Phát triển Tư duy Thuật toán ở Học sinh Phổ thông thông qua Dạy học Thuật toán

THỰC TIỄN DẠY HỌC THUẬT TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

• Kết quả khảo sát điều tra tình hình học thuật toán 1. Về trình độ chung của học sinh
• Thực tế dạy học thuật toán trong môn Toán và môn Tin học 1. Kết quả điều tra tình hình dạy học thuật toán nói chung

2 về điểm kiểm tra cao nhất, thấp nhất và điểm trung bình của các thang đo nhận biết, thông hiểu, vận dụng, và PTTH (phân tích tổng hợp) cho thấy cả ba cột điểm thấp nhất, cao nhất và điểm trung bình đều giảm dần và giảm rất nhanh khi xuống đến thang đo PTTH. Về sự phân biệt năng lực nhận thức của học sinh giữa các khu vực Trên cơ sở phân tích thống kê kiểm định, ta thấy hiện tƣợng điểm trung bình giữa các nhóm HS thuộc ba khu vực thành phố, thị xã, và nông thôn không sai khác một cách có ý nghĩa về mặt thống kê.

Hiểu bài toán

Ghi chú: Sau khi bài toán đƣợc phát biểu xong, GV có thể cho HS biết bài toán trên có thể đƣợc gọi là bài toán qui hoạch tuyến tính. Vậy bài toán đã cho trở thành: Hãy tìm nghiệm của bài toán, tức là tìm bộ (x; y) thỏa mãn hệ điều kiện sao cho hàm mục tiêu đạt giá trị nhỏ nhất.

Hiểu hướng giải quyết giải bài toán Các mức độ của biểu hiện này bao gồm

Miền nghiệm của hệ điều kiện và tập các phương án của bài toán Nhận xét: Nếu HS hiểu được ba bước giải bài toán trên đây, giải thích được cơ sở lý thuyết của các bước này như các chú ý đã nêu thì HS đã đạt được mức độ cao nhất “Đưa ra được đầy đủ công cụ và hướng giải quyết bài toán”.

Hiểu thuật toán giải bài toán

- Sau khi hoàn thành xong công việc gạch bỏ các miền mặt phẳng không phải là miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ, ta nhận được miền chung còn lại không bị gạch bỏ là miền nghiệm của hệ điều kiện đã cho. Nói cách khác, lần lƣợt tìm tọa độ của các đỉnh của đa giác D bằng cách giải từng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, trong đó hai phương trình của hệ tương ứng với hai đường thẳng đã vẽ ở bước 1 mà chúng cắt nhau tại giao điểm đó.

Xây dựng được thuật toán tương đương

Và, việc giải bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu g(x; y) hoàn toàn tương tự như giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu f(x; y). Cách làm này cho thấy hàm mục tiêu f(x; y) đạt giá trị nhỏ nhất tại một đỉnh nào đó của đa giác bao miền nghiệm của hệ.

Đánh giá đƣợc thuật toán Biểu hiện này có những mức độ sau đây

Khi đó k là giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu và (x0; y0) là nghiệm cần tìm của bài toán.

CÁC BIỂU HIỆN CỦA TƢ DUY THUẬT TOÁN TRONG GIẢI BÀI TOÁN DỰA VÀO CÁC CÔNG CỤ TÍNH TOÁN TỰ ĐỘNG

- Không nhƣ đối với thuật toán ở mức thủ công, việc hiểu thuật toán ở mức điều khiển đòi hỏi phải quan tâm đến một số đặc trƣng của tính toán điều khiển nhƣ: các cấu trúc điều khiển, biểu thức điều kiện trong điều khiển, sự thay đổi giá trị của biến, thứ tự thực hiện các chỉ dẫn và các bước. (2) Hiểu toàn bộ thuật toán: Giải thích đƣợc một công việc nào đó đƣợc thực hiện như thế nào trong một bước hoặc một nhóm các bước của thuật toán dựa vào các cấu trúc điều khiển trong thuật toán, tuy nhiên không biết đƣợc thuật toán có thực hiện đúng không, nếu nhƣ có sự thay đổi, điều chỉnh nào đó trong thuật toán. (3) Hiểu rừ thuật toỏn: Hiểu rừ được từng phần, từng bước của thuật toỏn được thực hiện nhƣ thế nào, tại sao phải thực hiện nhƣ thế, và hơn nữa giải thích đƣợc thuật toán sẽ thay đổi nhƣ thế nào nếu điều chỉnh một chi tiết nào đó trong nó, ví dụ nhƣ thay đổi giá trị khởi tạo cho biến, thay dấu > bởi dấu  , thay đổi thứ tự hai chỉ dẫn, thay đổi thứ tự giữa hai bước.

