Rèn luyện năng lực khái quát hóa thông qua các bài toán chứng minh bất đẳng thức

Với ý nghĩa là các phương pháp suy nghĩ sáng tạo; khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành những phẩm chất trí tuệ

- Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự phát hiện và giải quyết vấn đề, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được. Muốn phát triển tính độc lập, sáng tạo của học sinh cần cho họ thường xuyên tập dượt các suy luận có lý thông qua quan sát, so sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự,…. Đề xuất và giải quyết các bài toán mới từ những bài toán đã biết không những là sáng tạo mà còn tăng thêm niềm vui trong quá trình giải toán của học sinh.

* Cũng nhìn theo góc độ số mũ của từng số hạng ở hai vế, ta thử mở rộng bằng cách thay a bn-1 bởi a bm n-m có nghĩa là chỉ cần tổng số mũ của a và b bằng n là đủ. * Tiếp tục quan sát số biến của các BĐT, các bài toán trên chỉ áp dụng cho 2 biến ta hoàn toàn có thể mở rộng cho 3 biến, 4 biến, …và khái quát hóa lên n biến. Như vậy xuất phát từ một bài toán chúng ta có thể hướng dẫn học sinh dùng đặc biệt hóa để tìm những hình thức khác nhau của một bài toán.

Việc giải một bài toán hay là điều thú vị nhưng chắc chắn nếu có thể tự mình sáng tạo những bài toán mới thì niềm vui còn tăng lên rất nhiều. Khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự có ý nghĩa trong vai trò giúp học sinh sáng tác các bài toán mới, tạo ra các kết quả mới.

Dạy học phương pháp tìm lời giải bài toán

VẬN DỤNG KHÁI QUÁT HểA, ĐẶC BIỆT HểA VÀ TƯƠNG TỰ THỒNG QUA CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC. Giáo sư Hoàng Tụy có viết trên tạp chí Toán học và tuổi trẻ “ Các nhà toán học thường làm việc với bất đẳng thức nhiều hơn đẳng thức”. Đối với chương trình toán ở trường phổ thông, BĐT là một trong những phần quan trọng.

Ngay từ lớp 1, học sinh được làm quen với BĐT thông qua các bài toán như: So sánh hai số, điền dấu > <, vào ô trống. Đến lớp 9, học sinh đã được tiếp cận với một vấn đề về BĐT nhưng ở mức độ cao hơn. Sang bậc THPT, việc dạy học BĐT đã được đưa vào chương III - đại số 10.

BĐT có trong tất cả các chủ đề của toán sơ cấp thông qua các dạng toán như: toán cực trị, khảo sát hàm số, giải phương trình, giải bất phương trình… Có những bài toán, việc sử dụng BĐT đóng vai trò quyết định lời giải nhưng cũng có những bài toán ta chỉ sử dụng BĐT như một khâu trung gian. Vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự để tìm lời giải của bài toán.

Vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự để tìm lời giải của bài toán chứng minh bất đẳng thức

Mặc dù vậy, việc phát hiện ra mối liên hệ này vẫn chưa giúp ta tìm ra lời giải của bài toán. Kiểm tra lại lời giải bài toán tức là xem xét lời giải có sai lầm hay thiếu sót gì không?. Sai lầm khi chứng minh BĐT thường bắt nguồn từ việc vận dụng các BĐT cổ điển mà không để ý đến điều kiện để BĐT đúng hoặc sử dụng sai sót các quy tắc suy luận khi từ BĐT này suy ra BĐT kia.

Nhận xét: Sai lầm vì không để ý đến điều kiện của các số a, b trong BĐT Cauchy. Kiểm tra lại lời giải cũng có thể bằng cách đặc biệt hóa kết quả tìm được để xem xét tính đúng sai của kết quả bài toán thường là những bài toán tổng quát từ một bài toán cho trước nào đó. Hai BĐT thu được sau khi đặc biệt hóa giá trị n là hai BĐT ban đầu mà ta đã chứng minh được tính đúng đắn của nó.

Nhờ đó mà ta dự đoán BĐT tổng quát mà ta tìm được là đúng và tìm cách chứng minh dự đoán đó. Vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự vào nghiên cứu lời giải của.

Vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự vào nghiên cứu lời giải của bài toán chứng minh bất đẳng thức

Với cách nhìn đó ta thử tăng thêm số lượng biến trong bài toán sao cho các biến vẫn ràng buộc với nhau bởi điều kiện có tổng bằng 1. Vẫn là cách nhìn dưới góc độ trên, nếu như tổng của các biến không phải là 1 mà là một số bất kì, tức là. Ta có thể xây dựng được BĐT trên bằng cách thay số 2 ở trong BĐT bởi một tham số α bất kì với α 1≥.

