MỤC LỤC
Những khái niệm này ở bậc THCS được hiểu một cách rất trực quan, chẳng hạn như khái niệm nghiệm của phương trình được hiểu thông qua hoạt động: “Khi x = 6, hãy tính giá trị mỗi vế phương trình: 2x + 5 = 3(x - 1) + 2” và học sinh sẽ tự hiểu nôm na: nghiệm của phương trình là số để hai vế phương trình bằng nhau. Thực chất ở bậc THCS học sinh chủ yếu thao tác trên các phương trình với hệ số bằng hằng số và chỉ yêu cầu kĩ năng giải các phương trình cơ bản, nhằm tạo điều kiện cho học sinh làm quen và xây dựng khái niệm phương trình để tiếp tục đi sâu ở bậc THPT.
Tương tự như vậy phương trình bậc hai một ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thì ở THCS chú ý rèn luyện kĩ năng giải với hệ số là hằng số đã cho, còn ở bậc THPT đi sâu vào phương pháp giải và biện luận phương trình, bất phương trình có chứa tham số. Hệ thống bài tập sau mỗi bài học cũng thể hiện sự khác biệt lớn, ở cấp THCS gần như không có sự xuất hiện của tham số, ở bậc THPT thì phần nhiều là bài toán về phương trình và bất phương. chứa tham số người giải phải nắm được kiến thức một cách có hệ thống, biết suy luận chính xác, biết phân tích và tổng hợp. Bài toán chứa tham số đòi hỏi người giải quyết phải vận dụng khả năng tư duy cao độ và do vậy nó là chủ đề mà học sinh vẫn thường gặp rất nhiều khó khăn. Tuy nhiên, những bài toán về phương trình và bất phương trình có chứa tham số luôn giúp cho học sinh có cái nhìn đầy đủ, sâu sắc, toàn diện hơn về một vấn đề và cũng có thể nói dạng toán này là thước đo chính xác về mức độ nắm vững kiến thức phương trình, bất phương trình của học sinh. Dạng toán liên quan đến phương trình và bất phương trình có chứa tham số là vô cùng đa dạng và phong phú nên chúng tôi không có ý định thống kê tất cả, mà chỉ điểm qua những tình huống điển hình cơ bản thường gặp trong chương trình Toán THPT. Ở mỗi tình huống điển hình, sẽ nêu lên đặc điểm của từng dạng và có thể sẽ tiến hành phân tích, tìm lời giải một số ví dụ cụ thể để người đọc nhận thức sâu sắc, cảm nhận tốt hơn về các dạng toán. Trong Mục này, sẽ phân chia bài toán có chứa tham số thành từng dạng dựa trên yêu cầu của bài toán. Giải và biện luận. Giải và biện luận phương trình, bất phương trình có nghĩa là tùy theo các giá trị của tham số tiến hành giải phương trình, bất phương trình đó. Đây là dạng toán cơ bản trong bài toán có chứa tham số, việc giải và biện luận cũng giống như giải một bài toán tổng quát, mà ứng với mỗi giá trị cụ thể của tham số ta có được trường hợp riêng của bài toán đó. Dạng toán giải và biện luận đòi hỏi người học phải có năng lực tư duy, nên chưa phù hợp để đưa vào dạy ở bậc THCS. Ngay từ đầu cấp THPT việc giải và biện luận phương trình, bất phương trình được dạy một cách đầy đủ, chặt chẽ, lôgic. SGK Đại số 10, Nâng cao, lần lượt giới thiệu phương pháp giải và biện luận phương dạng ax + b = 0, giải và biện luận phương dạng ax2 + bx + c = 0, giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, giải và biện luận phương bất phương trình bậc. nhất một ẩn. Sỏch giỏo viờn Đại số 10, Nõng cao, chỉ rừ cỏc kĩ năng giải, biện luận cần đạt của học sinh là:. +) Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn. +) Phương trình trùng phương. +) Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số. +) Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất, bậc hai đơn giản có chứa tham số. Bài toán tìm điều kiện tham số để nghiệm của phương trình thỏa mãn tính chất cho trước có rất nhiều dạng, trong mục này sẽ liệt kê một số dạng cơ bản như: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm; Tìm điều kiện của tham số để phương trình vô nghiệm; Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm duy nhất; Tìm điều kiện của tham số để hai phương trình có nghiệm chung; Tìm điều kiện của tham số để hai phương trình tương đương; Tìm điều kiện của tham số để phương trình có số nghiệm xác định; Tìm điều kiện của tham số để nghiệm phương trình có vị trí thỏa mãn yêu cầu bài toán;….
