z+5=0 và mặt phẳng ( )α x + 2y + 2z + 11 = 0. Chứng tỏ mặt phẳng ( )α khụng cắt mặt cầu (S) . mặt phẳng ( )α khụng cắt mặt cầu (S) .
20. Cho mặt cầu (S): x2+y2+z2−4x+6y+6z+17=0 và mặt phẳng ( )α x – 2y +2z + 1 = 0. Chứng tỏ mặt phẳng ( )α cắt mặt cầu (S) theo một đường trũn (C). Hĩy tớnh bỏn kớnh của đường trũn (C). mặt phẳng ( )α cắt mặt cầu (S) theo một đường trũn (C). Hĩy tớnh bỏn kớnh của đường trũn (C).
21. Cho tứ diện ABCD cú A(3; 6; -2), B(6; 0; 1), C(-1; 2; 0), D(0; 4; 1).
a) Viết pt mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xỏc định tõm và tớnh bỏn kớnh mc (S) b) Viết phương trỡnh mặt phẳng (ABC)
c) Tớnh bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC.
22. (ĐH – Khối B - 07) Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x +4y +2z -3 = 0. Viết phương trỡnh mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo 1 đường trũn cú bỏn kớnh bằng 3. (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo 1 đường trũn cú bỏn kớnh bằng 3.
23.Trong khụng gian Oxyz, cho mặt phẳng(P) cú phương trỡnh: 2x + 2y + z – m2 – 3m = 0 và mặt cầu (S):
(x−1) (2+ +y 1) (2+ −z 1)2 =9. Tỡm m để (P) tiếp xỳc mặt cầu.
Hướng dẫn : dựng điều kiện tiếp xỳc. Đỏp số: m = - 5 hoặc m = 2
Áp dụng 3: Vận dụng khoảng cỏch để viết phương trỡnh mặt phẳng tiếp xỳc mặt cầu
Nhắc lại :Mặt phẳng (P) tiếp xỳc với mặt cầu (S)⇔d I P( ,( )) =R
24. Trong khụng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng ( P) lần lượt cú phương trỡnh x2 + y2 +z2 - 2x + 2y +4z - 3 = 0 ; x – y – 2z + 1 = 0 . x2 + y2 +z2 - 2x + 2y +4z - 3 = 0 ; x – y – 2z + 1 = 0 .
Viết phương trỡnh mặt phẳng ( )α tiếp xỳc với mặt cầu (S) và song song với mp (P)
25.Trong khụng gian Oxyz, cho 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)a) Viết phương trỡnh mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D. a) Viết phương trỡnh mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D.
b) Viết phương trỡnh mặt phẳng ( )α tiếp xỳc với mặt cầu (S) và song song với mp(ABD)
Đs: a) x2 + y2 + z2 –3x – 6y – 2z + 7 =0 b) 21 1 0 2
z± − =
VẤN ẹỀ 23: ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHễNG GIAN