Giáo án Toán 9 Học kỳ 1 Năm học 2024-2025 - Giải toán bằng hệ phương trình

Phương trình bậc nhất hai ẩn

Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên một ha là bao nhiêu, biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha lúa giống cũ là 1 tấn. Giả sử có một cánh đồng cỏ dày như nhau, mọc cao đều như nhau trên toàn bộ cánh đồng trong suốt thời gian bò ăn cỏ trên cánh đồng ấy.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình

Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ, còn nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. Năm nay, do áp dụng khoa học kĩ thuật nên lượng lúa thu được trên cánh đồng thứ nhất tăng lên 30% so với năm ngoái, trên cánh đồng thứ hai tăng 20%.

Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

(SGK CD) Trong một khu đất hình vuông, người ta dành một mảnh đất có dạng hình chữ nhật ở góc khu đất để làm bể bơi (như hình vẽ).

Toán thực tế

(SGK KNTT) Một hãng viễn thông nước ngoài có hai gói cước như sau:. a) Hãy viết một phương trình xác định thời gian gọi (phút) mà phí phải trả trong cùng một tháng của hai gói cước là như nhau và giải phương trình đó. b) Nếu khách hàng chỉ gọi tối đa là 180 phút trong 1 tháng thì nên dùng gói cước nào? Nếu khách hàng gọi 500 phút trong 1 tháng thì nên dùng gói cước nào?. a) Để viết phương trình xác định thời gian gọi (phút) mà phí phải trả trong cùng một tháng của hai gói cước là như nhau, chúng ta sẽ đặt biến x là thời gian gọi (phút).  Vậy thời gian gọi (phút) mà phí phải trả trong cùng một tháng của hai gói cước là như nhau là 200 phút. b) Nếu khách hàng chỉ gọi tối đa là 180 phút trong 1 tháng, ta sẽ tính phí phải trả cho cả hai gói cước.

Bất đẳng thức và tính chất

Tìm bất đẳng thức được tạo thành khi chia cả hai vế của bất đẳng thức 2a 2b cho 2. Biết bạn An nặng hơn bạn Huy, nếu gọi trọng lượng của bạn An là a(kg), trọng lượng bạn Huy là b.

Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Hãy dùng bất đẳng thức để biểu diễn mối quan hệ về cân nặng của hai bạn đó.

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Điền (cụm) từ thích hợp vào. để hoàn thành phát biểu đúng về quy tắc nhân với một số khi biến đổi bất phương trình. Khi nhân 2 vế của bất phương trình cho cùng một số khác 0, ta phải. a) Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số. b) Đổi chiều bất phương trình nếu số. Hãy nối mỗi bất phương trình ở cột A với một hình biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình đó ở cột B.

Căn bậc hai và căn thức bậc 2

Hai bến thuyền A và B nằm sát hai con đường vuông góc với nhau và cách chổ giao nhau lần lượt là 2 km và 3 km (hình vẽ). Quãng đường ca nô đi được dài bao nhiêu kilomet?. Cho trục số được vẽ trên lưới ô vuông đơn vị như hình vẽ. Tính độ dài cạnh huyền OB của tam giác OAB. Biết hình vuông A và hình vuông B có diện tích bằng nhau. Gọi x cm là độ dài cạnh của hình vuông B. Hãy tính x, biết hình vuông A có độ dài cạnh bằng 3 cm. Một chiếc thang dài 5 m tựa vào bức tường như hình vẽ. a) Nếu chân thang cách tường x (m) thì đỉnh thang ở độ cao bao nhiêu so với chân tường?. a) Viết biểu thức biểu thị khoảng cách từ trạm phát sóng đến đầu tàu?. Em hãy ước lượng (với độ chính xác 0,005) đường kính của các ô đất đó khoảng bao nhiêu mét?. Nếu công suất tăng gấp 8 lần, điện trở giảm 2 lần thì tỉ số giữa hiệu điện thế lúc đó và hiệu điện thế ban đầu bằng bao nhiêu?. Kích thước màn hình ti vi hình chữ nhật được xác định bởi độ dài đường chéo. a) Gọi x (inch) là chiều rộng của màn hình ti vi.

Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

Bạn Lan cắt một hình chữ nhật ABCD thành những hình tam giác như Hình 4 (đơn vị tính theo centimét). a) Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD. b) Sau đó, bạn Lan muốn cắt một hình vuông có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ABCD. Tải trọng an toàn m (kg) của một dây cáp thép được tính bởi công thức m = 8d2, trong đó d (mm) là đường kính của dây cáp thép. b) Tìm đường kính nhỏ nhất của dây cáp thép có tải trọng an toàn là 900 kg (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Công thức tính động năng của một vật chuyển động là 1 2. b) Tìm tốc độ của một vật chuyển động có khối lượng 1 kg và động năng là 50 J.

Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc. Rút gọn các biểu thức sau:. Biết rằng hình thang và hình chữ nhật ở hình bên dưới có diện tích bằng nhau. Tính chiều cao h của hình thang. Một khu đất hình tam giác vuông tiếp giáp với hai thửa ruộng hình vuông có diện tích như hình bên. Khu đất hình tam giác vuông có chu vi bằng bao nhiêu?. Hình vuông ABCD được chia thành hai hình vuông và hai hình chữ nhật như hình vẽ. a) Tính độ dài đường chéo của hai hình vuông AMIN và CEIF. b) Tính độ dài đường chéo của hình vuông ABCD theo hai cách khác nhau. Trong thuyết tương đối, khối lượng m (kg) của một vật khi chuyển động với tốc độ v (m/s) được cho bởi công thức 0. tốc độ của ánh sáng trong chân không. a) Viết lại công thức tính khối lượng my dưới dạng không có căn thức ở mẫu. b) Tính khối lượng m theo m0 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) khi vật chuyển động với tốc độ 1. và tàn phá thành phố Palu gây thiệt hại vô cùng to lớn. a) Hãy tính tốc độ cơn sóng thần xuất phát từ Thái Bình Dương, ở độ sâu trung bình 400 m (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét trên giây).

Căn bậc ba và căn thức bậc 3

Ông An muốn làm thêm một bể kính mới hình lập phương có thể tích gấp 4 lần thể tích của bể kính cũ (bỏ qua bề dày của kính). Vì biểu diễn mối liên hệ giữa cân nặng x (kg) và chiều cao h (m) của một con hươu cao cổ ở tuổi trưởng thành (Nguồn: J. Libby, Math for Real Life: Teaching Practical Uses for Algebra, McFarland, năm 2017). a) Một con hươu cao cổ cân nặng 180 kg thì cao bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?. b) Một con hươu cao cổ có chiều cao 2,56 m thì nặng bao nhiêu kilôgam (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?. a) Tính thể tích của hình hộp chữ nhật đó. b) Tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó. Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. a) Một con voi đực 8 tuổi thì có chiều cao ngang vai là bao nhiêu centimét?. b) Nếu một con voi đực có chiều cao ngang vai là 205 cm thì con voi đó bao nhiêu tuổi (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?.

Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A, B không đo trực tiếp được, chẳng hạn A và B là hai địa điểm ở hai bên sông, người ta lấy điểm C về phía bờ sông có chứa B sao cho tam giác ABC vuông tại B. Tính độ cao lớn nhất của vật nếu tốc độ ném ban đầu là 12 m/s và góc ném là: (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười mét).

Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông

• Tổng nghịch đảo các bình phương của hai cạnh góc vuông

Tính độ cao AC của con dốc (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Tính chiều rộng d của dòng sông như hình vẽ. Một người có tầm mắt cao 1,6 m đứng trên sân thượng của 1 căn nhà cao 25 m nhìn thấy một chiếc xe đang đứng yên với góc nghiêng xuống 380. Hỏi chiếc xe cách căn nhà bao nhiêu mét?. Một máy bay cất cánh từ vị trí A trên đường băng của sân bay và bay theo đường thẳng AB tạo với phương nằm ngang AC một góc là 20o. Tính khoảng cách AB. Một chiếc máy bay cất cánh với vận tốc 450 km/ h Đường bay lên tạo với phương nằm ngang một góc 30. Hỏi sau 1,2 phút máy bay đã bay lên được độ cao là bao nhiêu mét theo phương thẳng 0 đứng. Ca nô dù bay là một trò chơi thể thao biển được ưa chuộng, trong đó người chơi được đeo dù và được ca nô kéo bay lên để thưởng ngoạn cảnh biển từ trên cao như Hình vẽ. Nếu biết độ dài AC của dây kéo và góc ACB tạo bởi dây và phương ngang, làm thế nào để tính được độ cao AB của người chơi so với mặt biển?. Trong Hình vẽ, một người đứng từ sân thượng toà nhà và quan sát một người đi xe máy từ vị trí C đến D. a) Giải tam giác vuông ABD. Làm tròn số đo góc đến độ và độ dài cạnh đến hàng phần mười mét. Trong Hình vẽ, bạn Mai và bạn Nam đứng ở vị trí điểm M và N ở cùng một bên lề đường và cây xanh C nằm đối diện vị trí Nam đứng ở phía bên kia đường. Tính chiều rộng NC của con đường. Quan sát Hình vẽ và tính:. a) Khoảng cách NH giữa bạn Nam và cây. b) Chiều cao AB của cây. Một chiếc thang AC được dựng vào một bức tường thẳng đứng (Hình vẽ). b) Nếu đầu A của thang bị trượt xuống 40 cm đến vị trí D thì góc DEB tạo bởi thang và phương nằm ngang khi đó bằng bao nhiêu?. a) Tính chiều cao AH của mái nhà. b) Tính góc BAC tạo bởi hai mép của mái nhà. Khi tia sáng được truyền qua mặt phân cách giữa không khí và nước thì đường đi tia sáng sẽ bị lệch đi do hiện tượng khúc xạ ánh sáng. Góc tới i và góc khúc xạ i như Hình vẽ liên hệ với nhau theo công thức sin 3. Do ánh sáng bị khúc xạ nên Minh đứng trên bờ nhìn xuống nước với góc r=54° thì thấy con cá ở vị trí A thẳng hàng với O, M và cách mặt nước một đoạn AB = 71 cm. b) Tính độ sâu BC từ mặt nước đến vị trí thực sự mà con cá đang bơi.

Đường tròn

• KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Khái niệm đường tròn
• BÀI TẬP MẪU 1. Đường tròn - Tính đối xứng của đường tròn

Hỏi đường trung trực của A'B' có phải là trục đối xứng của (O) hay không? Tại sao?. Cho đoạn thẳng MN và đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng MN. Chứng minh rằng các điểm A, B, C thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. Tính số đo góc AOB. b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật. Cho hình vuông ABCD có E là giao điểm của hai đường chéo. a) Chứng minh rằng có một đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C và D. Xác định tâm đối xứng và chỉ ra hai trục đối xứng của đường tròn đó. b) Tính bán kính của đường tròn ở câu a, biết rằng hình vuông có cạnh bằng 3 cm. Đường kính và dây cung. Chứng minh trong một đường tròn:. a) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy;. b) Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy;. c) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm;. d) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Cho đường tròn đường kính BC. Cho tam giác ABC có hai đường cao BB’ và CC’. Gọi O là trung điểm của BC. a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. b) So sánh độ dài của AC và BD. Cho đường tròn tâm O và AB là một dây không đi qua tâm của (O). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. a) Chứng minh rằng OM vuông góc với AB. a) Chứng minh rằng H là trung điểm của AB và CD. Tính bán kính đường tròn nhỏ. Gọi K, I lần lượt là giao điểm của hai đường tròn đã cho với đoạn thẳng AB. a) Tính độ dài của các đoạn thẳng CA, CB, DA và DB. b) Tính độ dài của đoạn thẳng IK.

