MỤC LỤC
- Đờng phân giác trong (hoặc ngoài) của một tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn đó. - Hai tam giác đồng dạng là hai tam giác có các góc tơng ứng bằng nhau và các cạnh tơng ứng tỉ lệ. f) Định lí về hai tam giác đồng dạng:. - Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác. *) Lu ý: Định lí cũng đúng đối với trờng hợp đờng thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại. g) Các trờng hợp đồng dạng của hai tam giác. *)Trờng hợp 1: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu. *)Trờng hợp 2: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng. *)Trờng hợp 3: Nếu hai góc của tam giác này lần lợt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng;. h) Các trờng hợp đồng dạng của hai tam giác vuông. *)Trờng hợp 1: Nếu hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau thì. chúng đồng dạng. Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ 15. *)Trờng hợp 2: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng. *)Trờng hợp 3: Nếu cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia thì hai giác đó đồng dạng. Tỉ số hai đờng cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng.
*)Trờng hợp 2: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng. *)Trờng hợp 3: Nếu cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia thì hai giác đó đồng dạng.
Quan hệ vuông góc giữa đờng kính và dây. c) Đờng thẳng và đờng tròn không giao nhau (không có điểm chung).
- Tâm của đờng tròn bàng tiếp là giao điểm của hai đờng phân giác các góc ngoài tại hai đỉnh nào đó hoặc là giao điểm của một đờng phân giác góc trong và một đờng phân giác góc ngoài tại một đỉnh. - Với một tam giác có ba đờng tròn bàng tiếp (hình vẽ là đ- ờng tròn bàng tiếp trong góc A).
Vị trí tơng đối của hai đờng tròn, tiếp tuyến chung của hai đ-. d) Tiếp tuyến chung của hai đờng tròn.
+) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. +) Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông.
- Hai cung bị chắn là hai cung nằm bên trong góc, hình vẽ bên: BECã là góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn, có hai cung bị chắn là. - Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
Công thức tính độ dài đờng tròn (chu vi hình tròn) bán kính R là:. Trong đó: C : là độ dài đờng tròn R: là bán kính đờng tròn d: là đờng kính đờng tròn. b) Độ dài cung tròn. d) Diện tích hình quạt tròn.
Ph ơng pháp 2 : Dựa vào dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song: Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc. đồng vị bằng nhau) thì a và b song song với nhau. Ph ơng pháp 3 : Hai đờng thẳng cùng song song với đờng thẳng thứ ba thì song song với nhau. Ph ơng pháp 4 : Hai đờng thẳng cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba thì song song với nhau. Ph ơng pháp 1 : Chứng minh hai góc đó là hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng nhau. Ph ơng pháp 2 : Chứng minh hai góc đó là hai góc tơng ứng của hai tam giác đồng dạng. Ph ơng pháp 4 : Nếu hai đờng thẳng song song => hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau. Ph ơng pháp 5 : Chứng minh hai góc của cùng một tam giác cân. Ph ơng pháp 6 : Chứng minh hai góc của cùng một tam giác đều. Ph ơng pháp 7 : Chứng minh hai góc cùng bằng góc thứ ba. Ph ơng pháp 8 : Chứng minh hai góc bằng với hai góc bằng nhau khác. Ph ơng pháp 9 : Chứng minh hai góc cùng phụ hoặc cùng bù với một góc thứ ba. Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ 31. Ph ơng pháp 10 : Chứng minh hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau. n) Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. Ph ơng pháp 1 : Chứng minh hai đoạn thẳng là hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau. Ph ơng pháp 2 : Sử dụng tính chất hai đờng chéo của hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông cắt nhau tại trung điểm của mỗi. Ph ơng pháp 3 : Vận dụng tính chất hai cạnh bên của tam giác cân bằng nhau. Ph ơng pháp 4 : Vận dụng tính chất ba cạnh của tam giác đều bằng nhau. Ph ơng pháp 5 : Vận dụng sự bằng nhau của các cạnh đối của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi , hình vuông. Ph ơng pháp 6 : Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba. Ph ơng pháp 7 : Chứng minh hai đoạn thẳng là hai cạnh bên của hình thang cân. Ph ơng pháp 8 : Trong một đờng tròn hoặc trong hai đờng tròn bằng nhau, hai dây căng hai cung bằng nhau thì bằng nhau. Ph ơng pháp 9 : Trong một đờng tròn hoặc trong hai đờng tròn bằng nhau, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Ph ơng pháp 10 : Vận dụng định lí, nếu một đờng thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì nó sẽ đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. Ph ơng pháp 11 : Vận dụng định nghĩa đờng trung trực. o) Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Qua một điểm ở ngoài một đờng thẳng, chỉ có một đờng thẳng song song với đờng thẳng đã cho. Qua một điểm ở ngoài một đờng thẳng, chỉ có một đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng đã cho. Ph ơng pháp 4 : Chứng minh đờng thẳng vẽ qua hai điểm đi qua điểm còn lại. Ph ơng pháp 5 : Vận dụng tính chất của hình bình hành là hai đờng chéo của chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng. p) Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy. Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu. Ph ơng pháp 1 : Dựa vào tính chất các đờng đồng quy trong tam giác: Ba đờng cao, ba đờng trung tuyến, ba đờng phân giác, ba đ- êng trung trùc. Ph ơng pháp 2 : Chứng minh giao điểm của hai đờng thẳng nằm trên đờng thẳng thứ ba. Ph ơng pháp 3 : Chứng minh các đờng cùng đi qua một điểm cố. u ý : Các phơng pháp trên có thể đợc vận dụng bởi những kĩ năng khác nhau. q) Chứng minh các điểm cùng thuộc một đờng tròn. Ph ơng pháp 1 : Chứng minh các điểm cách đều một điểm cố. định, khoảng cách đó là bán kính của đờng tròn. Ph ơng pháp 2 : Nếu một điểm nhìn một đoạn thẳng dới góc 900, thì theo quỹ tích cung chứa góc, điểm đó thuộc đờng tròn nhận. đoạn thẳng ấy là đờng kính. Ph ơng pháp 3 : Nếu chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đờng tròn, ta có thể chứng minh tứ giác nội tiếp. Ph ơng pháp 4 : Nếu chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đờng tròn, ta có thể chứng minh bốn điểm đó là bốn đỉnh của hình vuông, hình chữ nhật, hình thang cân. r) Chứng minh quỹ tích của điểm là đờng tròn. Điểm chuyển động trên đờng tròn, nhận điểm cố định làm tâm, khoảng cách không đổi là bán kính. s) Chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp. Ph ơng pháp 2: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. Điểm đó là tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác. Ph ơng pháp 4: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc α. Ph ơng pháp 5: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng minh tứ giác đó là một trong các hình : Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân. t) Chứng minh một đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn;. ĐĐể chứng minh đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) tại điểm A ta chứng minh góc tạo bởi đờng thẳng d với dây AB nào đó bằng góc nội tiếp chắn cung AB. Cho hình vẽ:. Ph ơng pháp 3 : Sử dụng định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung. Cho hình vẽ:. Nếu BAxã = 12 sđ AmBẳ thì Ax là một tia tiếp tuyến của đờng tròn. u) Phơng pháp chứng minh một hệ thức liên hệ giữa các đoạn thẳng, các cạnh của hai tam giác, các đoạn thẳng với bán kính của đờng tròn ,.
Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử (là số hoặc đa thức) từ vế này sang vế kia của bất phơng trình ta phải đổi dấu hạng tử. đó => ta có thể xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế. Quy tắc nhân: Khi nhân hai vế của một bất phơng trình với cùng một số khác 0, ta phải: Giữ nguyên chiều BPT nếu số đó dơng; đổi chiều BPT nếu số đó âm. 4) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức. - Với những bài toán tìm giá trị của phân thức thì phải tìm điều kiện của biến để phân thức đợc xác định (mẫu thức phải khác 0). Dạng 3 : Rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai, căn bËc ba. Lí thuyết chung:. a) Các công thức biến đổi căn thức.
Phân dạng bài tập chi tiết. Dạng 3.3 : Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến. Dạng 3.4 : Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức. Dạng 3.5 : Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên. Dạng 3.6 : Tìm giá trị của biến khi biết dấu của biểu thức. Dạng 3.7 : Chứng minh bất đẳng thức sau khi đã rút gọn. Dạng 3.8 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức. Lí thuyết chung. Khi đại lợng x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì y đợc gọi là hàm hằng. 2) Các cách thờng dùng cho một hàm số.
Khi đại lợng x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì y đợc gọi là hàm hằng. 2) Các cách thờng dùng cho một hàm số.
Khi đại lợng x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì y đợc gọi là hàm hằng. 2) Các cách thờng dùng cho một hàm số. ờng thẳng luôn song song với. ờng thẳng luôn song song. víi trôc Oy. điểm) luôn đi qua gốc toạ độ.
Giải hệ phơng trình này tìm đợc a, b và suy ra phơng trình đờng thẳng (d) cần lập.