Học sinh này đã sai lầm khi không ý thức được sự tương quan giữa các nghiệm và đã không nhận ra vấn đề khi phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đó là: có một nghiệm bằng 0 và nghiệm kia dương, tuy nhiên lúc này phương trình (1) sẽ chỉ có 3 nghiệm - tức là không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khá nhiều học sinh cho rằng bài toán có chứa tham số rất khó để định hướng phương pháp giải, thực chất tham số không ảnh hưởng đến việc tìm ra phương pháp giải, mà vấn đề là ở chỗ học sinh phải có kinh nghiệm, kiến thức, kĩ năng để phát hiện ra mối liên hệ trong bài toán, để từ đó tìm ra phương pháp giải.
(đều là phương trình bậc 2) H: Hệ số nào của các phương trình trên là giống nhau?. H: Đưa ra phương trình tổng quát của phương trình trên?. H: Cho vài ví dụ về phương trình dạng trên? khi đó a nhận giá trị nào?. Ta nói đây là phương trình ẩn x với tham số a H: Nêu kết luận về tham số?. b) Cần núi rừ cho học sinh thấy tham số thường được ký hiệu bằng cỏc chữ cái: k, a, m,…, nhưng tuyệt đối không được giống với ký hiệu ẩn của phương trình, bất phương trình. Thông qua Ví dụ 36, giáo viên chỉ ra cho học sinh thấy khi tham số thay đổi thì phương trình, bất phương trình luôn có nghiệm (vô nghiệm) cũng là bình thường, tuy nhiên cần lưu ý học sinh phương trình luôn có nghiệm không có nghĩa là nghiệm như nhau với mọi giá trị tham số.
Biện pháp 2: Làm cho học sinh ý thức được việc phân chia trường. thu được phương trình tương đương, thông thường ta đặt điều kiện để hai vế đều dương. H: Cả hai vế của bất phương trình đã dương hay chưa?. Như vậy, để hướng tới việc giải bất phương trình, xét 3 trường hợp:. m> 4: bất phương trình vô nghiệm. − < < hai vế của bất phương trình đều dương ta bình phương hai vế:. Thông qua Ví dụ ta thấy việc phân chia trường hợp là có căn cứ và sự suy luận lụgic. Khi dạy học giỏo viờn cần chỉ rừ cho học sinh thấy việc phõn chia trường hợp xuất phát từ nhu cầu nhằm tìm ra lời giải bài toán. Việc phân chia trường hợp trong bài toán giải và biện luận khi chuyển tải cho học sinh phải hợp lý, lôgic và cần thiết để tiến hành giải. Tránh việc phân chia áp đặt, máy móc theo lối thuyết trình. b) Việc phân chia trường hợp phải đầy đủ và không trùng lặp. Trong mỗi bài toán thì tham số có miền giá trị nhất định và việc phân chia phải không bỏ sót bất kỳ giá trị nào của miền giá trị. Yêu cầu này đòi hỏi phải xem xét hết mọi giá trị của tham số nhưng tuyệt nhiên không có sự trùng lặp, tức là không có giá trị nào của tham số được xem xét quá 1 lần. Tất cả các miền giá trị của tham số này phủ kín miền giá trị tham số là tập hợp số thực ¡ , hai miền bất kỳ ở trên giao nhau đều bằng rỗng. Như vậy, việc phân chia như trong Ví dụ 4, là đầy đủ và không trùng lặp. Tuy nhiên, ngoài việc phân chia đầy đủ, không trùng lặp thì việc phân chia còn phải hợp lý,. đúng đắn và phục vụ tốt cho quá trình giải và biện luận. Vậy việc phân chia trường hợp phải xuất phát từ nhu cầu nhằm giải quyết bài toán, do vậy việc phát hiện ra các tiêu chí để phân chia trường hợp là rất quan trọng. Rèn luyện cho học sinh khả năng phát hiện ra các tiêu chí nhằm phân chia các trường hợp trong bài toán giải và biện luận. Trong quá trình dạy học môn Toán không chỉ dừng lại ở việc truyền thụ cho học sinh khả năng giải toán, tức là nhận diện và tiến hành giải bài toán thuộc dạng nào đó. Vấn đề là phải chuyển tải tới học