Thông qua bài toán này ta thấy việc nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau sẽ giúp ta khai thác và mở rộng bài toán theo nhiều hướng khác nhau. Ngoài việc nghiên cứu đào sâu các lời giải của một bài toán cụ thể, giáo viên còn có thể giúp học sinh vận dụng cách giải của bài toán ban đầu cho một lớp các bài tập khác. Qua các bài toán đó, giáo viên cần cho học sinh phát hiện mấu chốt của các bài tập trên chính là sử dụng công thức An ≥Hn.

Sau khi học sinh giải hệ thống bài toán trên, giáo viên yêu cầu học sinh tìm phương pháp chung để giải bài tập đó. Nguyên tắc để thực hiện đó là tìm cách biến đổi sao cho hai vế của BĐT cần chứng minh có cùng bậc. Đây là một phương pháp chứng minh BĐT có điều kiện được gọi là phương pháp “cân bằng bậc”.

Phương pháp này được gọi là phương pháp sử dụng điểm rơi để chứng minh BĐT. Chú ý: Nếu trong BĐT Cauchy có p biến tham gia đánh giá, và kết quả khai căn tổng số của các biến bằng k, khi đó ta nói là “cân bằng bậc k cho p biến với điểm rơi”. Đến bài toán 2 và bài toán 3 học sinh có thể gặp lúng túng vì bài tập vẫn tương tự như dạng trên nhưng không có điều kiện ràng buộc giữa các biến.

Vì giả thiết là xy+yz+zx = 15 nên ta dự đoán vế trái của BĐT được so sánh với một biểu thức có chứa xy+yz+zx. Qua đó giáo viên có thể yêu cầu học sinh chứng minh bài toán tổng quát của BĐT (*). Hệ thống hóa mẫu nhóm bài toán chứng minh bất đẳng thức cùng dạng theo.

Hệ thống hóa mẫu nhóm bài toán chứng minh bất đẳng thức cùng dạng theo phương pháp khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự

Ở bài toán xuất phát 1, chúng ta xây dựng hệ thống bài toán mới dựa trên việc nghiên cứu lời giải của bài toán thì ở bài toán xuất phát 2 chúng ta sẽ dựa trên việc khai thác kết quả của bài toán, nhìn bài toán ở những góc độ khác nhau, từ những góc độ đó ta sẽ xây dựng những bài toán mới. Góc độ thứ nhất: Ở trong BĐT ta thấy ở mẫu số của các số hạng ở vế trái có chứa hằng số 2. Chúng ta hãy xây dựng BĐT phân thức khó hơn bằng cách thay hằng số bởi một tham số bất kì.

Đây là một phương pháp hay, nó cho thấy sự liên kết chặt chẽ về bản chất giữa đại số và hình học. Nếu các BĐT đại số cần chứng minh chứa các biểu thức (*) thì có thể xét các tam giác với các cạnh thỏa mãn (*) rồi chuyển BĐT cần chứng minh về BĐT hình học tương ứng. Mặt khác, xuất phát từ BĐT hình học về độ dài các cạnh của tam giác, thay các cạnh bởi công thức (*) ta được BĐT đại số có chứa biểu thức vô tỉ.

Trong lời giải ta đã minh họa cho việc sử dụng định lí côsin để chứng minh và sáng tạo ra các BĐT từ trường hợp đơn giản là tam giác vuông đến tam giác bất kỳ, từ trường hợp một tam giác đến trường hợp phức tạp là hai ba tam giác kề nhau và chúng ta có thể phát triển lên thành nhiều tam giác kề nhau nữa. Từ đó chúng ta sẽ có được hệ thống bài tập phong phú và đa dạng. Ta chọn một nhóm bài toán có những điểm tương đồng nào đó để tập hợp thành hệ thống.

Ở phần này chúng tôi chỉ xây dựng hệ thống bài tập về BĐT hình học dựa trên sự tương tự giữa các khái niệm trong mặt phẳng và trong không gian và đặc biệt chú trọng đến sự tương tự giữa tam giác và tứ diện. Cho tam giác OAB vuông tại O, M là một điểm di động trên cạnh huyền AB. Điểm M bất kì trong tứ diện ABCD, C là tổng độ dài các cạnh của tứ diện.

Điểm M bất kì trong tứ diện ABCD, S là diện tích toàn phần của tứ diện.