Hình học lớp 9: Đường tròn và các hệ thức liên quan

Lý thuyết

- Hệ thống các công thức, định nghĩa các tỉ số lợng giác của một góc nhọn và quan hệ giữa tỉ số lợng giác của hai góc phụ nhau. - Rèn luyện kỹ năng tra bảng (hoặc sử dụng máy tính bỏ túi) để tra (tính) các tỉ số lợng giác hoặc số đo góc.

Cách xác định đờng tròn

Một đờng tròn xác định khi biết tâm và bán kính của nó, hoặc biết một đoạn thẳng là đờng kính của đờng tròn. a) Hãy vẽ một đờng tròn đi qua hai điểm đó. b) Có bao nhiêu đờng tròn nh vậy, tâm của nó nằm trên đờng nào?. Gọi O là tâm của đờng tròn đi qua A và B do OA = OB nên điểm O nằm trên đờng trung trực của đoạn thẳng AB. b) có vô số đờng tròn đi qua A và B, tâm của các đ- ờng tròn đó nằm trên đờng trung trực của đoạn thẳng AB. Nhận xét: Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ đ- ợc một và chỉ một đờng tròn.

Tâm đối xứng

Giáo viên yêu cầu học sinh thực hiện ?4. Nh vậy có phải đờng tròn có tâm đối xứng không ? Tâm. đối xứng của nó là điểm nào ? - đi đến kết luận SGK. - giáo viên cho học sinh thực hiện ?5, kết luận. gọi là tam giác nội tiếp đờng tròn. Giáo viên yêu cầu nêu vị trí của một điểm đối với một đ- ờng tròn. Từ đó xác định vị trí của A,B,C đối với đờng tròn tâm O bán kính là 2. Đối với bài tập số 5 giáo viên cho học sinh nghiên cứu và trả lời phơng pháp xác định tâm của đờng tròn. Giáo viên yêu cầu HS giải thích tại sao hình 58 là hình có trục đối xứng, có tâm đối xứng. Hình 59 là hình chỉ có trục. Giáo viên yêu cầu HS chỉ ra phơng pháp dựng đờng tròn thoả mãn yêu cầu đầu bài. Giáo viên yêu cầu HS cùng vẽ theo sự hớng dẫn của GV. Cách 1:Vẽ hai dây bất kỳ của đờng tròn. Giao điểm các đờng trung trực của hai dây đó là tâm của hình tròn. Cách 2: Gấp tấm bìa cho hai phần của hình tròn trùng nhau, nếp gấp là một đờng kính. Tiếp tục gấp nh trên theo nếp gấp khác, ta đợc một đờng kính thứ hai. Giao điểm của hai nếp gấp đó là tâm của hình tròn. Hình 59 SGK là hình có trục đối xứng. Tâm O là giao điểm của tia Ay và đờng trung trực của BC. Bài tập: Cho tam giác nhọn ABC. b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng AK vuông góc với BC Hớng dẫn giải:. a) Các tam giác DBC và EBD có đờng trung tuyến lần lợt là DO, EO ứng với cạnh BC bằng nửa cạnh BC nên là các tam giác vuông Do đó: CD ⊥AB, BE ⊥AC. b) K là trực tâm của tam giác ABC nên AK ⊥BC. - Nắm đợc đờng kính là dây lớn nhất trong các dây của đờng tròn, nắm đợc hai định lý về đờng kính vuông góc với dây và đờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm.

So sánh độ dài của đờng kính và dây

- Biết vận dụng các định lý trên để chứng minh đờng kính đi qua trung điểm của một dây, đờng kính vuông góc với dây. - Rèn luyện tính chính xác trong việc lập mệnh đề đảo trong suy luận và chứng minh.

Quan hệ vuông góc giữa đờng kính và dây

( chứng minh các điểm đó cách đều một điểm ). Chứng minh EM, DM bằng. Giáo viên yêu cầu HS chứng. Cho tam giác ABC, các đờng cao BD và CE. Chứng minh rằng:. a) Bốn điểm B,E,C,D cùng thuộc một đờng tròn. - Biết vận dụng các định lý trên để so sánh độ dài hai dây, so sánh các khoảng cách từ tâm đến dây.