sinh cách thức, con đường suy nghĩ để đến với lời giải đó, G. Polia đã nói về mục đích của việc dạy học: “Trước tiên, đây là điều chính không phải bàn cãi, cần phải dạy cho thanh niên SUY NGHĩ” [27, tr. Ở đây, chúng tôi xin đưa ra một số cách thông dụng để tìm ra tiêu chí làm cơ sở cho sự phân chia trường hợp:. Để phát hiện ra các tiêu chí phân chia trường hợp, giáo viên có thể đặt câu hỏi định hướng, chẳng hạn như sau:. H: Giả sử rằng phương trình có nghiệm, khi đó a phải thỏa mãn điều kiện gì?. Với câu hỏi này buộc học sinh phải suy nghĩ và trước hết mọi học sinh đều nhận ra nếu là nghiệm thì vế trái không âm, như vậy vế phải cũng cần phải dương tức là:. Với sự giả thiết tạm này ta tìm được điều kiện cần để phương trình đã cho có nghiệm. H: Như vậy phương trình sẽ vô nghiệm trong các trường hợp nào?. Phương trình sẽ chắc chắn vô nghiệm nếu a 0<. H: Hãy giải phương trình trong mỗi trường hợp đó!. b) Từ điều kiện phương trình, xác định một điều kiện thay thế cho mọi điều kiện khác. Tuy nhiên, điều kiện xác định phương trình (bất phương trình), còn phụ thuộc vào tham số, để tìm ra điều kiện xác định dẫn tới việc phân chia các trường hợp của tham số. Ví dụ 40: Giải và biện luận bất phương trình theo tham số m:. Bằng hệ thống câu hỏi hướng dẫn sư phạm giáo viên giúp học sinh nhận ra việc giải bất phương trình trên bằng phương pháp bình phương hai vế, tuy nhiên khi bình phương sẽ làm tập xác định bất phương trình thay đổi. Bài toán dẫn tới việc đi tìm điều kiện xác định bất phương trình, giáo viên có thể đặt câu hỏi định hướng:. H: Điều kiện của bất phương trình là gì?. H: Liệu có thể thu gọn hai điều kiện này nữa không? Cần so sánh điều gì?. c) Căn cứ vào các ý nghĩa của các kí hiệu Toán học. Các kí hiệu như: giá trị tuyệt đối, phép khai căn bậc hai luôn mang một ý nghĩa đặc trưng, a luôn lớn hơn hoặc bằng không và nó được xác định:. Nên để giải phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối thông thường ta phải xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối và như vậy là dẫn tới việc so sánh tham số để dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối là không đổi. Phép khai căn bậc hai luôn nhận giá trị dương và biểu thức trong căn phải xác định dương, nên trong bài toán chứa tham số cũng dẫn tới xét giá trị tham số để xác định dấu của các biểu thức dưới dấu căn và ngoài dấu căn. Ví dụ 41: Giải và biện luận theo a bất phương trình sau:. H: Đây là bất phương trình dạng gì?. H: Để tiến hành giải bất phương trình vô tỷ ta thường làm gì?. H: Liệu bất phương trình trên có thể thực hiện phép bình phương hai vế chưa?. Để trả lời câu hỏi này một cách chính xác thì học sinh sẽ phải ý thức tới việc phân chia trường hợp. Bởi muốn thực hiện phép bình phương hai vế để thu được phương trình tương đương, thông thường ta đặt điều kiện để hai vế đều dương. H: Cả hai vế của bất phương trình đã dương hay chưa?. Như vậy, để hướng tới việc giải bất phương trình, xét 3 trường hợp:. Bằng hệ thống câu hỏi sư phạm định hướng giáo viên dẫn dắt học sinh nhận ra phép biến đổi:. H: Để tiến hành giải bất phương trình giờ ta cần làm gì?. Học sinh nhận thấy cần phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối, nên bình phương hai vế sẽ phức tạp hơn việc xét dấu để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. H: Như vậy ta cần so sánh điều gì?. d) Căn cứ vào thuật giải và ý thức được suy biến.
