MỤC LỤC
Có nhiều hiện tượng xảy ra không theo các yêu cầu của định nghĩa cổ điển, chẳng hạn, tính xác suất một đứa trẻ sắp sinh là con trai, ngày mai trời mua lúc 5 giờ,. Trên cơ sở quan sát lâu dài các thực nghiệm khác nhau, người ta nhận thấy rằng tần suất xuất hiện một sự kiện có tính ổn định, thay đổi rất ít trong các loạt phép thử khác nhau và thay đổi xung quanh một hằng số xác định. Nói cách khác, khi số phép thử tăng lên vô hạn, tần suất xuất hiện sự kiệnAdần đến một số xác định, số đó gọi là xác suất của sự kiệnA.
Ở đây, đưa ra chứng minh cho trường hợp phép thử có hữu hạn kết quả đồng khả năng(định nghĩa cổ điển của xác suất). Giả sử không gian sơ cấp cónkết quả đồng khả năng. GọimAlà số kết quả thuận lợi cho sự kiện Axảy ra,mB là số kết quả thuận lợi cho sự kiệnB xảy ra. VìAvàB xung khắc nên không có kết quả nào thuận lợi cho cảAvàBnên số kết quả thuận lợi choA+Bxảy ra làmA+mB. Vì thế ta có. , Anlànsự kiện đôi một xung khắc thì. a) GọiAlà sự kiện 3 bi lấy ra cùng màu;Blà sự kiện 3 bi lấy ra màu xanh vàClà sự kiện 3 bi lấy ra màu đỏ. Xác suất có điều kiện của sự kiệnAkhi biết sự kiệnB đã xảy ra, ký hiệuP(A/B), được xác định như sau. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 viên bi không hoàn lại. Tìm xác suất để bi lấy ra lần thứ 2 là bi đỏ, biết rằng bi lấy ra lần thứ nhất là bi xanh?. GọiAlà sự kiện bi lấy lần 1 là bi xanh; GọiBlà sự kiện bi lấy lần thứ 2 là bi đỏ. Giả sử rằng công ty chỉ tuyển 2 người và khả năng tuyển mỗi người là như nhau. b) Giả sử có ít nhất một nữ được chọn. Tính xác suất để 2 nữ được chọn?. Tính xác suất để Huệ được chọn khi biết có ít nhất một nữ được chọn?. b) GọiBlà sự kiện có ít nhất một nữ được chọn. Khi đó, sự kiện 2 nữ được chọn khi biết có ít nhất một nữ được chọn làA/B. Vì sự kiệnAxảy ra thì sự kiệnB xảy ra, nghĩa làA⊂B ⇒A∩B =A. c) GọiClà sự kiện Huệ được chọn. , Anliên kết với cùng một phép thử vàP(A1A2. Lấy ngẫu nhiên lân lượt 2 sản phẩm. Tính xác suất để. a) Hai sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm?. b) Hai sản phẩm lấy ra có ít nhất một chính phẩm?. a) GọiAi là sự kiện lấy được chính phẩm lần thứi(i = 1,2);A là sự kiện lấy được hai chính phẩm. b) GọiBlà sự kiện lấy được ít nhất một chính phẩm. Thủ kho lấy ngẫu nhiên tường chìa một cho đến khi mở được kho thì dừng lại. Tính xác suất để:. b) GọiB là sự kiện mở được kho không quá 3 lần.
Đặc biệt khik =nta cóP(A1A2. Chú ý rằng tính độc lập toàn bộ thì suy ra độc lập từng đôi nhưng điều ngược lại nói chung không đúng. Để thấy điều này ta xét ví dụ sau. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu. GọiA, B, Clà sự kiện lấy ra được quả cầu xanh, đỏ, trắng. Tìm xác suất để trong khoảng thời gian T:. b) Có ít nhất một phân xưởng ngừng hoạt động?. c) Có đúng một phân xưởng ngừng hoạt động?. a) GọiAilà sự kiện phân xưởngingường hoạt động trong khoảng thời gian T(i= 1,2,3). GọiAlà sự kiện cả 3 phân xưởng ngừng hoạt động trong khoảng thời gian T. b) GọiBlà sự kiện có ít nhất một phân xưởng ngừng hoạt động trong khoảng thời gian T. Chú ý ta có thể giải câu này từ biểu thứcB =A1∪A2∪A3và áp dụng công thức cộng tổng quát. c) GọiClà sự kiện có đúng một phân xưởng ngừng hoạt động trong khoảng thời gian T. Định lý 2.3.7 (Định lý Bernoulli) Thực hiệnnphép thử độc lập. Khi đó, xác suất để sự kiệnAxảy ra đúngklần trong nphép thử đó là. Hệ quả 2.3.2 Với những giả thiết như trong định lý Bernoulli, xác suất để trongnphép thử sự kiệnA xảy ra ít nhấtk1lần và nhiều nhấtk2lần là. Số lần có khả năng xảy ra nhiều nhất. Định nghĩa 2.3.13 Chon phép thử Bernoulli. Sốmgọi là số lần xảy ra sự kiệnAnhiều nhất nếu. Định lý 2.3.8 Chonphép thử Bernoulli. Gọimlà số lần sự kiệnAxảy ra nhiều nhất, ta có. Khả năng thi đạt của các sinh viên đều như nhau và bằng70%. a) Tìm xác suất để có8sinh viên thi đạt?. b) Tìm xác suất để có ít nhât1sinh viên thi trượt?. c) Tìm xác suất để có ít nhất8sinh viên thi không đạt?. d) Tìm số sinh viên có khả năng thi đạt nhiều nhất trong10sinh viên?.
