Tích phân Lebesgue - Mở rộng của tích phân Riemann

Tính chất của tích phân Riemann

Trong phần này, để việc trình bày đơn giản và gọn gàng, ta sẽ kí hiệu  f thay cho.

Giới hạn dưới dấu tích phân

Câu hỏi đặt ra là trong trường hợp nào thì chuỗi  fn khả tích sẽ kéo theo giới hạn f là khả tích.

Sự hạn chế của tích phân Riemann

Vì vậy hai nhà toán học Newton là Lebniz đã cùng đưa ra một giải pháp tuyệt vời để tính tích phân Riemann. Định lý rất hữu dụng nhưng chỉ tính toán được với những hàm số có nguyên hàm, tức là phải tồn tại Fsao cho F' f. Câu hỏi đặt ra trong trường hợp tổng quát, những hàm số nào có thể tính được tích phân Riemann?.

Chúng ta cùng tìm hiểu những hạn chế của tích phân Riemann và đến với định lý Lebesgue. Ta thấy rằng khi thì giảm dần và bị chặn dưới bởi 0 nhưng V vẫn luôn chứa là tâm. Trong một lân cận bất kỳ V của x0 có ít nhất một điểm xn, và vì xn là điểm trong của V (V mở) nên có một lân cận của xn nằm trọn trong V.

(Lebesgue) Một hàm số f x  bị chặn trên một đoạn  là khả tích Riemann khi và chỉ khi nó liên tục hầu khắp nơi trên đoạn  (tức là tập các điểm gián đoạn của nó có độ đo 0).  (hàm đặc trưng của A) khả tích Riemann trên đoạn  thì A gọi là đo được theo nghĩa Peano - Jordan, hay ngắn gọn hơn là đo được P J. và tích phân. Một tập bị chặn A là đo được P J. khi và chỉ khi biên của nó có độ đo Lebesgue bằng 0.

Đó là một sự hạn chế đáng kể của khái niệm tích phân Riemann, vì trong toán học hiện đại (lý thuyết và ứng dụng) rất thường gặp những hàm số gián đoạn đòi hỏi phải lấy tích phân theo một nghĩa nào đó. Để khắc phục tất cả các nhược điểm đó, cần phải xây dựng một khái niệm tích phân tổng quát hơn tích phân Riemann.

Tích phân Lebesgue

Dễ thấy rằng giá trị của tích phân không phụ thuộc vào cách biểu diễn. Vậy tích phân của một hàm đơn giản không âm bao giờ cũng được xác định một cách duy nhất. Ta lần lượt xét trường hợp các hàm số không âm và các hàm số có dấu thay đổi.

Tích phân này được xác định một cách duy nhất và không phụ thuộc cách chọn dãy hàm fn. Tích phân được định nghĩa như trên gọi là tích phân Lebesgue và được kí hiệu. Theo định lý này, nói riêng, mọi hàm số bị chặn và liên tục hầu khắp nơi trên mọi đoạn   k đều khả tích (L).

Như vậy lớp các hàm số khả tích (L) trong k bao gồm tất cả các hàm số khả tích (R) và ngoài ra tất nhiên còn bao gồm nhiều hàm số khác nữa (như hàm số Dirichlet chẳng hạn). Sau đây sẽ luôn luôn giả thiết các hàm số và tập nói đến là đo được.  có nghĩa thì vế trái của một trong hai đẳng thức trên là hữu hạn: nếu chẳng hạn vế trái của đẳng thức thứ nhất là hữu hạn thì cả hai tích phân ở vế phải của nó cũng hữu hạn và các hiệu số.

Khi ấy, trừ từng vế các đẳng thức trên ta được đẳng thức cần chứng minh.

Khả tích 1. Nếu

• Mối quan hệ giữa tích phân Riemann và tích phân Lebesgue 1. Giới hạn dưới dấu tích phân

Trái lại đối với tích phân Lebesgue những điều kiện ấy rất rộng rãi, do đó nhiều quá trình qua giới hạn khó khăn đối với tích phân Riemann được giải quyết ở đây rất nhẹ nhàng. Sự ra đời của tích phân Lebesgue là sự kế thừa và bổ khuyết cần thiết, đã giải quyết được hầu như tất cả hạn chế của tích phân Riemann. Bây giờ ta hãy đi sâu vào trường hợp thường gặp của tích phân trong và xét vấn đề liên hệ giữa hai phép toán tích phân và đạo hàm.

Theo một định lý cơ bản trong giải tích cổ điển thì đó là hai phép toán ngược nhau, theo nghĩa: nếu hàm số f x( ) liên tục thì tại mỗi điểm x tích phân bất định. Vì sự thay đổi giá trị của f x  trên một tập có độ đo 0 không ảnh hưởng gì đến giá trị của tích phân (1) nên trong vấn đề I ta không đòi hỏi đẳng thức (2) phải đúng tại từng điểm, mà chỉ cần nó đúng hầu khắp nơi là được. Vả lại một hàm số tuyệt đối liên tục thì phải có biến phân bị chặn vì theo điều kiện trên, biến phân của nó trong một khoảng bất kỳ có độ dài sẽ không vượt quá , cho nên biến phân của nó trong toàn đoạn.