Việc đặt ẩn phụ (khác với ẩn đã cho) nhằm chuyển bài toán về dạng khác với mong muốn bài toán với ẩn mới (ẩn phụ) sẽ dễ giải hơn bài toán đã cho. Phát hiện ra cách thức đặt ẩn phụ là cả một nghệ thuật, đòi hỏi người làm toán phải quan sát kĩ bài ra, vận dụng các mối liên hệ trong bài toán, huy động kiến thức, kinh nghiệm đã có. Tuy nhiên, sau khi phát hiện ra cách thức đặt ẩn phụ thì cần đặt điều kiện cho ẩn phụ, phát hiện ra mối tương quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu, để từ đó chuyển đổi yêu cầu bài toán đối với ẩn ban đầu sang ẩn phụ. Tìm điều kiện cho ẩn phụ, chuyển đổi cách phát biểu bài toán là khâu quan trọng trong trong quá trình giải bài toán có tham số bằng phương pháp đặt ẩn số phụ, nó quyết định rất lớn đến sự đúng hay sai của lời giải. Đây cũng là kỹ năng mà học sinh còn yếu và thường hay gặp phải những sai lầm. Ở biện pháp này chúng tôi xin đưa ra một số cách thức nhằm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng phát hiện các sự tương ứng và khả năng chuyển đổi cách phát biểu bài toán. Chỉ rừ cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc tỡm điều kiện cho ẩn phụ. a) Tìm điều kiện cho ẩn phụ là gì?. Khi đặt ẩn phụ đối với bài toán không chứa tham số thì sau khi tìm ra ẩn phụ phải quay lại tìm ẩn ban đầu nên việc đặt điều kiện cho ẩn phụ không thật quan trọng, còn với bài toán chứa tham số thì sau khi đặt ẩn phụ yêu cầu bài toán sẽ được chuyển sang đối với ẩn phụ và sẽ tiến hành suy luận trên phương trình mới (phương trình đối với ẩn phụ).
Sau khi tiến hành hoạt động, giáo viên có thể nhấn mạnh: nếu f(x) và g(x) bất kỳ, thì chưa thể khẳng định được f(x) < g(x) có tương đương trên D với [f(x)]2 < [g(x)]2 hay không và cũng không khẳng định được có tập nghiệm nào bị chứa trong tập nghiệm kia hay không. Để hình thành phép biến đổi tương đương, giải quyết các phương trình vô tỷ cơ bản, giáo viên cần tiến hành hoạt động suy luận dẫn ra công thức một cách hợp lí và thông qua hoạt động đó học sinh có thể tự mình độc lập tìm tòi công thức biến đổi khác.
Các phương pháp giải phương trình và bất phương trình có chứa tham số được đưa ra ở trên thì hầu hết học sinh đã được làm quen khi học về nội dung phương trình, bất phương trình không chứa tham số. Nhiệm vụ của người giáo viên cần làm là thông qua hoạt động toán học nhằm rèn luyện khả năng tư duy cho học sinh, để từ đó giúp học sinh có khả năng thích ứng khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết.
Câu I (b) là bài toán này học sinh chỉ cần dựa vào kết quả biện luận phương trình ở câu I (a) và ngay lập tức có kết quả bài toán mà không cần thay giá trị m = - 30 vào phương trình rồi đi giải phương trình bậc hai. Qua phân tích sơ bộ trên đây có thể thấy rằng, đề kiểm tra thể hiện được dụng ý: đánh giá kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương trình có chứa tham số và thông qua đó cũng nhằm hình thành kĩ năng này cho học sinh.
- Khi đứng trước bài toán giải và biện luận phương trình theo tham số, học sinh không phân biệt được hai dạng bài toán: giải và biện luận phương trình, bất phương trình theo tham số m với tìm điều kiện m để phương trình, bất phương trình có nghiệm; học sinh không ý thức được sự cần thiết phải chia m thành các trường hợp riêng, hoặc không biết chia thành những trường hợp như thế nào;. Sau khi nghiên cứu kỹ và vận dụng các biện pháp sư phạm được xây dựng ở Chương 2 vào quá trình dạy học, các giáo viên dạy thực nghiệm đều có ý kiến rằng: không có gì trở ngại, khó khả thi trong việc vận dụng các biện pháp này; những biện pháp, đặc biệt những gợi ý về cách đặt câu hỏi và cách dẫn dắt là hợp lí, vừa sức đối với học sinh; cách hỏi và dẫn dắt như vậy vừa kích thích được tính tích cực, độc lập của học sinh lại vừa kiểm soát được, ngăn chặn được những khó khăn, sai lầm có thể nảy sinh; học sinh được lĩnh hội những tri thức phương pháp trong quá trình giải quyết vấn đề.