MỤC LỤC
Khi đó phép biến đổi tích phân Fourier ( F ) đối. với hàm / được định nghĩa như sau. Phép biến đổi này có phép biến đổi ngược là. Khi đó phép biến đổi tích phân Fourier sine { F s ) của hàm / là một hàm được xác định như sau. Khi đó phép biến đổi tích phân Fourier cosine ( F c ) của hàm / là một hàm được xác định như sau. Khi đó ảnh của hàm / qua phép biến đổi Laplace (L) là hàm F được định nghĩa bởi tích phân sau. Khi đó F{s) được gọi là phép biến đổi Laplace (L) của hàm fit). Phép biến đổi này có phép biến đổi ngược L~l là. Phép biến đổi này có phép biến đổi ngược [ Fs 1) là.
Phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev (K). Khi đó phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev [ K ) của hàm / là một hàm được xác định như sau.
Sau đây chúng tôi xin trình bày các ví dụ về tích chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine (Fc), Fourier sine {Fs), Laplace (L). Các tích chập này sẽ được sử dụng để giải phương trình và hệ phương hình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel ở chương II và chương III của luận văn. định bởi công thức. Tích chập của hai hàm / và g với hàm trọng 7 l y ) —sin y đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine được xác định như sau. Trong phần này chúng tôi trình bày tốm tắt sơ đồ xây dựng tích chập suy rộng và tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân K ị , I = 1,2,3. Sự khỏc biệt rừ rệt nhất giữa tớch chập và tớch chập suy rộng là trong đẳng thức nhõn tử húa của tớch chập suy rộng (1.21) có các phép biến đổi tích phân khác nhau KI, K2, tham gia còn ở tích chập ở đẳng thức nhân tử hóa (1.10) chỉ có duy nhất một phép biến đổi tích phân K tham gia.
Sau đây chúng tôi xin hình bày các ví dụ về tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine ( Fc) , Fourier sine ( Fs) , Laplace [ L ). Các tích chập này sẽ được sử dụng để giải phương trình và hệ phương hình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel ở chương II và chương III của luận văn. Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine { Fs) ; Fourier cosine { Fc) của hai hàm / và g được xác định như sau. Tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine (Fc); Fourier sine [ F s) của hai hàm / và g được xác định như sau. Trong các đẳng thức nhân tử hóa 1.23-1.31 của các tích chập suy rộng đều có từ hai phép biến đổi tích phân khác nhau tham gia.
Các tích chập, tích chập suy rộng được trình bày ở các phần ví dụ đều được sử dụng cho các chương sau của luận văn.
Đa chập
Để giải phương trình tích phân (2.1) ngoài việc chọn nhân Toeplitz- Hankel k ]. Chúng tôi còn sử dụng tích chập, tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Fourier cosine [ F c ) và Fourier sine { F s) để giải.Các. Định lý sau đây chỉ ra sự tồn hên không gian Li(M+) cũng như công thức nghiệm của phương hình tích phân (2.1). Khi đó phương trình tích phân với nhân Toepỉitz-Hankeỉ (2.1) có nghiệm duy nhất trong Lị (K-I-) và có dạng như sau.
Bây giờ chúng ta xét bài toán mà ẩn hàm / chứa trong dấu tích phân và nằm.
Định lý sau đây chỉ ra sự tồn tại trên không gian Li (M-I-) cũng như công thức nghiệm của phương trình tích phân (2.10).
Để giải phương trình tích phân (2.19), ngoài việc chọn nhân Toeplitz-Hankel k ị. Chúng tôi còn sử dụng tích chập, tích chập suy rộng và đachập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine [ F c ) và Fourier sine F s ) để giải. Định lý sau đây chỉ ra sự tồn trên không gian L { M+) cũng như công thức nghiệm của phương hình tích phân (2.19). Nhờ đó đã cho ta biểu thức nghiệm và sự tồn tại nghiệm trong không gian L1 ( R _ ).
Ngoài ra còn sử dụng Định lý Định lý Wiener-Levy để chỉ ra sự tồn tại của hàm l e L i (M-I-). Định lý sau đây chỉ ra sự tồn hên không gian Li(M+) cũng như công thức nghiệm của hệ phương trình tích phân (3.1).
Để giải hệ phương hình tích phân (3.12) ngoài việc chọn các nhân Toeplitz- Hankel như trên. Chúng tôi còn sử dụng các tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine { F c ) Fourier sine [ F s ) để giải. Định lý sau đây chỉ ra sự tồn trên không gian L { K-I-) cũng như công thức nghiệm của hệ phương trình tích phân (3.12).
Để giải hệ phương hình tích phân (3.17) ngoài việc chọn các nhân Toeplitz- Hankel như trên. Chúng tôi còn sử dụng các tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine (Fc) và Fourier sine [ F s ) để giải.Các tích chập (. Định lý sau đây chỉ ra sự tồn hên không gian L { K-I-) cũng như công thức nghiệm của hệ phương trình tích phân (3.17).
Tương tự ta có. Định lí đã được chứng minh xong. Định lý sau đây chỉ ra sự tồn trên không gian L{K-I-) cũng như công thức nghiệm của hệ phương trình tích phân (3.22). Nhận xét: Như vậy các hệ phương trình tích phân nói trên giải được nghiệm đũng là nhờ công cụ tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đã được nghiên cứu trước đó.