MỤC LỤC
Dễ chứng minh rằng đây là tính vô hớng và l2 là không gian Euclide (vô hạn chiều). Không gian tuyến tính C[a,b] trở thành không gian Euclide, nếu xác định tính vô hớng nh sau: =∫b. Tơng tự, không gian tuyến tính phức C[a,b] các hàm phức biến thực x ∈ [a,b] cũng là không gian Euclide với tính vô hớng.
Cũng nh trong giải tích cổ điển, mọi dãy hội tụ đều dãy cơ bản. Định nghĩa 4: Không gian Euclide đợc gọi là đầy đủ, nếu mọi dãy cơ bản trong nó đều hội tô. Bây giờ ta nêu ra định nghĩa không gian Hilbert – một trong những đối tợng nghiên cứu chính của ngời giải tích vô hạn chiều.
Định nghĩa 5: Không gian Euclide đầy đủ (vô hạn chiều) đợc gọi là không gian Hilbert.
Hệ quả: ánh xạ liên tục từ không gian nén vào R là bị chặn và đạt các giá trị lớn nhất và nhá nhÊt. Định lý 3: ánh xạ liên tục f từ không gian nén X vào không gian metric Y tuỳ ý luôn là liên tục đều. Nhận xét: Hiển nhiên từ tính liên tục đều luôn suy ra tính liên tục.
Trong trờng hợp N nó hoàn toàn định chuẩn với mỗi x thì ║x║ thì n đợc gọi là chuẩn hay. Nếu chuẩn xác định của tích vô hớng thì nó đựơc gọi là chuẩn Enclicle. Sau đây là vài ví dụ tiêu biểu về không gian định chuẩn “ phi Enclile”.
Định nghĩa 2: Không gian định chuẩn đầy đủ( nh trờng hợp riêng của không gian metric). Định lý 1: Bao đầy đủ β của không gian định chuẩn N( không đầy đủ) là không gian Banach và là không gian con tuyến của B. Vấn đề chính là ở chỗ ta phải chứng minh rằng β cũng là không gian định chuẩn( vì sự mở rộng thành bao đầy đủ là thủ tục thuần tuý Metric, và ta phải chỉ ra rằng sự mở rộng quan hên giữa chuẩn và các phép tính đại số).
Cần nhớ rằng mỗi phần tử của b đều là giới hạn của một day điểm thuộc N. Ta chứng minh rằngkhi đó B vẫn là không gian tuyến tính chẳng hạn trong B có phần tử 0 đã có sẵn trong n. Các điều kiện khác đổi mới không gian tuyến tính cũng đựoc kiẻm tra đơn giản nh vậy.
Cũng dể thấy ràng bao đầy đủ của không gian Enclidcc là không gian Hitbôit. Bài tập: chứng minh rằng trong không gian định chuẩn vô hạn chiều, các hình cầu đều không hoàn toàn bị chặn. Khi đa ra khái niệm giới hạn hoặc khái niệm về tính đóng mở vào không gian, mới quan tâm chủ yếu của ta sẽ tập trung vào các ánh xạ liên tục, mà ở đây là phiếm hàm tuyến tính liên tục(PHTTLT).
Tức là fn có giới hạn là hàm tính đồng nhất bằng 0 ( Nếu xét tích vô hớng. 2 .Chuẩn của phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian liên hợp:. Nếu f là phiếm hàm tuyên tính liên tục trên không gian định chuẩn N thì tập hợp A các số. Chứng minh rằng f là loại infimn cảu tạp hợp các số C sao cho :. Tiếp theo, xét tâp hợp N gồm mọi PHTTLT trên không gian định chuẩn N. Trên N ta định nghĩa phép cộng và phép nhân PHTTLT với một số thực hoặc phía) nh sau:. Khi đó N* sao trở thành không gian tuyến tính. Dễ thấy rằng hàm biến khác thành f là hàm định chuẩn. ) là hàm luôn định chuẩn. Định lý 3: Nếu N là không gian định chuẩn (không đầy đủ) và N là bao đầy đủ của nó thì. Ngợc lại, nếu f ∈ N8 thì rõ ràng phiếm hàm thu hẹp của f lên N vẫn là phiếm hàm tuyến tính liên tục.
Vì việc thác triển hay thu hẹp không ảnh hởng đến chuẩn, nên N và N* , với t cách không gian định chuẩn là một không gian liên hợp của không gian Banach B nói chung không đẳng cự với B. Tuy nhiên, về mặt khoảng cách (hay chuẩn) thì ta không thể coi hai không gian này là một. Nhận xét: Có một sự liên quan hết sức thú vị giữa chuẩn trong Rn và trong Rn* nh sau: với x.
