Một số vấn đề về phép biến đổi trong không gian vectơ giả Euclid

Định nghĩa

(Tính chất này ta công nhận, không chứng minh). Khi đó, nếu có xr. Cho P là không gian vectơ con không suy biến của Vnk. Khi đó, với xr. Vì P là không gian con của Vnk nên P là một không gian vectơ giả Euclide. Do đó P không suy biến. Từ đó ta có P⊥ không suy biến. a) Mọi không gian vectơ con P của Vnk đều có thể biểu diễn thành tổng trực tiếp P. Khi đó P0 là không gian vectơ con đẳng hướng. Vì P0 là không gian vectơ con của Vnk nên tồn tại không gian vectơ con N của Vnk sao cho: P0⊕N = Vnk. Xét vectơ xr0. Vậy P1 không suy biến và ta có điều phải chứng minh. b) Gọi P+ là không gian vectơ con dương có số chiều lớn nhất của P. Hệ quả 1 : Mọi không gian vectơ con P của Vnk đều có thể biểu diễn được dưới dạng P = P+⊕P-⊕P0, trong đó P+ là không gian vectơ con dương, P- là không gian vectơ con âm và P0 là không gian vectơ con đẳng hướng.

Sự liên hệ giữa dạng song tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính trong không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k

Dễ dàng nhận thấy S là một dạng song tuyến tính và S xác định duy nhất (do tính duy nhất của ϕ và tích vô hướng xác định trên Vnk). Ta tìm ma trận C của dạng song tuyến tính liên hợp S đối với cơ sở trực chuẩn { }eri 1,n.

Định lý

Hệ quả : Phép biến đổi đồng dạng biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực giao.

Định lý

∈Vnk, nên theo định lý ở trên ta suy ra ϕ là phép biến đổi đồng dạng. •Vì phép đồng nhất id của Vnk là phép biến đổi trực giao nên id là phép biến đổi đồng dạng (theo nhận xét ở phần định nghĩa). •Ta chứng minh tích của hai phép biến đổi đồng dạng là một phép biến đổi đồng dạng có hệ số bằng tích các hệ số đồng dạng. Gọi ϕ, ψ là các phép biến đổi đồng dạng của Vnk lần lượt có hệ số đồng dạng là p , q. Do đó phép biến đổi tuyến tính ϕ ψo thỏa mãn tồn tại số pq > 0 sao cho:. Vậy theo định nghĩa ta suy ra ϕ ψo là phép biến đổi đồng dạng hệ số pq. •Ta chứng minh nghịch đảo của phép biến đổi đồng dạng hệ số p là phép biến đổi. Gọi ϕ là phép biến đổi đồng dạng của Vnk có hệ số đồng dạng là p. Do đó phép biến đổi tuyến tính ngược ϕ−1 thỏa mãn tồn tại số 1. Vậy theo định nghĩa ta suy ra ϕ−1 là phép biến đổi đồng dạng hệ số 1 p. Từ đó tập hợp các phép biến đổi đồng dạng lập thành một nhóm. Thật vậy: Điều này suy ra ngay từ công thức tính góc giữa hai vectơ và hai định lý ở trên. 1.6.4.3.Mọi phép biến đổi đồng dạng đều có thể phân tích thành tích của một phép vị tự và một phép biến đổi trực giao hoặc tích của một phép biến đổi trực giao và một phép vị tự. Cho ϕ là phép biến đổi đồng dạng hệ số p của Vnk. là một cơ sở trực chuẩn của Vnk. pϕ r là cơ sở trực chuẩn của Vnk. Từ đó ta có thể chứng minh tính chất này dựa vào hai sơ đồ sau:. 1.6.4.4.Phép biến đổi tuyến tính ϕ:Vnk →Vnk là phép biến đổi đồng dạng khi và chỉ khi nó bảo toàn tính trực giao giữa các vectơ. Cho :ϕ Vnk →Vnk là phép biến đổi đồng dạng. Cho đẳng cấu :ϕ Vnk →Vnk bảo toàn tính trực giao giữa các vectơ, tức là: nếu. là một cơ sở trực chuẩn của Vnk. là một cơ sở trực chuẩn của Vnk). Định lý : Phép biến đổi tuyến tính :ϕ Vnk →Vnk là phép biến đổi đồng dạng hệ số p khi và chỉ khi ma trận của ϕ đối với một cơ sở trực chuẩn là p A, trong đó A ma trận k – trực giao.

∈Vnk, nên theo định lý ở trên ta suy ra ϕ là phép biến đổi đồng dạng.

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.Định nghĩa

Khoảng cách giữa hai điểm M, N của Enk hay còn gọi là độ dài đoạn thẳng MN là module của vectơ MNuuuur.