Cung và dây của một đường tròn

• KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Đường kính và dây cung

Biểu đồ hình quạt tròn ở Hình vẽ biểu diễn kết quả thống kê (tính theo tỉ số phần trăm) chọn môn thể thao ưa thích nhất trong bốn môn: Cầu lông, Bóng bàn, Bóng chuyền, Bóng đá của 300 học sinh khối lớp 9 ở một trường trung học cơ sở (mỗi học sinh chỉ được chọn một môn thể thao khi được hỏi ý kiến). a) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB. Tính bán kính của đường tròn (C), biết rằng cung nhỏ AB có số đo bằng 100° (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Trên mặt một chiếc đồng hồ có các vạch chia như Hình vẽ. Hỏi cứ sau mỗi khoảng thời gian 36 phút:. a) Đầu kim phút vạch nên một cung có số đo bằng bao nhiêu độ?. b) Đầu kim giờ vạch nên một cung có số đo bằng bao nhiêu độ?.

Độ dài cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Biết rằng khi giò đĩa quay một vòng thì bánh xe quay được khoảng 3,3 vòng (Hình vẽ). Hỏi chiếc xe đạp di chuyển được quãng đường dài bao nhiêu mét sau khi người đi xe đạp 10 vòng liên tục?. Hướng dẫn: Khi bánh xe quay 3,3 vòng thì mỗi điểm trên bánh xe di chuyển được một độ dài bằng 3,3 lần chu vi đường tròn. Một máy kéo công nghiệp có hai bánh sau to hơn hai bánh trước. Khi bơm căng, đường kính bánh sau là 124cm và đường kính bánh trước là 80cm. Hỏi khi bánh xe sau lăn được 20 vòng thì bánh xe trước lăn được bao nhiêu vòng?. a) Trong mỗi phút, trống lu quay được bao nhiêu độ và xe lu cán được bao nhiêu mét đường?. b) Để cán được 1 mét đường thì trống lu phải quay một góc bao nhiêu độ?. c) Để trống lu quay được 1 vòng thì bánh sau phải quay bao nhiêu vòng?. Mỗi vòng kinh tuyến của trái đất khoảng 40000km. Hãy tính độ dài cung kinh tuyến từ Đà Lạt đến Xích đạo. Dây cua-roa bao quanh bánh xe theo cung AB có độ dài 210mm. Tính góc AOB. Mỗi vòng kinh tuyến của trái đất dài 40000km. a) Tính bán kính của trái đất. b) Tính độ dài cung kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo. Trong Hình vẽ, hai puly có dạng hình tròn tâm A bán kính 12,5 cm và tâm B bán kính 7 cm được nối bằng dây curoa. Đoạn dây CD, EF tiếp xúc với cả hai puly. a) Độ dài CD và số đo các góc của tứ giác ABCD;. b) Độ dài dây curoa. Làm tròn độ dài đến hàng phần mười centimét, số đo góc đến phút. Trong Hình vẽ, mỗi làn chạy của sân vận động được thiết kế gồm hai phần là đường chạy thẳng và hai phần có dạng nửa đường tròn. Trong một cuộc thi điền kinh, vận động viên ở làn trong cùng xuất phát từ vị trí điểm A, chạy ngược chiều kim đồng hồ đúng một vòng và về đích ở điểm A. a) Tính cự li chạy của cuộc thi (tổng quãng đường vận động viên phải chạy). b) Để đảm bảo cự li chạy như nhau, vận động viên ở làn ngoài cùng không chạy đúng một vòng mà xuất phát từ vị trí điểm B và về đích ở điểm C. Tính khoảng cách nhỏ nhất từ con thuyền đến hải đăng (theo đơn vị dặm và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). a) Hãy nêu cách vẽ dây AB sao cho khoảng cách từ điểm O đến dây AB bằng 2,5 cm. b) Tính độ dài của dây AB trong câu a (làm tròn đến hàng phần trăm). c) Tính số đo và độ dài của cung nhỏ AB. d) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB. a) Chứng minh rằng nếu A nằm trên (O) thì ABC là một tam giác vuông; ngược lại, nếu ABC là tam giác vuông tại A thì A nằm trên (O). b) Giả sử A là một trong hai giao điểm của đường tròn (B; BC) với đường tròn (O). Tính các góc của tam giác ABC. c) Với cùng giả thiết câu b, tính độ dài cung AC và diện tích hình quạt nằm trong (O) giới hạn bởi các bán kính OA và DC, biết rằng BC = 6 cm. b) Biết rằng ABCD là một hình vuông. Tính độ dài cung lớn AB và diện tích hình quạt tròn tạo bởi hai bán kính OA và OB. Hình vành khuyên. Tính diện tích của hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 3 m và 5 m. Tính diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 6 cm và 4 cm. Tính diện tích của hình vành khuyên, biết hình vành khuyên đó giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm và có bán kính lần lượt là 2,5 cm; 2 cm. Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính lần lượt là 5 cm và 3 cm. Ta gọi hình giới hạn bởi một cung nhỏ của một đường tròn và dây căng cung đó là hình viên phân. Lập công thức tính diện tích hình viên phân ứng với cung 90°, biết bán kính của đường tròn là R. Cho Hình vẽ. a) Tính diện tích hình quạt tròn tâm O cung nhỏ AB. b) Tính diện tích hình giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB (gọi là hình viên phân tâm O cung nhỏ AB).

