MỤC LỤC
Chứng minh rằng khoảng cách lớn nhất trong các khoảng cách từ P tới ba đỉnh A, B, C không nhỏ hơn hai lần khoảng cách bé nhất trong các khoảng cách từ P tới ba cạnh của tam giác đó. Bài toán 2: Chứng minh rằng trên mặt phẳng toạ độ Đề Các không thể tìm được năm điểm nguyên là đỉnh của một ngũ giác đều (Điểm nguyên là điểm có cả tung độ lẫn hoành độ đều là các số nguyên). Tập là một tập các số tự nhiên, khác rỗng của tập hợp các số nguyên, theo nguyên lí khởi đầu cực trị tồn tại một phần tử nhỏ nhất, tức là tồn tại ngũ giác đều ABCD sao cho a0 là cạnh của ngũ giác đều này và a0là nhỏ nhất.
Nhận xét: Trong chứng minh trên, nguyên lí “Một tập con khác rỗng của tập số tự nhiên có giá trị nhỏ nhất” không phải được áp dụng một cách trực tiếp ngay, vì độ dài các cạnh của hình ngũ giác đều không phải số tự nhiên. Khi đó, ta có thể nối với hai đỉnh của ABC để tạo thành một tam giác với diện tích lớn hơn diện tích tam giác ABC (mâu thuẫn tam giácABC là tam gác có diện tích lớn nhất). Phân tích: Trong tất cả các cách nối các cặp điểm xanh và đỏ với nhau bởi 1000 đoạn thẳng sẽ tồn tại một cách nối mà tổng độ dài các đoạn thẳng nối nhỏ nhất.
Bất đẳng thức cuối sai vì tổng các góc vế trái là tổng các góc ngoài kề với một cạnh của tam giác lớn hơn 1800 (bằng tổng các góc của tam giác cộng với góc ở đỉnh đối diện cạnh này). Giả sử khẳng định đề bài không đúng, tức là tồn tại hai số nguyên dương a b, nguyên tố cùng nhau sao cho không tồn tại x y, nguyên sao cho axby1. Ngoài hai dạng trên, ta còn có những bài toán hình học tổ hợp không mẫu mực dựa trên giả thiết bài toán vẫn sử dụng nguyên lí Dirichlet để giải quyết.
Ta luôn có được một đường thẳng đi qua một đỉnh của tam giác sẽ cắt cả ba cạnh của tam giác (trừ trường hợp đường thẳng song song với cạnh đối diện của đỉnh đó). Và để giải quyết bài toán này ngoài việc sử dụng nguyên lí Dirichlet ta cần phải sử dụng nguyên lí bù trừ để tìm ra diện tích chung của các “chuồng”. Vậy ta thấy có 9 phòng được sử dụng mà có tới 10 đội bóng nên theo nguyên lí Dirichlet sẽ có hai đội vào chung một phòng hay có ít nhất hai đội có cùng số trận đấu như nhau.
Vì nhà bác học A viết thư cho 16 nhà bác học còn lại về 3 vấn đề (gọi tắt là vấn đề I, vấn đề II, vấn đề III) nên theo nguyên lí Dirichlet mở rộng thì A phải trao đổi ít nhất với. Nếu có 2 người nào đó, chẳng hạn C và D trao đổi với nhau về vấn đề II thì bài toán được chứng minh, các nhà bác học B, C, D cùng trao đổi với nhau về vấn đề II. Để chứng minh một bất đẳng thức việc xác định khi nào dấu “=” xảy ra đóng vai trò rất quan trọng, bởi vì từ đó ta có thể đưa ra các đánh giá hợp lý.