Ở trên ta đã thấy rằng tích phân bất định của một hàm số khả tích bằng hiệu của hai hàm số không giảm, cho nên có biến phân bị chặn. Bây giờ ta chuyển sang vấn đề II đã nêu ra: với những điều kiện nào thì có thể khôi phục một hàm số từ đạo hàm của nó bằng công thức. Gọi là các điểm mút của những khoảng đã chọn, 1 là tổng lấy theo các khoảng này, 2 là tổng lấy theo các khoảng bù (tức là các khoảng còn lại trên đoạn sau khi rút đi khỏi đoạn này các khoảng đã chọn).

Theo bổ đề 2.10 các hàm số này có đạo hàm khả tích, cho nên đạo hàm cũng khả tích, và tích phân bất định ∫ là một hàm số tuyệt đối liên tục. Nhưng nếu ta quan tâm đến điều kiện về đạo hàm thì vấn đề sẽ phức tạp hơn, và đòi hỏi phải vận dụng khái niệm tích phân Denjoy (rộng hơn khái niệm tích phân Lebesgue) thì mới giải quyết triệt để được: có thể chứng minh rằng nếu có đạo hàm hữu hạn tại mọi điểm thì công thức (6) đúng, nhưng trong đó tích phân phải hiểu theo nghĩa Denjoy.

ĐỘ ĐO RADON

Giả sử X là không gian tôpô sao cho mỗi tập đóng của nó là tập G (giao đếm được các tập mở). Khi đó mỗi độ đo hữu hạn trên X là chính quy.  Ta phải chứng minh U đóng kín với phép hợp đếm được. Do F đóng nên Fcó dạng. Do đó, mỗi độ đo hữu hạn trên không gian tôpô mà mỗi tập đóng của nó là tập G là chính quy. Mọi độ đo hữu hạn trên không gian mêtric bất kỳ là chính quy. Trong không gian mêtric, với mỗi tậpA đóng thì. Áp dụng Định lý 3.3, suy ra mọi độ đo hữu hạn trên không gian mêtric bất kỳ là chính quy. Độ đo  được gọi là độ đo xác suất nếu. Giả sử X là không gian mêtric khả ly và đủ. Khi đó, mọi độ đo xác suất trên X là độ đo Radon. Vì X là không gian khả ly nên có thể phủ X bằng một số đếm được các hình cầu đóng bán kính 1,. Ta thấy rằng K là tập đóng và hoàn toàn bị chặn. Do X là không gian đủ nên Klà tập compact. Theo Mệnh đề 3.1,  là một độ đo xác suất trên không gian mêtric nên là độ đo chính quy. a) Mọi độ đo Borel trên không gian tôpô X với cơ sở đếm được (đặc biệt là trên không gian mêtric khả ly) là trơn. b) Mọi độ đo hữu hạn  trơn trên không gian tôpô chính quy là chính quy. c) Mọi độ đo Radon trên không gian tôpô tách Hausdorff là trơn. a) Do X có cơ sở đếm được nên tập hợp của một họ tùy ý các tập con mở của X trùng với một họ đếm được các tập con mở của X. Mặt khác, do X là không gian tôpô chính quy nên với mỗi tập mở UX, tồn tại các tập con mở Vj U sao cho. Ta có fn cũng là hàm bậc thang đo được trên A nên có thể biểu diễn fn dưới dạng.

Như vậy mỗi độ đo Radon  trên X sinh ra một phiếm hàm tuyến tính trên Cc X. Vậy với  là một phiếm hàm tuyến tính xác định dương trên Cc X , liệu có tồn tại hay không một độ đo Radon  trên X thỏa mãn. Nếu  là một phiếm hàm tuyến tính dương trên Cc X thì tồn tại duy nhất một độ đo Radon  trên X sao cho.

(Ta nói rằng X có một vét cạn compact nghĩa là tồn tại một dãy các tập con compact. Việc chứng minh định lý này được chia thành hai phần: sự tồn tại và tính duy nhất. Lấy K là tập con compact bất kỳ của X , khi đó ta xét các hàm số n có dạng.

Thật vậy, ta cần chứng minh n x là hàm số liên tục và supn là tập compact trong. Để chứng minh điều này, ta giả sử V là một tập mở chứa E và giả sử. Khi đó, do định nghĩa của * ta có thể tìm được một tập mở Un chứaEn sao cho.

Vậy với X là một không gian mêtric có một vét cạn compact, nếu  là một phiếm hàm tuyến tính dương trên Cc X thì tồn tại duy nhất một độ đo Radon  trên X sao cho.