- Giải hệ phơng trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó. *) Điều kiện để hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm. Các phơng pháp giải hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn. Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu. a) Phơng pháp cộng đại số.. *) Cách giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số. Bớc 2: áp dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, trong đó có một phơng trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phơng trình một ẩn). Bớc 3: Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. k.ax kby kc. *) Cách giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế. Bớc 1: Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phơng trình đã cho để đ- ợc một hệ phơng trình mới, trong đó có một phơng trình một Èn. Bớc 2: Giải phơng trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. c) Phơng pháp đồ thị. - Vẽ hai đờng thẳng biểu diễn hai tập nghiệm của hai phơng trình trong hệ. - Dựa vào đồ thị, xét vị trí tơng đối của hai dờng thẳng. +) Nếu hai đờng thẳng cắt nhau thì hệ có nghiệm duy nhất, dựa vào đồ thị đoán nhận nghiệm duy nhất đó, sau đó thử lại và kết luận nghiệm của hệ. +) Nếu hai đờng thẳng song song thì hệ vô nghiệm. +) Nếu hai đờng thẳng trùng nhau thì hệ có vô số nghiệm.
(áp dụng cho các hệ phơng trình chứa ẩn ở mẫu, dới dấu căn bËc hai.).
- Hai hệ phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng một tập nghiệm (tức là mọi nghiệm của hệ này đều là nghiệm của hệ kia và ngợc lại).
*) Cách 2: Sử dụng đối với hệ phơng trình có tham số m dới dạng bậc nhÊt.
Bớc 3: Biến đổi điều kiện của đề bài (là một đẳng thức hoặc bất. đẳng thức) để có tổng và tích hai nghiệm, sau đó thay tổng và tích hai nghiệm có đợc ở bớc 2 vào điều kiện vừa biến đổi; từ đó giải phơng trình hoặc bất phơng trình với biến là tham số để tìm giá. Tiếp theo kiểm tra xem các giá trị tham số tìm đ- ợc có thỏa mãn hệ điều kiện ở bớc 1 hay không ?.
Đó là hệ thức độc lập với tham số giữa các nghiệm của phơng trình.
Khi đó A trở thành tam thức bậc hai ẩn là tham số. Chọn giá trị tham số thích hợp. Dạng 17: Chứng minh biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không. Hai phơng trình trên có nghiệm chung khi và chỉ khi hệ phơng trình:. Trừ vế với vế của hai phơng trình trong hệ ta có phơng trình dạng:. +) Nếu A(m) = 0, từ đẳng thức này ta rút ra một vài giá trị của m, sau đó thay trực tiếp vào hai phơng trình → giải hai phơng trình không chứa tham số và xét xem ứng với giá trị m đó hai phơng trình có nghiệm chung hay không ?. Thay vào một trong hai phơng trình ta rút ra một vài giá trị của m, sau đó thay từng giá trị của m vào hai phơng trình → giải hai phơng trình không chứa tham số và xét xem ứng với giá trị m đó hai phơng trình có nghiệm chung hay không ?.
Hai phơng trình trên có nghiệm chung khi và chỉ khi hệ phơng trình:. Trừ vế với vế của hai phơng trình trong hệ ta có phơng trình dạng:. +) Nếu A(m) = 0, từ đẳng thức này ta rút ra một vài giá trị của m, sau đó thay trực tiếp vào hai phơng trình → giải hai phơng trình không chứa tham số và xét xem ứng với giá trị m đó hai phơng trình có nghiệm chung hay không ?. Giải phơng trình này ta đợc nghiệm chung của hai phơng trình, sau đó thay nghiệm chung đó vào một trong hai phơng trình ta tìm đợc giá trị của tham số m, nếu cần thiết thử lại để kiểm tra C.
Phơng pháp này thờng đợc dùng cho những đa thức cần phân tích thành nhân tử cha có nhân tử chung hoặc cha áp dụng ngay đợc hằng. đẳng thức mà sau khi nhóm các hạng tử đó hoặc biến đổi sơ bộ rồi nhóm lại thì xuất hiện hằng đẳng thức hoặc có nhân tử chung, cụ thể:. ớ c 1: Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhãm. ớ c 2: Nhóm để áp dụng phơng pháp hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung. ớ c 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức. Phơng pháp 4: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử. *) Lí thuyết chung: Phơng pháp này nhằm biến đổi đa thức để tạo ra những hạng tử thích hợp để nhóm hoặc sử dụng hằng đẳng thức:. Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu. - Nhẩm nghiệm của đa thức:. +) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ ⇒ đa thức có nghiệm bằng - 1. - Dựa vào đặc điểm của đa thức đã cho ta đa vào 1 hoặc nhiều biến mới để đa thức trở thành đơn giản .Phơng pháp này thờng đợc sử dụng để đa một đa thức bậc cao về đa thức bậc 2 mà ta có thể phân tích.