Bài mới

Nắm đợc các hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đờng tròn đến đờng thẳng và bán kính của đờng tròn ứng với từng vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn. Chuẩn bị: có thể vẽ sẵn một đờng tròn trên bảng, rồi dùng que thẳng di chuyển trên bảng để minh họa các vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn.

Ba vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn

Đờng thẳng a và đờng tròn (O) không có điểm chung Ta chứng minh đợc rằng OH > R.

Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đờng tròn đến đ- ờng thẳng và bán kính của đờng tròn

- Biết vẽ tiếp tuyến tại một điểm của đờng tròn, vẽ tiếp tuyến đi qua 1 điểm nằm ngoài đờng tròn. Biết vận dụng các dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đờng tròn vào các bài tập về tính toán và chứng minh.

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đờng tròn

Cách 1: Khoảng cách từ A đến BC là AH bằng bán kính của đờng tròn ( A: AH) do đó BC là tiếp tuyến của đờng tròn đó. Cách 2: BC vuông góc với bán kính AH tại điểm H của đờng tròn nên BC là tiếp tuyến của đờng tròn.

Định lý về hai tiếp tuyến cắt nhau

- Nắm đợc các tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, nắm đợc thế nào là đờng tròn nội tiếp tam giác, tam giác ngoại tiếp đờng tròn, hiểu đợc đờng tròn bàng tiếp tam giác. Kiểm tra bài cũ: nêu định nghĩa tiếp tuyến của đờng tròn, nêu cách vẽ tiếp tuyến, vẽ hình.

Đờng tròn nội tiếp tam giác

Kẻ theo “tia phân giác của th- ớc”, ta vẽ đợc một đờng kính của hình tròn. Cho trớc tam giác ABC hãy nêu cách xác định tâm đờng tròn bàng tiếp.

Đờng tròn bàng tiếp tam giác

- Nắm đợc ba vị trí tơng đối của hai đờng tròn, tính chất của hai đờng tròn tiếp xúc nhau( tiếp điểm nằm trên đờng nối tâm ), tính chất của hai đờng tròn cắt nhau ( hai giao điểm đối xứng với nhau qua đờng nối tâm ). Kiểm tra bài cũ: nêu vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn, mỗi trờng hợp hãy nêu hệ thức liên hệ giữa khoảng cách từ tâm đến đờng thẳng và bán kính của đ- ờng tròn.

Ba vị trí tơng đối của hai đờng tròn

- Biết vận dụng tính chất của hai đờng tròn cắt nhau, tiếp xúc nhau vào các bài tập về tính toán và chứng minh. - Giáo viên dùng 1 đờng tròn bằng dây thép để minh hoạ vị trí tơng đối của nó với.

Tính chất đờng nối tâm

Giáo viên giới thiệu cho HS nắm đợc đờng nối tâm, đoạn nối tâm của hai đờng tròn.

Bài tập 39

- Ôn tập các kiến thức đã học về tính chất đối xứng của đờng tròn, liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây; về vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn, của hai đờng tròn. IM là bán kính ( vì IM là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông MO’O).IM là đờng trung bình của hình thang OBCO’ do đó IM ⊥BC hay BC là tiếp tuyến của đờng tròn có đờng kính OO’. Củng cố: Giáo viên cho học sinh trả lời các câu hỏi theo SGK. Hớng dẫn dặn dò:. Giáo viên hớng dẫn HS làm bài tập 43:. tiếp tục chứng minh đợc AC = AD. Câu b): áp dụng tính chất hai đờng tròn cắt nhau. đờng nối tâm là trung trực của dây chung. - Hệ thống hóa kiến thức đã học ở học kỳ I cho học sinh: Chơng I: Hệ thức lợng trong tam giác vuông. Chơng II: Đờng tròn. - Cho học sinh rèn luyện giải các bài tập. - Giáo viên chuẩn bị bảng phụ tổng kết kiến thức của chơng I và chơng II. Tiến trình bài dạy:. 2) Kiểm tra bài cũ: thực hiện khi ôn tập.

