P N B Q C
K⇒ FEM=FCP ⇒ ME//CP
⇒FEM=FCP⇒ME//CP
C/m:BP=BC:Do ME//CP và ME⊥BN⇒CP⊥BN.Đường kính MN vuođng góc với dađy CP⇒BN là đường trung trực cụa CP hay ∆BCP cađn ở B⇒BC=BP.
5/C/m ∆FPE vuođng:
Do FPNB noơi tiêp⇒FPB=FNB=45o(cmt)
Deê dàng cm được QENP noơi tiêp⇒QPE=QNE=45o⇒đpcm.
Bài 33:
Tređn đường tròn tađm O laăn lượt lây bôn đieơm A;B;C;D sao cho AB=DB.AB và CD caĩt nhau ở E.BC caĩt tiêp tuyên tái A cụa đường tròn(O) ở Q;DB caĩt AC tái K.
1. Cm: CB là phađn giác cụa góc ACE. 2. c/m:AQEC noơi tiêp.
3. C/m:KA.KC=KB.KD 4. C/m:QE//AD. Q E B A C O D
⇒QAB=ADB=BCE(cmt) ⇒QAE=QCD⇒hai đieơm A và C cùng làm với hai đaău đốn QE…
⇒đpcm
3/C/m: KA.KC=KB.KD. C/m ∆KAB∽∆KDC. 4/C/m:QE//AD:
Do AQEC nt⇒QEA=QCA(cùng chaĩn cung QA) mà QCA=BAD(cmt)
⇒QEA=EAD⇒QE//AD.
1/C/m CB là phađn giác cụa góc ACE: Do ABCD noơi tiêp ⇒BCD+BAD=2v Mà BCE+BCD=2V⇒BCE=BAD. Do AB=AC(gt)⇒∆BAD cađn ở
B⇒BAD=BDA.ta lái có BDA=BCA (Cùng chaĩn cung AB)⇒BCE=BCA
⇒đpcm.
2/C/m AQEC noơi tiêp:
Ta có sđ QAB=21SđAB(góc giữa tiêp tuyên và moơt dađy)
Sđ ADB=Sđ21AB
Bài 34:
Cho (O) và tiêp tuyên Ax.Tređn Ax lây hai đieơm B và C sao cho AB=BC.Kẹ cát tuyên BEF với đường tròn.CE và CF caĩt (O) laăn lượt ở M và N.Dựng hình bình hành AECD.
1. C/m:D naỉm tređn đường thẳng BF. 2. C/m ADCF noơi tiêp.
3. C/m: CF.CN=CE.CM 4. C/m:MN//AC.
5. Gĩi giao đieơm cụa AF với MN là I.Cmr:DF đi qua trung đieơm cụa NI. C D B E N J A O I F M
⇒hai đieơm F và C cùng làm với 2 đaău đốn AD…⇒đpcm 3/C/m: CF.CN=CE.CM. ta c/m ∆CEF∽∆CNM.
4/C/m:MN//AC.
Do ADCF nt⇒DAC=DFC(cùng chaĩn cung CD).Mà ADCE là hình bình hành
⇒DAC=ACE(so le),ta lái có CFD=NME(cùng chaĩn cung EN)⇒ACM=CMN ⇒AC//MN. 5/C/m:DF đi qua trung đieơm NI:Gĩi giao đieơm cụa NI với FE là J
Do NI//AC(vì MN//AB)
⇒NJ//CB,theo heơ quạ talét⇒FBJE = BCNJ
Tương tự IJ//AB⇒ FBJF = ABJI MaØ AB=AC(gt)⇒JI=NJ
33 1/C/m:D naỉm tređn đường thẳng BF.
Do ADCE là hình bình hành⇒DE và AC là hai đường chéo.Do B là trung đieơm cụa AC ⇒B cũng là trung đieơm DE hay DBE thẳng hàng.Mà B;E;F thẳng hàng ⇒D naỉm tređn BF.
2/C/m ADCF noơi tiêp: Do ADCf là hình bình hành
⇒DCA=CAE(so le) Sđ CAE=
2 1
Cung AE(góc giữa tt và moơt dađy) mà EFA=sđ21AE
⇒CAE=EFA⇒DFA=DCA Hình 34 BC NJ AB JI =
P I
J B
Bài 35:
Cho (O;R) và đường kính AB;CD vuođng góc với nhau.Gĩi M là moơt đieơm tređn cung nhỏ CB.
1. C/m:ACBD là hình vuođng.
2. AM caĩt CD ;CB laăn lượt ở P và I.Gĩi J là giao đieơm cụa DM và AB.C/m IB.IC=IA.IM
3. Chứng tỏ IJ//PD và IJ là phađn giác cụa góc CJM. 4. Tính dieơn tích ∆AID theo R.
C
M
A O
D
⇒IMJ=IBJ=45o⇒M và B cùng làm với hai đaău đốn IJ…⇒MBIJ noơi tiêp.
⇒IJB+IMB=2v mà IMB=1v⇒ IJB =1v hay IJ⊥AB.Mà PD⊥AB(gt)⇒ IJ//PD
C/m IJ là phađn giác cụa góc CMJ:
-Vi IJ⊥AB hay AJI=1v và ACI=1v(t/c hình vuođng)⇒ACIJ noơi tiêp
⇒ IJC=IAC(cùng chaĩn cung CI) mà IAC=IBM(cùng chaĩn cungCM) -Vì MBJI noơi tiêp ⇒MBI=MJI(cùng chaĩn cung IM)
⇒ IJC= IJM⇒đpcm.
4/Tính dieơn tích ∆AID theo R:
Do CB//AD(tính chât hình vuođng) có I∈CB⇒ khoạng cách từ đên AD chính baỉng CA.Ta lái có ∆IAD và ∆CAD chung đáy và đường cao baỉng nhau. ⇒SIAD=SCAD.Mà SACD=12 SABCD.⇒SIAD=21SABCD.SABCD=21AB.CD (dieơn tích có 2 đường chéo vuođng góc)⇒SABCD=21 2R.2R=2R2⇒SIAD=R2.
Hình 35
1/C/m:ACBD là hình vuođng:
Vì O là trung đieơm cụa AB;CD neđn ACBD là hình bình hành.
Mà AC=BD(đường kính) và AC⊥DB (gt)⇒hình bình hành ACBD là hình vuođng. 2/C/m: IB.IC=IA.IM
Xét 2 ∆IAC và IBM có CIA=MIB(đ đ) IAC=IBM(cùng chaĩn cung CM)
⇒∆IAC∽∆IBM⇒đpcm. 3/C/m IJ//PD.
Do ACBD là hình vuođng⇒ CBO=45o. Và cung AC=CB=BD=DA.
Bài 37:
Cho ∆ABC(A=1v).Kẹ AH⊥BC.Gĩi O và O’ là tađm đường tròn noơi tiêp các tam giác AHB và AHC.Đường thẳng O O’ caĩt cánh AB;AC tá M;N.
1. C/m: ∆ OHO’ là tam giác vuođng. 2. C/m:HB.HO’=HA.HO
3. C/m: ∆HOO’∽∆HBA.
4. C/m:Các tứ giác BMHO;HO’NC noơi tiêp. 5. C/m ∆AMN vuođng cađn.
A