MỤC LỤC
Số nguyên tố là số nguyên lớn hơn 1, không chia hết cho số nguyên nào ngoài 1 và chính nó. Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được một cách duy nhất thành tích các thừa số nguyên tố, trong đó các thừa số được viết theo thứ tự không giảm. Do định nghĩa của n, các số a và b phân tích đưa thành tích của các số nguyên tố, nghĩa là n cũng phân tích được.
Giản ước những số nguyên tố bằng nhau có mặt trong hai vế, ta được đẳng thức. Như vậy, vế trái chia hết cho qj1 và do đó phải tồn tại một thừa số của tích chia hết cho qj1 : điều đó vô lý, vì đây là tích của các số nguyên tố khác với qj1. Ta nói, hai số nguyên a và b là đồng dư với nhau modulo m nếu m chia hết hiệu a−b.
Ngoài việc sử dụng hệ quả của Định lý Euler để tính toán người ta còn thường hay sử dụng nhất là phương phỏp bỡnh phương liờn tiếp sau đõy. Ta có thể mở rộng khái niệm ký hiệu trên cho trường hợp p không phải là nguyên tố, nhưng chỉ xét những số a trong tập thặng dư rút gọn của p.
Các phân số liên tục định nghĩa như trên với các số ai nguyên gọi là các phân số liên tục đơn giản. Khi không đòi hỏi ai là các số nguyên, mà có thể là số thực tuỳ ý, ta dùng cách viết. Nhân đẳng thức thứ nhất với qk, đẳng thức thứ hai với bk và trừ hai đẳng thức thứ hai cho đẳng thức thứ nhất, ta được.
Nhận xét: Hệ quả này là cơ sở cho phân tích Fermat suy rộng nhờ phân số liên tục sẽ nói trong phần thám mã ở chương II.
Khi nhận được văn bản mật, ta giải mã bằng cách biến nó thành dạng chữ. Chú ý: Khi cộng hoặc trừ đi 3 đưa ta vượt quá giới hạn của bảng tương ứng, ta thay số đó bằng thặng dư dương bé nhất modulo số các phần tử của bảng tương ứng giữa chữ và số (Trong bảng chữ cái tiếng Anh thì số này là 26) Sau đây ta xét ví dụ cụ thể với các chữ cái trong tiếng Việt. Trước hết nhằm nâng cao tính bảo mật, ta tách thông báo thành nhóm 5 chữ.
Khi bắt được văn bản mật, người ta có thể dựa vào tần suất xuất hiện của chữ cái để đoán ra khoá giải mã. Mặt khác, chỉ có 29 chữ cái khác nhau để chọn khoá cho loại mã nói trên. Với công nghệ máy tính như hiện nay ta dễ dàng tìm ra văn bản gốc.
Như vậy, mã Ceasar cho thấy tính bảo mật không cao, với yêu cầu về độ bảo mật cao hơn, người ta dùng những hệ mật mã. Hệ mã này không mã hoá từng chữ cái của văn bản, mà mã hóa từng khối chữ cái. Với mỗi phép khối hai chữ ta chọn một ma trận cấp hai làm chìa khóa của mã.
Một cách tổng quát ta có thể lập các mã khối n chữ cái, ta chọn một ma trận cấp n làm chìa khoá và tính. Để giải mã ta cần giải hệ phương trình đồng dư nói trên để tìm P1P2 nhờ. Việc sử dụng mã khối đã nâng cao rất nhiều tính bảo mật, có 29n khối tiếng Việt, nhưng nếu n nhỏ vẫn có khả năng khám phá ra khóa của mã nhờ máy tính hiện đại qua việc nghiên cứu tần suất xuất hiện của các khối chữ.
Tuy nhiên với độ dài lớn người ta vẫn có thể giải mã nhờ công cụ thám mã hiện đại.
Tìm nhiều số bi sao cho b2i (mod n)là tích các luỹ thừa nguyên tố nhỏ, đồng thời tích một số b2i nào đó. Một số nguyên b được gọi là B− số (Đối với n đã cho) nếu thặng dư tuyệt đối bé nhất b2 (mod n) có thể viết như. Nếu tại bước nào đó ta không phân tích được hoàn toàn (tức là trong phân tích có số nguyên tố nằm ngoài cơ sở ) thì cứ việc bỏ qua và thực hiện bước tiếp theo.
Khi nhận thấy có đủ nhiều số được phân tích ta chọn một tập con các số có tích là một số chính phương (Tập con lấy. Nếu đúng thì quay về bước 1, mở rộng biểu đồ và tìm tập con khác. Xuất phát từ ý tưởng của phương pháp Fecmat suy dùng cơ sở là với n nguyên dương, cần tìm hai số nguyênbvàcsao cho b2 ≡ c2 (mod n).
Do đó, nếu tìm được Qk+1 với chỉ số chẵn và là một số chính phương c2 thì. Nên khả năng sẽ có nhiều bi sao cho b2i (mod n) là tích các luỹ thừa nguyên tố nhỏ, từ đó ta có thuật toán:. được tham gia để bao những số âm). Khi nhận thấy có đủ nhiều số được phân tích ta chọn một tập con các số có tích là một số chính phương (tập lấy được là tập lấy theo bảng nhị phân có tổng từng cột số nhị phân là bằng 0 theo (mod 2)).
Giả sử ta cần phân tích một số nguyên n và p là một ước nguyên tố (chưa biết) của n. Chọn một số k sao cho nó chia hết cho tất cả hoặc hầu hết các số nguyên nhỏ hơn một số B nào đó. Giả sử k chia hết cho mọi số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng B, và p là ước nguyên tố của n sao cho (p− 1) là tích các luỹ thừa nguyên tố bé, mỗi thừa số đều nhỏ hơn hoặc bằng B.
Với mỗi ước p(của n) cố định, nhóm (Z/pZ)∗ cũng cố định, nên nếu tất cả các nhóm đó (khi p chạy hết các ước của n) đều có bậc chia hết cho một số nguyên tố lớn, hoặc luỹ thừa với số mũ lớn của một số nguyên tố, thì (p−1) phương pháp của Pollard không hiệu quả. Khi đó chỉ có thể tìm được ước nguyên tố của n theo phương pháp trên, nếu chọn B ≥ 173 (quá lớn đối với một số cỡ như n).