Vị trí tương đối giữa đường thằng và đường tròn

• KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Chứng minh rằng đường tròn (l; 3 cm) tiếp xúc với cả bốn cạnh của hình vuông. b) Chứng minh rằng đường thẳng MN tiếp xúc với đường tròn đường kính AB. Trong Hình 5.28, các cuộn thép được đặt chồng lên nhau. Đường kính của mỗi cuộn thép là 1,2 m. Gọi A, B, C lần lượt là tâm của mặt cắt các cuộn thép, H là tiếp điểm của hai cuộn thép phía dưới. a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều và tính độ dài AH. c) Tính chiều cao h của khối ba cuộn thép. Biết điểm A nằm trong đoạn EF. a) Chứng minh rằng tứ giác OO'KI là một hình thang vuông. Giả sử ròng rọc được minh hoạ bởi đường tròn (O), sợi dây vắt qua ròng rọc được minh hoạ bởi cung MIN và hai tiếp tuyến Ma, Nb của đường tròn (O) (Hình 41b). Chứng minh rằng:. b) Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC từ đó suy ra ABC là tam giác vuông. Hình vẽ cho thấy mặt cắt của hai ống nước nhựa được đặt sát nhau trên mặt đất. a) Khoảng cách AB giữa tâm của hai mặt cắt. b) Khoảng cách HK giữa hai tiếp điểm của mặt cắt hai ống với mặt đất.

Vị trí tương đối của hai đường tròn

Vẽ dây DE của (O) vuông góc với AC tại H. Chứng minh tứ giác ADCE là hình thoi. Chứng minh rằng ba điểm F, B, E thẳng hàng. d) Chứng minh rằng HF là tiếp tuyến của đường tròn (O’). b) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với AB cắt NM tại Q. Chứng minh rằng Q là trung điểm của đoạn MN. c) Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn có đường kính lần lượt là 8 cm và 12 cm, biết khoảng cách giữa tâm của hai đường tròn là 10 cm.