Ứng dụng cặp phạm trù nội dung và hình thức trong dạy học giải bài toán ở trường phổ thông
MỤC LỤC
Lí luận về “Bài toán”
Một số quan niệm về “Bài toán”
Theo nghĩa hẹp hơn, bài toán là vấn đề nào đó của khoa học hay cuộc sống cần được giải quyết bằng kiến thức và phương pháp Toán học. Trong khuôn khổ khoá luận này, chúng tôi chọn quan niệm về Bài toán theo GS Nguyễn Bá Kim (trong [15]), nhưng chỉ bó hẹp trong nội bộ môn Toán ở trường Phổ thông.
Chức năng của bài toán
Sau đây chúng tôi phân tích kĩ hơn về một số chức năng chủ yếu của bài toán trong dạy học toán (Theo [23]):. Chức năng gợi động cơ:. Gợi động cơ là làm cho học sinh có ý thức về ý nghĩa của những hoạt động và của đối tượng hoạt động. a) Gợi độmg cơ cho việc tiến hành nghiên cứu đối tượng mới. Nhưng Zenon (thế kỉ III trước công nguyên) đã đưa ra nghịch lí là Thần Achilles không đuổi kịp con rùa. Nhà triết học cổ Hy Lạp này đó đưa ra lí luận như sau: Giả sử ban đầu Achilles ở vị trí A và con rùa ở vị trí R. Achilles và con rùa xuất phát cùng một lúc. Khi Achilles chạy đến R thì trong khoảng thời gian đó con rùa chạy đến vị trí R1. Cứ như thế, mãi mãi con rùa luôn ở trước Achilles một đoạn x > 0, tức là Achilles không đuổi kịp rùa. Để đi hết 1 km thì Achilles mất. Trong khoảng thời gian này con rùa đi được 1. Khoảng cách bây. trong khoảng thời gian này con rùa đi được 1. Khoảng cách bây giờ là 1. Như vậy, tổng thời gian để Achilles đuổi kịp rùa là:. Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là 1. Bài toán này sẽ không giải quyết được nếu không có phép tính giới hạn. b) Gợi động cơ nảy sinh khái niệm mới. Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao đưa ra bài toán tìm vận tốc tức thời của một chuyển động thẳng đặc biệt là rơi tự do (đã được học ở chương trình vật lí 10) còn sách giáo khoa ban cơ bản đưa ra hai bài toán: vận tốc tức thời của chuyển động thẳng và cường độ tức thời của dòng điện. Dù bằng cách nào hay đưa ra mấy bài toán thì giáo viên cần phải nhấn mạnh rằng, để giải quyết được những bài toán trên thì cần phải tìm giới hạn :. Từ đó phát biểu định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm. Cỏch hỡnh thành khỏi niệm đạo hàm theo quy trỡnh trờn cho phộp làm rừ ý nghĩa của khái niệm đạo hàm: Sự ra đời của khái niệm này không phải là ngẫu nhiên mà xuất phát từ nhu cầu giải quyết các vấn đề nãy sinh không chỉ trong nội bộ toán học mà còn trong các khoa học khác. Chức năng huy động kiến thức cũ:. Quá trình hình thành kiến thức mới luôn đòi hỏi vận dụng các kiến thức cũ. Tuy nhiên không phải lúc nào học sinh cũng nhớ một cách đầy đủ các kiến thức cũ này hoặc có nhớ nhưng đôi khi lại không biết vận dụng. Để đảm bảo rằng học sinh đó sẵn sàng và dễ dàng huy động các kiến thức cần thiết cho dạy học nội dung mới thì hoạt động giải các bài toán là một trong các cách thức tốt nhất để học sinh tìm lại được các kiến thức và kỹ năng vì nó cho phép phát huy vai trò chủ động và tích cực của học sinh. Là phương tiện đưa vào kiến thức mới. Ở cấp độ thấp hơn, các bài toán cũng có thể được sử dụng như phương tiện đưa vào kiến thức mới. Kiến thức mới này nãy sinh không phải như là công cụ mà như là kết quả của hoạt động giải quyết vấn đề. Ví dụ: Bài toán sau đây là phương tiện để dạy Định lí hàm số sin trong tam giác. b) Tìm mối liên hệ giữa ba cạnh, ba góc của tam giác ABC và R.
Phân loại bài toán
Đối với cách phân loại này, những bài toán không có tính chất vấn đề tuy không có tác dụng nhiều trong việc phát triển sự suy nghĩ sáng tạo, nhưng lại rất cần thiết trong viê ̣c củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng; những bài toán có tình chất vấn đề, nhất là những bài toán loại III thì tuy có tác dụng nhiều trong việc phát triển trí thông minh, nhưng lại không phù hợp với tất cả các loại học sinh. Chẳng hạn, khi nói đến định lý lớn của Fermat, chúng ta nhớ rằng qua nghiên cứu của rất nhiều nhà toán học đã chứng minh nó nhưng đều chỉ ra được hữu hạn giá trị đúng, sau hơn 300 năm bài toán về định lý Fermat lớn mới được nhà toán học Anh, Wiler giải quyết trọn vẹn. Và một bài toán chứng minh khác cũng không kém phần nổi tiếng của toán học là giả thuyết Gônbách, rất nhiều nhà toán học đã cố tìm cách tước bỏ tấm màn hoài nghi cho giả thuyết này nhưng đều không đạt kết quả.