Kiến thức cần nhớ

• Ch ơng II : Đờng tròn

GV yêu cầu HS cùng vẽ góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn ( Cả ba trờng hợp ). a) Yêu cầu HS đo góc và hai cung bị chắn trong mỗi trờng hợp. b) Phát biểu và chứng minh. định lí về số đo góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn. Giáo viên hớng dẫn từng tr- ờng hợp. sau đó chia nhóm HS, rồi yêu cầu từng nhóm cử. đại diện lên bảng trình bày chứng minh từng trờng hợp. Nêu định lí về góc nội tiếp của đờng tròn.. Hãy sử dụng góc ngoài của tam giác.. Góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn:. Định lí: Số đo của góc có đỉnh bên ngoài đờng tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. Theo định lí về số đo góc có đỉnh bên trong. Vậy tam giác AEH cân tại A. - Củng cố kiến thức về góc có đỉnh ở bên trong, bên ngoài đờng tròn. - áp dụng kiến thức đã học vào việc giải các bài tập. - Gây hứng thú học tập bộ môn cho học sinh. Tiến trình giờ dạy:. HS1: Nêu và chứng minh định lí về số đo góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn ? HS2: Nêu và chứng minh định lí về số đo góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn ? 3) Bài mới: Luyện tập. Hoạt động của thầy và trò Nội dung ghi bảng Hoạt động 1: GV nhắc lại lí. HS2: Lên bảng trình bày lời giải của bài tập số 37. GV nhận xét cho điểm từng học sinh. HS đọc đầu bài. GV yêu cầu HS lên bảng vẽ hình. HS trình bày lời giải. Theo định lí về góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn Ta cã:. Vì AEB là góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn nên ta có:. GV nhận xét, chỉnh sửa những chỗ còn cha đúng Cho điểm. Phần b) giáo viên hớng dẫn học sinh giải theo trình bày. BTC cũng là góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn (hai cạnh đều là tiếp tuyến của đờng tròn) nên:. b) DCT là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dây cung nên:. DCB là góc nội tiếp nên:. AKR là góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn vì thế ta có:. hay AP ⊥QR. b) CIP là góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn nên:. Củng cố: HS nhắc lại định lí về số đo góc có đỉnh ở bên trong, bên ngoài đờng tròn. Hớng dẫn dặn dò: Làm đầy đủ bài tập SGK, và các bài tập trong sách bài tập. - Hiểu quỹ tích cung chứa góc, biết vận dụng cặp mệnh đề thuận, đảo của quỹ tích này để giải toán. - Biết sử dụng thuật ngữ cung chứa góc dựng trên một đoạn thẳng. - Biết vận dụng cung chứa góc và biết áp dụng cung chứa góc vào bài toán dựng hình. - Biết trình bày lời giải một bài toán quỹ tích bao gồm phần thuận, phần đảo và kết luËn. Tiến trình giờ dạy:. 2) Kiểm tra bài cũ: Nêu định lý về số đo góc có đỉnh ở bên trong, bên ngoài đờng tròn? chứng minh định lý 1. Hoạt động của thầy và trò Nội dung ghi bảng Hoạt động 1: Thực hiện ?1 SGK. Chứng minh quỹ tích của điểm nhìn một đoạn thẳng dới một góc vuông là đờng tròn nhận. đoạn thẳng ấy làm đờng kính. GV có thể gợi ý phơng pháp chứng minh..sau đó yêu cầu HS trình bày .. Hoạt động 2: Dự đoán quỹ tích. Bài toán quỹ tích cung chứa góc:. b) Chứng minh rằng N1;N2;N3cùng nằm trên đ- ờng tròn đờng kính CD. Theo dự đoán trên ta chứng minh quỹ tích cần tìm là hai cung tròn.. b) Dịch chuyển tấm bìa trong khe hở sao cho hai cạnh của góc luôn dính sát vào hai chiếc đinh A,B..HS dự đoán quỹ tích. Hoạt động 3: Quỹ tích cung chứa góc. a) Chứng minh phần thuận b) Chứng minh phần đảo. c) Kết luận quỹ tích.

Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với các đờng tròn tâm B có bán kính

• Bài tập

Đờng tròn (O; r ) là đờng tròn nội tiếp hình vuông ABCD và ABCD là hình vuông ngoại tiếp. Trong đa giác đều, tâm của đờng tròn ngoại tiếp trùng với tâm của đờng tròn nội tiếp và đợc gọi là tâm của đa giác đều. Vẽ đờng tròn bán kính AO. - Tính đờng cao của tam giác đều ABC. Kẻ đờng cao AD, áp dụng định lí Pitago vào tam giác ADC ta tính đợc AD =. đỉnh của tam giác IJK: yêu cầu HS chứng minh nối I với O chứng minh đợc IO là. đờng phân giác của góc I, tơng tự chứng minh đợc OJ, OK là phân giác của các góc J và K từ đó O là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác IJK. Dễ dàng chứng minh đợc tam giác IJK là tam giác đều. - Thớc, compa, bìa kéo, thớc có chia khoảng, sợi chỉ. Tiến trình giờ dạy:. 2) Kiểm tra bài cũ: Cho tam giác đều ABC cạnh AB = a, hãy tính độ dài bán kính của đờng tròn ngoại tiếp và đờng tròn nội tiếp tam giác ABC theo a ?. So sánh (1) và (2) ta thấy hình tròn đờng kính NA có cùng diện tích với hình HOABINH. * Vẽ tam giác đều ABC cạnh 1cm. 4, Củng cố: Cho HS sinh nhắc lại công thức tính diện tích hình tròn và hình quạt tròn n0 bán kính R. Hớng dẫn dặn dò: - Làm các bài tập trong Sách bài tập. - Ôn tập chơng III: theo các câu hỏi SGK. - Ôn tập kiến thức chơng III cho HS. - Cho HS vận dụng kiến thức đã học vào giải các bài tập tổng hợp chơng III. - GV soạn đầy đủ giáo án. - HS ôn tập theo SGK và vở ghi. Tiến trình giờ dạy:. Hoạt động của thầy và trò Nội dung ghi bảng Hoạt động 1: ôn tập lý thuyết. theo các câu hỏi của SGK GV nhắc lại các loại góc có liên quan đến đờng tròn: Góc ở tâm, góc có đỉnh bên trong, bên ngoài đờng tròn, góc nội tiếp.. Tóm tắt các kiến thức cần nhớ:. d) Điều kiện để tứ giác nội tiếp đờng tròn. e) Độ dài đờng tròn, cung tròn. f) Diện tích hình tròn, hình quạt tròn. Cho HS tự làm. Bài 95: Yêu cầu HS đọc đầu bài, vẽ hình cho biết giả thiết, kết luận. HS tự giải. GV yêu cầu HS trình bày lời giải, GV nhận xét cho điểm. Hãy tìm cách chứng minh khác. Yêu cầu HS chứng minh phần b. BA’ có là đờng trung trực của. Vì AA’B là góc có. đờng tròn nên:. vì thế BA’ vừa là đờng cao, vừa là phân giác suy ra tam giác BHD cân. c) Từ tam giác cân BHD suy ra HA’=A’D hay BA’ là đờng trung trực của HD, điểm C nằm trên. đờng trung trực của HD nên CH = CD. Củng cố: Cho học sinh nhắc lại các định lý.. - Ôn tập kiến thức chơng III cho HS. - Cho HS vận dụng kiến thức đã học vào giải các bài tập tổng hợp chơng III. - GV soạn đầy đủ giáo án. - HS ôn tập theo SGK và vở ghi. Tiến trình giờ dạy:. Hoạt động của thầy và trò Nội dung ghi bảng Hoạt động 1: Giải bài tập số. HS 1: đọc đầu bài, nêu giả thiết kết luận. HS2: Theo đầu bài lên bảng vẽ hình. HS3: Nêu phơng pháp chứng minh phÇn a). HS4: Nêu phơng pháp chứng minh phÇn b). Giáo viên nhận xét cho điểm. HS 1: đọc đầu bài, nêu giả thiết kết luận. HS2: Theo đầu bài lên bảng vẽ. a) Vì AM là tia phân giác của BAC nên:. và OM đi qua trung điểm của BC. HS3: Nêu phơng pháp chứng minh phÇn a). HS4: Nêu phơng pháp chứng minh phÇn b). Giáo viên nhận xét cho điểm. GV nhắc lại phơng pháp giải bài toán tập hợp điểm. Yêu cầu HS nhắc lại các bớc giải bài toán.. GV hớng dẫn học sinh làm phần thuận. Yêu cầu HS giải tiếp phần đảo. đờng kính BC, hay tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đờng tròn đờng kính BC. b) Trong đờng tròn đờng kính BC có:. ABD = ACD vì cùng chắn cung AD. Vậy CA là tia phân giác của SCB. Giả sử M là trung điểm của dây AB. nhìn OA dới 1 góc vuông. Vậy M thuộc đờng tròn đờng kính OA.. Tiết 57: Kiểm tra chơng III. - Kiểm tra kiến thức đã học của học sinh trong chơng III. - Rèn luyện t duy trong khi thực hiện giải bài. Phát huy tính sáng tạo của học sinh. Giáo viên chuẩn bị đề bài HS ôn tập. Đề bài: Kiểm tra Hình học. Câu 1: Ngời ta muốn may một chiếc khăn để phủ một chiếc bàn tròn có đờng kính 76cm sao cho khăn rủ xuống khỏi mép bàn 10cm. Ngời ta lại muốn ghép thêm riềm kh¨n réng 2cm. a) Hãy tính góc AOB, biết độ dài cung AmB tơng ứng là 4π3 cm.

