MỤC LỤC
Không gian con của không gian thỏa tiên đề đếm được thứ nhất (thứ hai) cũng thỏa tiên đề đếm được thứ nhất (thứ hai). Tích đếm được các không gian thỏa tiên đề đếm được thứ nhất (thứ hai) là không gian thỏa tiên đề đếm được thứ nhất (thứ hai). Định lý Cho không gian X thỏa tiên đề đếm được thứ nhất thì tại mỗi điểmx.
Mọi không gian con đóng của một không gian compact đếm được là không gian compact đếm được. Nếu một không gian đếm được thỏa tiên đề đếm được thứ hai thì nó là không gian compact. Định nghĩa Không gian X được gọi là không gian paracompact nếu mọi phủ mở của X luôn có một mịn mở địa phương hữu hạn.
Không gian X được gọi là không gian paracompact đếm được nếu mọi phủ mở đếm được của X luôn có một mịn mở địa phương hữu hạn. Định nghĩa Không gian X được gọi là không gian paracompact con nếu mọi phủ mở của X luôn có một mịn đóng rời rạc. Không gian X được gọi là không gian paracompact con đếm được nếu mọi phủ mở đếm được của X luôn có một mịn đóng rời rạc.
Định lý Giả sử A, B là một các tập con đóng của không gian Hausdorff paracompact X. Mọi phủ mở có lực lượng m của X luôn có một mịn là phủ mở hữu hạn địa phương và X là không gian chuẩn tắc paracompact đếm được.
Nếu không gian G / H thỏa tiên đề đếm được thứ nhất thì G cũng thỏa tiên đề đếm được thứ nhất.
Định lý Nếu X là một không gian compact với một G đường chéo thì X là không gian khả mêtric. Trong chương hai và chương ba, các không gian đều là không gian Hausdorff và các ánh xạ là toàn ánh liên tục.
Định nghĩa Cho X là một không gian tôpô, X được gọi là không gian dãy nếu mọi tập con mở (đóng) theo dãy của X là tập mở (đóng). Hệ quả [7] Ảnh mở (đóng) liên tục của một không gian dãy là không gian dãy. Hệ quả Nếu không gian tích X Y là không gian dãy thì X và Y là không gian dãy.
Mệnh đề Tổng tôpô rời rạc của họ bất kì không gian dãy là không gian dãy. Mệnh đề [7] Mọi không gian con mở (đóng) của không gian dãy là không gian dãy. Giả sử M là không gian con mở bất kỳ của không gian dãy X và U là tập con mở theo dãy của M.
Giả sử M là không gian con đóng bất kỳ của không gian dãy X và U là tập con đóng theo dãy của M. Bổ đề Nếu mọi tập con compact đếm được (compact dãy) của không gian tôpô X có tính dãy thì mọi tập con compact đếm được (compact dãy) của X là đóng. Do C không đóng trong D, nên C không là đóng theo dãy trong D , theo đó tồn tại một dãy xnn trong Csao cho dãy xnn hội tụ về x trong D.
Bổ đề Cho nhóm tôpô dãy của G thỏa tiên đề đếm được của G là khả mêtric. Khi đó, nếu mỗi không gian con compact thứ nhất thì mỗi không gian con compact dãy. Một không gian X được gọi là không gian Fréchet nếu nó Fréchet tại mọi điểm x X.
Mệnh đề [6] Tổng tôpô họ bất kỳ các không gian Fréchet là không gian Fréchet. Mọi không gian thỏa tiên đề đếm được thứ nhất là không gian Fréchet ngặt.
Bổ đề Cho P là tính chất tôpô được bảo toàn qua ánh xạ liên tục và di truyền qua tập đóng. Khi đó tính chất P đóng là một tính chất thớ nghịch đảo chính quy và tính chất P. Bổ đề Tính chất “thỏa tiên đề đếm được thứ nhất” là một tính chất thớ nghịch đảo đối với tập compact dãy.
Bổ đề trên có thể phát biểu lại là: Tính chất “mọi tập compact dãy đều thỏa tiên đề đếm được thứ nhất” là tính chất thớ nghịch đảo. Giả sử mọi tập con compact dãy của cả hai không gian Y và thớ f 1 y với mọi y Y đều thỏa tiên đề đếm được thứ nhất. Do không gian F thỏa tiên đề đếm được thứ nhất và mọi tập con compact dãy của không gian đếm được thứ nhất là đóng nên g là ánh xạ đóng.