CÁC PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE 1. Định nghĩa m – phẳng giả Euclide chỉ số p

Vì P và Q là hai phẳng giả Euclide bù trực giao với nhau nên chúng có không quá một điểm chung và Pr∩ =Q {0}r r. Giả sử P và S là hai cái phẳng cùng qua điểm M và bù trực giao với phẳng Q.

PHÉP DỜI 1.Định nghĩa

Phép afin f : Enk → Enk là phép dời khi và chỉ khi f biến mục tiêu trực chuẩn thành mục tiêu trực chuẩn. Vì phép afin f có nền là phép biến đổi trực giao nên theo định nghĩa ta suy ra f là phép dời. Vậy tập hợp các phép dời lập thành một nhóm con của nhóm các phép biến đổi afin của Enk.

Thật vậy: Vì phép dời là một phép afin nên nó biến cái phẳng thành cái phẳng có cùng số chiều, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến siêu phẳng thành siêu phẳng. Ngược lại, mỗi một phương trình có dạng như trên đều là phương trình của một phép dời trong Enk đối với một mục tiêu trực chuẩn đã chọn. * Chứng minh: Định lý này được suy ra ngay từ phương trình của phép biến đổi trực giao.

PHÉP ĐỒNG DẠNG 1.Định nghĩa

• Tính chất

Hệ quả : Phép đồng dạng không làm thay đổi tỷ số độ dài của hai đoạn thẳng tùy ý. Vậy tập hợp các phép đồng dạng lập thành một nhóm con của nhóm các phép biến đổi afin của Enk. Thật vậy: Vì phép đồng dạng là một phép afin nên nó biến cái phẳng thành cái phẳng có cùng số chiều, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến siêu phẳng thành siêu phẳng.

•Phép biến đổi đồng dạng có thể phân tích thành tích của một phép vị tự và một phép biến đổi trực giao. Ngược lại, mỗi một phương trình có dạng như trên đều là phương trình của một phép đồng dạng trong Enk đối với một mục tiêu trực chuẩn đã chọn. * Chứng minh: Định lý này được suy ra ngay từ phương trình của phép biến đổi đồng dạng.

SIÊU MẶT BẬC HAI – SIÊU CẦU TRONG KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE 1.Siêu mặt bậc hai

• Siêu cầu 1.Định nghĩa

Xét tập hợp tất cả các đường thẳng đẳng hướng qua I (một đường thẳng được gọi là đường thẳng đẳng hướng nếu phương của nó được sinh bởi một vectơ đẳng hướng). Đây là một phương trình bậc hai nên tập hợp tất cả các đường thẳng đẳng hướng qua I là một siêu nón bậc hai đỉnh I. Tập hợp tất cà các điểm M sao cho d(I,M) = R, với R là một số thực không âm hoặc số thuần ảo cho trước, được gọi là một siêu cầu tâm I bán kính R trong Enk.

Bây giờ, ta xét vấn đề ngược lại: Một phương trình có các đặc điểm trên có phải là phương trình của một siêu cầu (đối với một mục tiêu trực chuẩn đã chọn) hay không?. Do đó khoảng cách từ điểm M thỏa mãn phương trình (7) đến điểm I là một số không đổi. - Nếu R là số thuần ảo thì mặt cầu trong E32 chính là một hyperboloid hai tầng.

MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE 1.Xây dựng mô hình

Định lý : Mỗi siêu mặt bậc hai trong không gian giả Euclide Enk là một siêu cầu khi và chỉ khi siêu mặt bậc hai sinh ra nó (tức là siêu mặt bậc hai trong Pn) cắt siêu phẳng vô tận theo cái tuyệt đối T*. Định lý : Phép afin của Enk là phép đồng dạng khi và chỉ khi nó được sinh ra bởi phép biến đổi xạ ảnh trên siêu phẳng vô tận biến cái tuyệt đối T* thành chính nó. Nếu trong Pn ta chọn siêu phẳng Pn-1 làm siêu phẳng vô tận thì tập hợp các phép biến đổi xạ ảnh bảo tồn Pn-1 làm thành một nhóm con của Kn.

Ta gọi Dnk là tập hợp tất cả các phép biến đổi xạ ảnh của Pn giữ nguyên Pn-1 và giữ nguyên cái tuyệt đối T* thì Dnk là một nhóm con của nhóm Kn. Mỗi phép biến đổi của nhóm Dnk sẽ sinh ra một phép đồng dạng của Enk (theo chứng minh ở trên) nên ta có thể xem Dnk là nhóm tất cả các phép đồng dạng của Enk. Từ định nghĩa trên và từ các tính chất của phép đồng dạng, ta suy ra khái niệm trực giao của hai đường thẳng, tỷ số độ dài của hai đoạn thẳng, siêu mặt bậc hai,… là những bất biến của nhóm Dnk và do đó là đối tượng nghiên cứu của hình học giả Euclide.