Khi sử dụng phương pháp nguyên lí Dirichlet để chứng minh bất đẳng thức, nếu xác định được các điểm rơi (tức là dấu đẳng thức của bài toán xảy ra) giúp cho việc chứng minh bất đẳng thức đơn giản hơn nhiều. Nhận xét: Trên đây, ta đã sử dụng nguyên lí Dirichlet chứng minh bất đẳng thức khi dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra tại một giá trị (hay ta thường nói có một điểm. Bài toán 2: (Định lý Sylvester) Cho tập hợp S gồm hữu hạn các điểm trên mặt phẳng thỏa mãn tính chất sau: Một đường thẳng đi qua 2 điểm thuộc S đều đi qua ít nhất một điểm thứ ba thuộc S. Khi đó tất cả các điểm của S nằm trên một đường thẳng. Giả sử phản chứng là tồn tại một tập hợp S gồm hữu hạn điểm không thẳng hàng nhưng mọi đường thẳng qua 2 điểm trong S đều chứa ít nhất 3 điểm. Theo nguyên lí khởi đầu cực trị thì P có phần tử nhỏ nhất là h0. Theo giả thiết phản chứng thì tồn tại DSvàDnằm trên đường thẳngBC. Theo nguyên lí Dirichlet trong 3 điểm B C D, , phải có ít nhất hai điểm nằm cùng phía so vớiH. Giả sử không mất tổng quá làCvà Dnằm cùng phía với H và Cnằm trong đoạnHD. KẻHIvà CKvuông góc vớiAD. Vậy tất cả các điểm đã cho phải thẳng hàng với nhau. Bài toán 3: Cho 2021 đường thẳng phân biệt, trong đó ba đường thẳng bất kì trong số chúng thì đồng quy. Chứng minh rằng cả 2021 đường thẳng đã cho đồng quy tại một điểm. Ta giải bài toán tương tự như bài toán trên. Giả sử các đường thẳng đã cho không cùng đi qua một điểm. Ta xét các giao điểm tạo nên bởi 2021 đường thẳng đã cho. Theo nguyên lí khởi đầu cực trị thì M có phần tử nhỏ nhất là h0. Giả sửA là một giao điểm trong số đó và h0 là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳngd, đường thẳng d là một trong số 2021 đường thẳng. Theo giả thiết của bài toán thì qua A có ít nhất ba đường thẳng cắt d tại ba điểm ta gọi là B C D, ,. Gọi Hlà chân đường vuông góc hạ từ A xuống dsuy raAH h0. Theo nguyên lí Dirichlet trong 3 điểm B C D, , phải có ít nhất hai điểm nằm cùng phía so vớiH. Giả sử không mất tổng quát là Cvà Dnằm cùng phía vớiHvà Cnằm trong đoạn HD. Gọi chân đường vuông góc từ CxuốngADlà Kvà Ilà chân đường vuông góc hạ từ HxuốngAD. Điều mâu thuẫn trên chứng tỏ rằng 2019 đường thẳng đã cho đồng quy tại một điểm. Bài toán 4: Cho ngũ giác lồi ABCDEtrên mặt phẳng toạ độ có toạ độ các đỉnh đều nguyên. b) Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 điểm nằm trong ngũ giác có toạ độ nguyên. Theo nguyên lí Dirichlet: Vì có 5 điểm ABCDEnên tồn tại ít nhất 2 điểm ,. Trung điểm Hcủa MNchính là điểm cần tìm. Lý luận trên đây chưa đủ, vì nếu MN không phải là đường chéo mà là cạnh thì Hcó thể sẽ nằm trên biên. Ta xử lý tình huống này như sau. Để ý rằng nếu MNlà một cạnh, chẳng hạn là cạnhABthì HBCDEcũng là một ngũ giác lồi có các đỉnh có toạ độ đều nguyên và ta có thể lặp lại lý luận nêu trên đối với ngũ giácHBCDE, … Ta có thể dùng đơn biến để chứng minh quá trình này không thể kéo dài mãi, và đến một lúc nào đó sẽ có 1 ngũ giác có điểm nguyên nằm trong. Tuy nhiên, ta có thể trình bày lại lý luận này bằng cách sử dụng phương pháp phản ví dụ nhỏ nhất:. Giả sử tồn tại một ngũ giác nguyên mà bên trong không chứa một điểm nguyên nào. Trong tất cả các ngũ giác như vậy, chọn ngũ giácABCDEcó diện tích nhỏ nhất. Nếu có nhiều ngũ giác như vậy thì ta chọn một trong số chúng. Theo lý luận đã trình bày ở câu a), tồn tại hai đỉnh M, Ncó cặp toạ độ cùng tính chẵn lẻ.
Khi đó ngũ giác HBCDEcó toạ độ các đỉnh đều nguyên và có diện tích nhỏ hơn diện tích ngũ giác ABCDE (mâu thuẫn do tính nhỏ nhất củaABCDE) nên bên trong ngũ giác HBCDEcó 1 điểm nguyên T (mâu thuẫn) vì T cũng nằm trong ngũ giácABCDE.