Bổ đề sau có thể vận dụng vào các không gian sau: không gian dãy, không gian Fréchet, không gian Fréchet ngặt, không gian Fréchet ngặt và không gian thỏa tiên đề đếm được thứ nhất. Tổng tôpô rời rạc của các không gian có tính chất P thì có tính chất P. Bổ đề Nếu mỗi không gian con compact (compact đếm được, compact dãy) của nhóm tôpô G là Fréchet thì mỗi không gian con compact (compact đếm được, compact dãy) của nhóm tôpô G cũng là không gian Fréchet mạnh.
Đầu tiên mỗi tập con compact (compact đếm được, compact dãy) của nhóm tôpô G là đóng theo giả thiết và mệnh đề 2.1.15. Cho A là tập con compact (compact đếm được, compact dãy) của G , khi đó A là đóng và là không gian Fréchet. Tiếp theo, chúng ta chứng tỏ rằng không gian con SB của G là đóng và Frộchet.
Khi A là tập compact (compact đếm được, compact dãy), thì B cũng là compact (compact dãy, vì không gian Fréchet đếm được là compact dãy), do dó tích S B của không gian S và B là compact (compact dãy). Đầu tiên, chúng ta chứng minh rằng mỗi dãy con của dãy xn n trong thể với với là. Định lý Giả sử rằng H là nhóm con đóng của nhóm tôpô G sao cho mọi tập con compact (compact đếm được, compact dãy) của nhóm H thỏa tiên đề đếm được thứ nhất.
Sự thác triển các tính chất trong nhóm con thỏa tiên đề đếm được thứ.
Sự thác triển các tính chất trong nhóm con thỏa tiên đề đếm được thứ. thì F là một họ các tập con đếm. Do tính thuần nhất của nhóm tôpô G. không gian địa phương nên G là một không gian paracompact địa phương, 0 như vậy theo bổ đề 3.1.7 thì G là một không gian paracompact. Do tính chất trở thành một 0 không gian có tính di truyền, chúng ta có thể giả sử rằng A là tập hữu hạn địa phương trong G. Theo tính chất paracompact của G , vì mỗi họ đếm được của tập con mở trong không gian khả ly là đếm được nên họ A là đếm được hình sao. Hệ quả [5] Cho H là một nhóm con đóng thỏa tiên đề đếm được thứ hai của nhóm tôpô G. k lưới) hình sao đếm được, thì hình sao đến được. Do không gian con H của nhóm tôpô G thỏa tiên đề đếm được thứ nhất tại phần tử trung hòa e của G , tồn tại một họ đếm được U n. Khi đó F là một họ hình sao đếm được của G. Do gian con. và mở trong không , nên suy ra rằng. Thật vậy, lấy bất. Như vậy, G có mộtcs lưới hình sao đếm được. là tập khác rỗng và mở trong không gian con. Do tính chất “mỗi tập con compact thì thỏa tiên đề đếm được thứ nhất” là một tình chất ba không gian, nên mỗi tập con compact của G thỏa tiên đề đếm được thứ nhất, do đó G có một k lưới hình sao đếm được theo bổ đề 3.1.11. Câu hỏi đặt ra: Cho H là một nhóm con thỏa tiên đề đếm được thứ hai của một nhóm tôpô. được) hay không?. Định lý Cho H là nhóm con đóng thỏa tiên đề đếm được thứ hai và bất biến của nhóm tôpô G. Từ bổ đề 3.1.12 ta có nhóm thương G / H là một không gian mêtric hoặc là một tổng tôpô của không gian cosmic.
Giả sử rằng tồn tại một tập con A đóng theo dãy nhưng không đóng trong V. Theo khẳng định 3 và tính thuần nhất của G suy ra G là một không gian dãy địa phương. Thật vậy, tồn tại hai nhóm tôpô Fréchet G và H sao cho không gian tích G H không đếm được.
Hệ quả Cho H là nhóm con bất biến, compact địa phương, thỏa tiên đề đếm được thứ hai của nhóm tôpô G. Định lý Cho H là một nhóm con khả mêtric compact địa phương của nhóm tôpô G. Khi đó, nếu không gian thương G / H là không gian Fréchet ngặt thì G cũng là không gian Fréchet ngặt.
Mặt khác ta có không gian khả mêtric là cũng là không gian thỏa tiên đề đếm được thứ nhất nên tập một điểm b là một G tập. Định lý Cho H là một nhóm con bất biến và liên thông, compact địa phương của nhóm tôpô G. Ta đã biết nếu nhóm tôpô G không liên thông dãy thì tồn tại hai tập con khác rỗng, rời nhau, mở theo dãy A và B của G sao cho GAB.
Cho nhóm tôpô G và H là nhóm con compact địa phương và liên thông dãy của G. Nếu không gian thương G / H là liên thông dãy thì có kết luận được rằng G cũng là liên thông dãy hay không?. Cho H là một nhóm con đóng, liên thông dãy, chứa được của một nhóm tôpô Hausdorff G.