MỤC LỤC
Cho A là một tập không rỗng và R là một quan hệ tơng đơng trên A. Chứng minh rằng R là một quan hệ tơng đơng. Chứng minh rằng R là một quan hệ tơng đơng. R đợc gọi là quan hệ vòng quanh nếu aRb và bRc kéo theo cRa. Chứng minh R là quan hệ phản xạ và vòng quanh nếu và chỉ nếu nó là một quan hệ tơng đơng. Trong số các tập hợp của các tập con sau, tập hợp nào là phân hoạch của tập các số nguyên ? a. Tập con các số chẵn và tập con các số lẻ. Tập con các số nguyên dơng và tập con các số nguyên âm. tập con các số nguyên có trị tuyệt đối không vợt quá 100 và tập con các số nguyên lớn hơn 100. Cho R là một quan hệ tơng đơng, kí hiệu [a] là lớp tơng đơng chứa phần tử a. Hãy chứng minh các khẳng định sau là tơng đơng :. chứa trong tập con nào đó của P2). Cho p(n) là kí hiệu số các quan hệ tơng đơng khác nhau trên một tập n phần tử (và cũng chính là số các phân hoạch của một tập n phần tử). Chứng minh rằng bao đóng của quan hệ R đối với tính chất P nào đó nếu tồn tại, là giao của tất cả các quan hệ chứa R và có tính chất P.
Chứng minh rằng bao đóng đối xứng của một bao đóng phản xạ của một quan hệ bất kỳ cũng chính là bao đóng phản xạ của bao đóng đối xứng của quan hệ đó. Chứng minh rằng bao đóng bắc cầu của bao đóng đối xứng của bao đóng phản xạ của một quan hệ R là quan hệ tơng đơng nhỏ nhất chứa R. Cho R là quan hệ chứa cặp (a,b) nếu a và b là các máy tính có đờng nối trực tiếp.
Mô phỏng thuật toán Warshall để tìm bao đóng phản xạ của bao đóng bắc cầu. Viết chơng trình tìm bao đóng của quan hệ R theo tính chất P, với P là tính : a.
Bằng các phép biến đổi tơng đơng chứng minh tính tơng đơng của các cặp công thức sau : a. Lập công thức mệnh đề từ các mệnh đề p, q, r sao cho nó đúng khi và chỉ khi p và q đúng và r là sai. Lập công thức mệnh đề từ các mệnh đề p, q, r sao cho nó đúng khi và chỉ khi 2 trong 3 mệnh.
Biểu diễn câu sau chỉ dới dạng phép tuyển và phủ định : "Nếu CSDL danh bạ đợc mở thì.
Cho P(x, y) là câu “x đã học môn y”, với không gian của x là tập hợp sinh viên trong lớp, không gian của y là tập hợp các môn học. Có một sinh viên lớp này đã ở tất cả các phòng của ít nhất một nhà trong kí túc xá. Tất cả sinh viên lớp này ít nhất đã ở một phòng trong tất cả các nhà của kí túc xá.
Chứng minh tổng một số hữu tỷ với một số vô tỷ là một số vô tỷ nhờ chứng minh bằng mâu thuÉn. Chứng minh rằng một số nguyên không chia hết cho 5, thì bình phơng của nó khi chia cho 5 sẽ d 1 hoặc 4. Hãy chứng minh hoặc bác bỏ rằng mọi số nguyên dơng có thể đợc viết dới dạng tổng các bình phơng của hai số nguyên.
Chứng minh rằng nếu n là một số nguyên dơng sao cho tổng các ớc của nó bằng n + 1, thì n là số nguyên tố. Chứng minh rằng ít nhất một trong các số thực a1, a2, .., an lớn hơn hay bằng trung bình cộng của các số này. *Dùng bài tập 31 chỉ ra rằng nếu 10 số nguyên dơng đầu tiên đợc đặt xung quanh một vòng tròn, theo một thứ tự bất kỳ, sẽ tồn tại 3 số nguyên đứng liền nhau có tổng lớn hơn hay bằng 17.
Chứng minh hoặc bác bỏ rằng có ba số nguyên dơng lẻ liên tiếp là các số nguyên tố, tức là các số nguyên tố lẻ dạng p, p+2 và p+4 (còn gọi là bộ số sinh ba). Chứng minh hoặc bác bỏ rằng với n là một số nguyên dơng khi đó có n số nguyên dơng lẻ liên tiếp là các số nguyên tố. Quy tắc suy luận nào đã dùng để khẳng định kết luận của lý lẽ Lewis Carroll trong ví dụ 14 của 1.3 ?.