Ta quay lại trờng hợp đặc biệt: Xét các PHTTLT trên không gian Euclide nói chung và không gian Hilbert nói riêng. Một trong những kết quả quan trọng và thú vị sẽ là: không gian liên hợp của không gian Hilbert có thể coi là chính nó.
Xét tập hợp L( M, N) gồm mọi toán tử tuyến tính liên tục (TTTTLT) từ không gian định chuẩn M vào không gian định chuẩn N. Cũng dễ thấy rằng nói chung không gian L( m, N) phải là không gian Enclide, kể cả khi m, N là các không gian Enclide. Do đó Ê(M) còn là một vành.Vành này không giao toán, nhng có một đơn vị là toán tử.
Trong không gian Rn, mỗi toán tử đợc thẻ hiện bởi ma trận, nếu y = Ax với. Xác đinh dạng của ma trận phép liên hợp đối với các toán tử trong Cn.
Chứng minh: Ta sẽ chứng minh rằng A khả nghịch và b cũng là toán tử M vào N sao cho. Một công thức khai triển quan trọng ký hiệu I là toán tử đơn vị ( hay toán tử đồng nhất) trong không gian banach N, A là toán tử toảh mản điều kiện A <1. Nhận xét: Việc (I – A) -1 tồn tại và liên tục cũng là hệ quả cảu địh lý 2 Trờng hợp toán tử là đơn cấu nhng không phải từ đẳng thức.
Đối với không gian hữu hạn chiều, toán tử đơn cấu ( hay ánh xạ tự đơn câú) luôn là toàn cáu nên cũng là tự đẳng cấu. Đối với không gian vô hạn chiều thì không phải nh vậy: Có những toán tử tự đơn cấu mà không phải tự đẳng cấu( ban đọc hãy tự tìm đến ví dụ). Nh vậy, có thể xảy ra trờng hợp A là đẳng thức từ n vào không gian con thực tai N1 của nó.
Trong trờng hợp này A-1 vẫn có nghĩa ( nhng đơng nhiên chỉ xác định trên N-1) và ta nói A khả năng nghịchoànong hoàn toàn).
Tập hợp δ(A) \ pδ(A) gọi là phổ biến liên tục (khác φ) chính là đặc trng của không gian vô hạn chiều. Từ định nghĩa suy ra phổ liên tục là tập hợp những số λ mà A- λI khả nghịch không hoàn toàn. Nh vạy một số thuận phổ liên có thể coi là “ trung gian” giữa trị riêng và số chính quy.
Tập hợp các số chính quy là mở( trong R) do đó, phổ cảu toán tử la tập hợp đóng. Chứng minh răng nếu A là toán tử Hermite mọi trị riêng của no nếu có đều là thực hiện. Có thể kết luận rằng phổ của A cũng chỉ chứa các số thực hay không?.
2, Chứng minh rằng hai vecto riêng ứng với hai trị riêng khác nhau toán tử hermite không gian Hilbert là trực giao với nhau.
Trong R thì toán tử La đợc xác định bởi một số La: ảnh của x - a qua toán tử tuyến tính La chính là tich (x-a). Nh vậy, tính khả thi và đạo hàm ở đây đơn giản là trùng với các khái niệm đã định nghĩa trong giải tích cổ điển!. Bây giờ ta xét trờng hợp tổng quát hơn một chút: f là ánh xạ từ tập mở O trong Rn vào Rm.
Bây giờ ta xác lập vài sự kiện đơn giản liên quan đến đạo hàm l. Đạo hàm của toán tử tuyến tính tại mọi điểm a đều tính toán từ đó. Mặt khác, việc vế trái là giá trị của một ánh xạ tại x, còn vế phải là bản thân ánh xạ (nh một quy luật!) cũng không có gì vô lý, vì f' có giá trị tại x là một ánh xạ (tuyến tÝnh)!.
Ta nói: đạo hàm của toán tử tuyến tính f tại mọi điểm a đều chính là f. Ta hãy xét một ví dụ tìm đạo hàm trong không gian vô hạn chiều. Chính giá trị Φ'(x) mới là phiếm hàm tuyến tính (trong khi Φ(x)là số thực không âm!).
Cho f và g là hai hàm cùng xác định trên tập mở A trong không gian định chuẩn M và cùng nhận giá trị trong không gian định chuẩn N. Cho f và g là hai hàm cùng xác định trên tập mở A trong M và nhận giá trị tơng ứng trong các không gian định chuẩn N và P.