Dạy học giải bài tập toán
Học sinh phổ thông thường có thói quen khi đã tìm được lời giải của bài toán thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gì không, ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải. Tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải bài toán này cho một bài toán khác, đề xuất bài toán mới: Có thể yêu cầu này là quá cao đối với học sinh yếu kém, nhưng có thể coi là một phương hướng bồi dưỡng học sinh giỏi. Theo phương pháp trên, ta thấy mọi vectơ đều phân tích được 2 vectơ không cùng phương (cơ sở của không gian vectơ hai chiều). Ta cần chứng tỏ rằng: MN kMPuuuur= uuur, vậy chỉ cần phân tích MN, MPuuuur uuur. theo một cơ sở, chẳng hạn ABuuur và ACuuur. Theo cách trên ta có:. uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur. d) Nghiên cứu tiếp bài toán: Qua bài toán trên ta thấy có thể tổng quát hơn việc phân tích vetơ vào bài toán sau:. Theo giả thiết ta có: MBuuur= αMC, NCuuur uuur = βuuur uuurNA, PA= γPBuuur. uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur. uuur uuur uuur uuur uuur. Ta được kết quả định lý Mêlênaúyt, đây chỉ là một cách chứng minh dựa vào phân tích vectơ. e) Nghiên cứu bài toán khi thay đổi giả thiết: Ta đã chứng minh được bài toán tổng quát trong trường hợp tam giác.
Một số hướng khai thác cặp phạm trù Nội dung – Hình thức trong dạy học giải bài tập Toán ở trường Phổ thông
Hướng 1: Chuyển đổi nội dung của bài toán
Nếu giải bài toán này theo phương pháp đại số thông thường thì phải chia nhiều trường hợp, hơn nữa trong chương trình toán phổ thông hiện nay không đưa vào định lý đảo của dấu tam thức bậc hai nên rất khó giải cho học sinh. Việc tìm GTLN, GTNN của một biểu thức (2biến) ta có thể đưa về việc tìm tập giá trị của biểu thức đó bằng cách chuyển nội dung bài toán về tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có nghiệm. Nguyên nhân học sinh áp dụng bài toán xét ở ví dụ 1 vào việc giải quyết bài toán xét ở ví dụ 2 là vì các em chưa hiểu hết bản chất nội dung ví dụ 1, các em mới chỉ quan tâm đến hình thức của công thức (4) còn về mặt nội dung ẩn chứa bên trong cụng thức đú chưa được làm rừ.
Hướng 2: Chuyển đổi hình thức của bài toán
Do đó, trong dạy học toán ở trường phổ thông, giáo viên cần chú trọng các dạng toán có thể chuyển đổi từ mô hình này sang mô hình khác, chẳng hạn như: chuyển từ đại số sang lượng giác và ngược lại, chuyển từ làm việc trên mô hình tứ diện sang làm việc trên mô hình hình hộp, chuyển từ đại số sang hình học và ngược lại, v.v. Muốn vậy học sinh cần nắm được các quy tắc và tính chất của việc chuyển từ mô hình cũ sang mô hình mới, chẳng hạn muốn chuyển từ mô hình tứ diện sang mô hình hình hộp học sinh cần biết quy tắc tạo ra các kiểu hình hộp từ tứ diện và nắm được đặc điểm của hình hộp tương ứng với đặc điểm của tứ diện. Từ đặc điểm của tứ diện ta tạo ra hình hộp chữ nhật như sau (xem hình vẽ): Từ các cạnh đối diện của tứ diện ta dựng các cặp mặt phẳng song song với nhau, chúng cắt nhau tạo thành hình hộp AB’CD’.A’BC’D, khi đó các đường chéo của các mặt của hình hộp bằng nhau nên các mặt của nó là hình chữ nhật, suy ra AB’CD’.A’BC’D là hình hộp chữ nhật.
4a và
Chuyển đổi ngôn ngữ bài toán trong nội bộ môn học, từng bộ phận (Ở đây ta quan tâm đến hình học)
Trong chương trình hình học ở trường phổ thông việc đưa vectơ, các phép toán vectơ, đưa toạ độ, các phép toạ độ và các phép biến hình vào nghiên cứu đòi hỏi học sinh phải có trình độ hình thức hoá cao, có năng lực làm toán trên các biểu thức hình thức (phương diện cú pháp); đồng thời từ các biểu thức hình thức cần hiểu được nội dung, ý nghĩa hình học của các biểu thức đó. Việc tổ chức dạy học các kiến thức hình học bằng cách sử dụng các loại ngôn ngữ khác nhau không chỉ giúp rèn luyện cho học sinh năng lực diễn đạt cùng một loại tri thức toán học bằng các hình thức khác nhau mà còn khai thác tiềm năng phong phú của các phương pháp toán học ở mỗi loại ngôn ngữ. Vì vậy, giáo viên cần khai thác, thiết lập các tình huống trong dạy học nhằm rèn luyện cho học sinh chuyển đổi giữa các ngôn ngữ véctơ - hình học tổng hợp và ngôn ngữ tọa độ, đầu tiên là phải rèn luyện cho học sinh chuyển đổi những kiến thức cơ bản, khả năng diễn đạt các khái niệm.