MỤC LỤC
Tìm tập hợp hình chiếu của S xuống mp(MAB). a) Chứng minh hai mặt phẳng (SBA) và (SBC) vuông góc. b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SAC). c) Tính thể tích khối chóp SABCM. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích với SABCM. Tìm quĩ tích hình chiếu của I xuống MC khi M di động trên đoạn AD. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc a và hợp với mặt bên SAB một góc b. b) Tính thể tích khối chóp. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Cạnh bên SA =2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp. Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp S.ABCD. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là ABCD hình thang vuông tại A và D, AB. a) Chứng minh DSBC vuông. Tính diện tích DSBC. b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Khoảng cách từ AA¢ đến mặt bên BCC¢B¢ bằng a, mp(ABC¢) cách C một khoảng bằng b và hợp với đáy góc a. b) Tớnh theồ tớch laờng truù. Định a để thể tích lăng trụ nhỏ nhất. Cho lăng trụ đều ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh đáy bằng a. Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ. Cho lăng trụ tứ giác đều, có cạnh bên là h. Từ một đỉnh vẽ 2 đường chéo của 2 mặt bên kề nhau. Tính diện tích xung quanh hình lăng truù. Cho lăng trụ tam giác đều ABc.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a. b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ. a) Xác định đường cao của lăng trụ vẽ từ A¢. Chứng minh mặt bên BCC¢B¢ là hình chữ nhật. c) Tính thể tích và diện tích toàn phần theo a với giá trị b tìm được. Cho hình lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt bên ABB¢A¢ là hình thoi cạnh a, nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. b) Tớnh theồ tớch laờng truù.
Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và mọi đường sinh của hình trụ Hình nón Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn. – Xác định trục D của đáy (D là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm. đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp Hình đa diện Tất cả các đỉnh của hình đa diện.
Cho hình chóp S.ABC có SA ^ (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Gọi AH, AK lần lượt là các đường cao của các tam giác SAB và SAC. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó. b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng 2 cm. Biết rằng thể tích tứ diện OO¢AB bằng 8 cm3. Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A sao cho AO¢ hợp với mặt phẳng đáy một góc 600. Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O¢ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO¢AB. Người ta kẻ hai bán kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc 300. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’. của khối trụ đó. Hãy tính diện tích của thiết diện. Một thiết diện song song với trục là hình vuông. Tính khoảng cách từ trục đến mặt phẳng thieỏt dieọn. a) Chứng minh góc giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi. b) Chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một hình trụ tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay được tạo nên. b) Tính thể tích của khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ tròn xoay đó. Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao bằng R 3; A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 300. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h. a) Tính độ dài đoạn thẳng AB’. c) Tính khoảng cách giữa AB’ và OO’. Một khối trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính R và có đường cao 2. Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn tâm O’ sao cho OA vuông góc với O’B. a) Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO’ là những tam giác vuông. Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy (C). Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, góc IOM bằng 300 và cạnh IM = a. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay tạo thành. b) Tính thể tích của khối nón tròn xoay tạo thành. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuoâng baèng a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón. b) Tính thể tích của khối nón tương ứng. Tính diện tích của thiết diện này. Tớnh độ dài đường sinh của hình nón theo a. Thiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a. Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón đã cho. Cho hình lập phương ABCD. Tính diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’. Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình và thể tích của khối nón. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh bên bằng a và góc giữa các mặt bên và mặt đáy là a. Một hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC, Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và a. Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuoâng ABCD. Một hình nón có độ dài đường sinh bằng 1 và góc giữa đường sinh và đáy là a. a) Tình diện tích xung quanh và thể tích của khối nón. tích của thiết diện qua I và vuông góc với trục. Cho một tứ diện đều có cạnh là a. a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tương ứng. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600. a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tương ứng. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, góc giữa mặt bên và đáy là a. a) Tính bán kính các mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp. b) Tính giá trị của tana để các mặt cầu này có tâm trùng nhau.
M là một điểm thay đổi trờn cạnh AB. Đặt ACMã = a, hạ SH vuụng gúc với đường thẳng CM. Suy ra giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHC. Tính độ dài SK, AK và thể tích tứ diện SAKI. HD: a) Quĩ tích điểm H là một cung tròn. Gọi I là trung điểm của BC. Tính độ dài AH theo a, a. b) K là một điểm thay đổi trên đoạn AI, đặt AK. Tứ giác MNPQ là hình gì? Tính diện tích tứ giác này. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. a) Chứng minh AB ^ CD và IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD. (A'BM) cắt đường chéo AC' của hình hộp tại điểm H. a) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cạnh AD thì đường thẳng MH cắt đường thẳng A'B tại một điểm cố định. b) Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện tạo bởi mặt phẳng A'BM cắt hình hộp trong trường hợp M là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh rằng mặt phẳng A'BM vuông góc với AC' và điểm H là trực tâm của tam giác A'BM. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. I là trung điểm AB. a) Chứng minh rằng tam giác SAD là tam giác vuông. b) Tính thể tích khối chóp S.ACD rồi suy ra khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD). a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và B’C.
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz. Tọa độ của vectơ:. ã Toạ độ trọng tõm G của tứ diện ABCD:. Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số. ã Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a br r, và cr. ã Diện tớch hỡnh bỡnh hành ABCD: SYABCD = ởộuuur uuurAB AD, ựỷ. SD = ởộuuur uuurAB AC, ựỷ. – Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng. – Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương. Phương trình mặt cầu:. VẤN ĐỀ 1: Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm – Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian. – Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian. Viết tọa độ của các vectơ sau đây:. Viết dưới dạng xi yj zkr r+ + r mỗi vectơ sau đây:. Tìm toạ độ của các vectơ ur với:. Tìm tọa độ của vectơxr, biết rằng:. b) Tìm toạ độ của vectơ cr, biết rằng a và cr r ngược hướng và cr =2ar. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) tại điểm M. ã Tỡm tọa độ trọng tõm G của tứ diện ABCD. ã Tớnh gúc tạo bởi cỏc cạnh đối diện của tứ diện ABCD. ã Tớnh thể tớch của khối tứ diện ABCD. ã Tớnh diện tớch tam giỏc BCD, từ đú suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ A. ã Tỡm toạ độ cỏc đỉnh cũn lại. ã Tớnh thể tớch khối hộp. b) Chứng minh S.ABC là một hình chóp đều. c) Xác định toạ độ chân đường cao H của hình chóp. Suy ra độ dài đường cao SH. Chứng minh SMNP là tứ diện đều. Gọi S¢ là điểm đối xứng của H qua S. Chứng minh S¢ABC là tứ diện đều. Cho hình hộp chữ nhật OABC.DEFG. Gọi I là tâm của hình hộp. a) Phân tích các vectơ OI AGuur uuur,. theo các vectơ OA OC ODuuur uuur uuur, ,. b) Phaân tích vectô BIuur. theo các vectơ FE FG FIuuur uuur uur, ,. Cho hình lập phương ABCD.EFGH. a) Phaân tích vectô uuurAE. theo các vectơ uuur uuur uuurAC AF AH, ,. b) Phaân tích vectô uuurAG.
Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.
Chỳ ý: ã Nếu trong phương trỡnh của (a) khụng chứa ẩn nào thỡ (a) song song hoặc chứa trục tương ứng. Để lập phương trình mặt phẳng (a) ta cần xác định một điểm thuộc (a) và một VTPT của nó.
Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A¢C¢ tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN. a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A¢C và MN. b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A¢C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc a, biết 1. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O¢ lấy điểm B sao cho AB = 2a.
Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB). b) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng D sao cho MA2+MB2 nhỏ nhất.