Quy tắc suy luận nào đã dùng để khẳng định kết luận của lý lẽ Lewis Carroll trong ví dụ 15 của 1.3 ?. Hãy đa ra một chứng minh kiến thiết của mệnh đề “Với mọi số nguyên dơng n có một số nguyên chia hết cho nhiều hơn n số nguyên tố". *Chứng minh rằng không thể phủ hoàn toàn bàn cờ 8x8 bằng các quân domino nếu hai ô ở các góc đối diện bị cắt bỏ.
Bằng cách chuyển các gỉả thiết trên thành các mệnh đề chứa các biến và các toán tử lôgic. Nếu không có nhiều sinh viên thích môn lôgic khi đó hoặc là môn toán không dễ hoặc là lôgic không khó. *Hãy xác định xem suy luận sau đây có cơ sở hay không: “Nếu một siêu nhân có khả năng và muốn ngăn cản một tội ác thì anh ta sẽ làm điều đó.
Chứng minh hay bác bỏ rằng nếu a và b là các số hữu tỷ khi đó ab cũng là hữu tỷ. Nếu một siêu nhân không có khả năng ngăn cản một tội ác thì anh ta là ngời bất lực. Chỉ ra rằng với bất cứ bu phí nào là một số nguyên lớn hơn 7 xu cũng có thể tạo đợc bằng chỉ hai loại tem 3 xu và 5 xu.
Chứng minh bằng quy nạp rằng tập hợp n phần tử có n(n-1)/2 tập con chứa đúng 2 phần tử trong đó n là số nguyên lớn hơn hay bằng 2. 101.Sử dụng quy nạp toán học chứng minh:. 102.Với giá trị n nguyên không âm nào ta có n2 ≤ n! ? Hãy chứng minh điều khảng định của bạn bằng quy nạp toán học. Chứng minh câu trả lời của bạn trong phần a) bằng quy nạp toán học. Chứng minh câu trả lời của bạn trong phần a) bằng nguyên lý thứ hai của quy nạp toán học. 106.Chỉ dùng đồng 10 xu và đồng 25 xu có thể tạo đợc các khoản tiền là bao nhiêu?. Cho P(n) là mệnh đề tất cả cỏc con ngựa trong một tập n con ngựa là cựng màu.
Bây giờ gỉa sử P(n) là đúng, tức là các con ngựa trong một tập bất kỳ có n con là cùng màu. Vì tập n con ngựa đầu tiên và tập n con ngựa cuối cùng là gối lên nhau, nên tất cả n+1 con ngựa là cùng màu. Điều này chứng tỏ P(n+1) là đúng và chúng ta hoàn tất chứng minh bằng quy nạp.
119.*Chứng minh rằng dạng tổng quát của quy nạp toán học là phơng pháp có cơ sở bằng cách chỉ ra rằng nó đợc suy ra từ tính đợc sắp tốt. 120.Chứng minh rằng một biến thể sau đây của quy nạp toán học là phơng pháp có cơ sở để chứng minh P(n) là đúng với mọi n nguyên dơng. điều hoà thứ n). 128.*Tính chất đợc sắp tốt có thể dùng để chứng minh rằng hai số nguyên dơng a và b có chỉ một ớc chung lớn nhất.
Gọi S là tập các số nguyên dơng dạng as + bt, trong đó s, t là các số nguyên. 132.Chứng minh hoặc bác bỏ rằng tất cả các bàn cờ có dạng dới đây đều có thể đợc phủ hoàn toàn khi sử dụng các miếng lát hình chữ L, với n là số nguyên dơng. 134.*Chỉ ra rằng một bàn cờ n x n khuyết một hình vuông có thể đợc phủ hoàn toàn khi dùng các miếng lát hình chữ L nếu n>5, n lẻ và không chia hết cho 3.
Dùng qui nạp toán học chứng minh rằng F là một hàm đợc định nghĩa tốt. Dùng qui nạp toán học chứng minh rằng F là một hàm đợc định nghĩa tốt. 190.Tìm thuật toán đệ qui tính a2n trong đó a là một số thực và n là một số nguyên dơng.
199.Tìm thuật toán đệ qui tìm số các phân hoạch của một số dơng theo định nghĩa đệ qui của nó. 201.Cho định nghĩa đệ qui tìm xâu wi với i là số nguyên, w là xâu nhị phân.
208.Dùng qui tắc suy diễn đa ra trong bài tập 5 kiểm chứng tính đúng đắn của chơng trình. 211.Hãy giải trình mọi chi tiết trong chứng minh tính đúng đắn đợc cho trong ví dụ 5.
Xây dựng thủ tục đệ qui sinh ra dẫn xuất đầy đủ của xâu ω trong văn phạm G.
Văn phạm do bạn xây dựng đợc tơng đơng với văn phạm nào đã biết.