Hàm phân phối xác suất phản ánh mức độ tập trung xác suất về bên trái của điểmx. Từ các tính chất của xác suất ta suy ra các tính chất sau của hàm phân phối xác suất. , xn của biến ngẫu nhiên rời rạcXvà hàng thứ 2 liệt kê các xác suất tương ứngp1, p2,.
GọiXlà số chấm xuất hiện trên mặt của con xúc xắc thìXlà biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất. Định nghĩa 3.1.16 Cho biến ngẫu nhiên liên tụcX có hàm phân phối xác suất làF(x). Ở đây cần nhấn mạnh rằng: hàm phân phối xác suất F(x)được xác định dựa vào bảng phân phối xác suất nếuX là biến ngẫu nhiên rời rạc và được xác định thông qua hàm mật độ nếuX là biến ngẫu nhiên liên tục. Ví dụ 3.1.41 Cho biến ngẫu nhiên rời rạcXcó bảng phân phối xác suất. Ví dụ 3.1.42 Biến ngẫu nhiênXcó hàm phân phối xác suất như sau. Tìm xác suất đểXnhận giá trị trong khoảng[0,13) Giải. a) Vì hàm phân phốiF(x)liên tục tạix= 1tức là lim. b) Theo định nghĩa của hàm mật độ xác suất, ta có.
Một công ty bảo hiểm bán bảo hiểm nhân mạng cho người ở độ tuổi trên30với số tiền là100000đồng. Công ty muốn lãi trung bình khi bán một bảo hiểm là như thế là70000. Hỏi số tiền mà công ty bảo hiểm phải trả nếu người mua bảo hiểm đó chết là bao nhiêu?.
Gọialà số tiền mà công ty bảo hiểm phải trả nếu người mua bảo hiểm chết trong năm đó. Để đo mức độ phân tán của biến ngẫu nhiênXquanh gia trị kỳ vọngE(X), người ta đưa ra khái niệm phương sai như sau. Nếu biến ngẫu nhiên (X−a)2có kỳ vọng thì giá trị kỳ vọngE[(X−a)2]được gọi là phương sai của biến ngẫu nhiênX. Từ định nghĩa, ta suy ra công thức tính phương sai như sau:. a) NếuXlà biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất X x1 x2.
Độ lệch chuẩn là một biến đặc trưng cho tính ổn định của biến ngẫu nhiên X. Trong lĩnh vực đầu tư, độ lệch chuẩn đặc trưng cho mức độ rủi ro.
Cách xác định xác suất của một sự kiện liên kết với biến chuẩn Định nghĩa 3.3.21 (Hàm Laplace) Hàm laplace là hàm số. Định lý 3.3.14 Hàm mật độf(x)của phân phối khi bình phươngχ2nvớinbậc tự do là.
Chú ý, nếu trong các bảng phân phối tần số thực nghiệm trên ta thay tần sốnibỡi tần suất tương ứngfita được bảng gọi là bảng phân phối tần suất(chia lớp hoặc không chia lớp) thực nghiệm. Định lý 4.2.19 Giả sửF(x)là hàm phân phối xác suất củaXvàFn(x)là hàm phân phối thực nghiệm củaX.
Công thức tính toán Khi tính toán các tham số đặc trương của mẫu thực nghiệm để tránh việc tính toán các số có giá trị lớn phức tạp, người ta thường sử dụng các tính chất sau. Thông thường ta chọnx0là gia trị tại đó tần số lớn nhất,dlà khoảng cách đều(nếu có).
, xn)là ước lượng bền vững củaθ. Ước lượng hiệu quả. , xn)của tham sốθđược gọi là ước lượng tốt của tham sốθnếu nó là ước lượng không chệch, bền vững và hiệu quả củaθ. Ước lượng của kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X. , xn)là mẫu ngẫu nhiên củaX. Ý nghĩa: - Muốn ước lượng kỳ vọngE(X)ta lấy trung bình mẫu ước lượng cho nó. - Muốn ước lượng phương saiD(X)ta lấy phương sai mẫu điều chỉnh ước lượng cho nó.
X là đại lượng ngẫu nhiên biểu thị đặc trưng nghiên cứu trên tậpΩcơ phân phối chuẩn với kỳ vọngE(X) = àchưa biết. Tùy theo độ lệch chuẩnδđã biết hay chưa mà tính độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnhδn2−1. GọiX là độ cứng của viên bi bằng thép thìXlà đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
Giả sử xằng biến ngẫu nhiênXchỉ lượng xăng hao phí của một loại ôtô trên trên đoạnABcó phân phối chuẩn. Hãy ước lượng khoảng tin cậy đối xứng của của mức hao phớ xăng trung bỡnhà?. Muốn biết xác suất xảy ra biến cố A hay p=P(A), ta lặp lại phép thửnlần(lấy mẫu có lặp kích thướcn).
Khoảng tin cậy cho tỉ lệplà(fn−ϵ, fn+ϵ) ϵđược xác định như sau:. b) Cần lấy thêm ít nhất bao nhiêu gạch nữa để tỉ lệ gạch loại 2 toàn bộ so với tỉ lệ mẫu có sai số không vượt quá0,001. Giả sửXlà biến ngẫu nhiên biểu thị đặc trưng nghiên cứu trên tậpΩcó phân phối chuẩnD(X) = δ2chưa biết. Tính xác suất các sự kiện sau trong hai tr-ờng hợp có hoàn lại và không hoàn lại.
Biết học sinh không thi lại nếu làm đ-ợc ít nhất một câu lý thuyết và 2 câu bài tập hoặc làm đ-ợc 2 câu lý thuyết và một bài tập.