Với một bộ Input đầy đủ (tức là một tập dữ liệu vào với đầy đủ các khả năng có thể xảy ra) nếu mô phỏng thuật toán luôn cho kết quả đúng thì có thể khẳng định thuật toán là đúng đắn mà không cần chứng minh bằng công cụ Toán học. Áp dụng và mô phỏng thuật toán. Áp dụng thuật toán để trả lời câu hỏi của bài toán xuất phát. Thuật toán chỉ dùng một biến M để biểu thị cho tất cả các giao điểm này. Tuy nhiên, để minh họa các điểm này theo đúng thứ tự chúng đƣợc sinh ra bởi thuật toán, ta thay chúng lần lƣợt bởi các kí hiệu từ A1 đến A6 nhƣ trong Hình 2. Theo thuật toán, hàm mục tiêu đƣợc khởi tạo giá trị tại bước 2 là:. Theo thuật toán từ bước 4 đến bước 5, tọa độ của các giao điểm trên đây và giá trị hàm mục tiêu tương ứng là:. Một số giao điểm đƣợc thuật toán bỏ qua không tính giá trị hàm mục tiêu vì điểm đó không nghiệm đúng bất phương trình tương ứng. đều thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ nên hàm mục tiêu được tính tại các điểm này và sau đó so sánh với f0 để tối ƣu hóa f0 , x0 và y0. 0.7) là giá trị tốt nhất của hàm mục tiêu cùng với nghiệm của bài toán. (1) Xây dựng được phiên bản mô tả mới cho thuật toán: Mô tả lại thuật toán theo một cách trình bày khác nhưng vẫn có cùng hướng giải quyết bài toán đã nêu (vẫn cùng một thuật toán), và có thể giải thích cho người khác hiểu thuật toán thông qua cách mô tả và diễn đạt khác này (Giống nhƣ biểu hiện này trong mô tả thuật toán ở mức thủ công). (2) Chuyển được mô tả thuật toán từ mức thủ công sang mức điều khiển: Chuyển đƣợc thuật toán giải quyết bài toán đƣợc mô tả ở mức 1 (mức mô tả thuật toán sao cho con người có thể hiểu và thực hiện) sang thuật toán được mô tả ở mức 2 (mức biểu diễn thuật toán sao cho có thể dễ chuyển sang dạng mà máy tính hiểu và thực hiện).

CÁC CẤP ĐỘ CỦA SỰ PHÁT TRIỂN TƢ DUY THUẬT TOÁN 1. Ý nghĩa của việc xác định các cấp độ tƣ duy thuật toán

Hơn nữa, các cấp độ tƣ duy thuật toán là căn cứ giúp cho GV đề ra mục tiêu cụ thể cần đạt đƣợc của việc dạy và học thuật toán, từ đó xác định kế hoạch dạy học, kế hoạch bài dạy, phương pháp dạy học thuật toán để sao cho quá trình dạy học thuật toán đạt đƣợc mục tiêu đã dự kiến. Ở góc độ giải bài tập toán, HS đạt đƣợc cấp độ thiết kế đƣợc hiểu là có khả năng khám phá thuật toán mới để giải quyết bài toán quen thuộc, và thuật toán mới này có thể tốt hơn thuật toán đã biết, hoặc giải được bài toán mới bằng cách qui nó về những bài toán đã biết thuật toán để giải. Ý tưởng thuật toán cho bài toán có thể đƣợc tóm tắt nhƣ sau: (1) Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có hai nghiệm và điều kiện (nếu có) để hệ thức C có nghĩa; (2) Từ hệ thức C chứa nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình tìm m; (3) Đối chiếu với điều kiện để xác định m.

HS có khả năng hiểu được ý tưởng thuật toán, đó là biến đổi hệ thức C sang một hệ thức mà trong đó hai nghiệm của phương trình chỉ xuất hiện ở hai dạng (x1 + x2) và x1x2, sau đó, áp dụng định lí Vi-ét, các tổng và tích này tương ứng được thay bởi các biểu thức -b(m)/a(m) và c(m)/a(m). Khi đạt đƣợc cấp độ chuyển giao, HS không chỉ đạt đƣợc cấp độ thực hiện, nghĩa là không chỉ mô tả lại đƣợc thuật toán giải bài toán tổng quát và các bài tập thuộc dạng tổng quát đó theo đúng nhƣ thuật toán mẫu, mà còn có khả năng mô tả lại được thuật toán bằng cách khác tương đương. Tích của hai thừa số liên quan đến các nghiệm của phương trình bậc hai có thể làm cho HS liên hệ đến biểu thức tích t1t2 = c/a trong định lí Vi-ét, trong đó t1 và t2 là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với ẩn t; và HS hy vọng rằng phương trình này có thể nhận được từ phương trình bậc hai đã cho theo một cách nào đó sao cho điều kiện (x1)(x2)<0 tương đương với điều kiện t1t2 < 0.