Luyện Tập

• Mục đích yêu cầu

Diện tích cần tính gồm diện tích xung quanh của hình trụ( bán kính đờng tròn đáy là r cm, chiều cao là 2r cm ) và diện tích hai nửa mặt cầu bán kính r cm. - Tổng diện tích hai nửa mặt cầu:. - Diện tích cần tính là:. tính tổng diện tích hai nửa mặt cầu. Diện tích cần tính?. Đọc đầu bài Cho HS vẽ hình Nêu cách giải. Củng cố: Nhắc lại công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu. - Củng cố kiến thức về hình cầu cho học sinh. - vận dụng kiến thức đã học vào việc giải các bài toán về hình cầu. - HS làm các bài tập đợc giao. Tiến trình giờ dạy:. 2) Kiểm tra bài cũ: Thực hiện khi luyện tập. Cho hình quay một vòng xung quanh đờng cao AH của tam giác ( hình vẽ ) ta đợc một hình nón ngoại tiếp một hình cầu. Tính thể tích phần hình nón bên ngoài hình cầu?. Theo hình vẽ giáo viên có thể hớng dẫn HS giải. - Với tam giác đều ABC cạnh a hãy tính chiều cao, bán kính. đờng tròn nội tiếp ?. Phần thể tích cần tính có thể. đợc tính nh thế nào ?. Nêu công thức tính thể tích hình nón ?. Nêu công thức tính thể tích hình cầu. Thể tích cần tính ?. Cho HS đọc đầu bài nêu cách giải. Giáo viên nhận xét cho điểm Hãy tính diện tích toàn phần của hình lập phơng?. Thể tích cần tính?. Gọi h là chiều cao của tam giác đều và r là bán kính của đờng tròn nội tiếp tam giác đó thì ta có:. Thể tích của hình cầu:. Thể tích cần tính là:. Bài 33sách bài tập: Ta thấy ngay cạnh của hình lập phơng gấp đôi bán kính hình cầu. b) Diện tích toàn phần của hình lập phơng là 42cm2.