MỤC LỤC
Phương pháp trực tiếp kiểm tra tính chính quy của cặp ma trận sẽ gặp khó khăn khi E, A là các ma trận cấp cao. Từ quan điểm tính toán, Luenbeger đã đưa ra một tiêu chuẩn khác kiểm tra tính chính qui của cặp ma trận E A, , được gọi là thuật toán trộn. Nếu E là không suy biến thì E A, là cặp ma trận chính quy và dừng thuật toán.
Còn nếu E là suy biến, bằng cách biến đổi hàng ta có thể chuyển E A về ma trận khối dạng.
Nghiệm của chuỗi thời gian hữu hạn có thể tínhđược tường minh theo công thức các công thức (1.23a) và (1.23b). Nếu ngược lại thì chuỗi thời gian hữu hạn (1.19) không có tính chất nhân quả. Hiển nhiên, theo công thức nghiệm (1.23a), hệ phương trình sai phân thường là hệ có tính chất nhân quả.
Ta thấy, trạng thái x k( ) tại mỗi thời điểm k của chuỗi thời gian hữu hạn được xác định không chỉ bởi điều kiện ban đầu z1(0) và các điều khiển. Điều này thể hiện sự khác biệt quan trọng giữa phương trình sai phân thường và phương trình sai phânẩn.
Chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là điều khiển được hoàn toàn nếu và chỉ nếu. Điều kiện cầnGiả sử chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là điều khiển được hoàn toàn. Khi ấy với mỗi wn bất kì phương trình Muw luôn có nghiệm (tồn tại u ) hay M là ánh xạ tràn.
Nhận xét Theo chứng minh trên, chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là điều khiển được hoàn toàn khi và chỉ khi hai hệ tiến (2.2a) và hệ lùi (2.2b) tương ứng là điều khiển được hoàn toàn. Chuỗi thời gian hữu hạn rời rạc (2.1) được gọi là điều khiển được trong tập đạt được ban đầu hay R-điều khiển được nếu với mọi điều kiện cuối cố định cho trước x L , mọi trạng thái xuất phát từ một điều kiện ban đầu bất kì2( ) đều có thể điều khiển được về một trạng thái bất kỳ nào trong Rx L2( ) bởi các điều khiển u k sau một thời gian nào đó.( ). Kí hiệu Y-điều khiển được là được lấy từ chữ cái đầu tiên của từ “nhân quả”.
Ta có thể thấy, trong nhiều hệ thực tế, tính không nhân quả thường gây nhiều bất ngờ khó kiểm soát. Mặt khác, nó có thể là nguyên nhân gây ra nhiều vấn đề trongđiều khiển, nhận dạng vàđánh giá hệ thống. Tính Y-điều khiểnđược đảm bảo khả năng điều khiển mang tính nhân quả nhờ cácđiều khiển ngược theo trạng thái.
Chuỗi thời gian hữu hạn (2.14) được gọi là R-quan sát được nếu nó là quan sát được trong mọi tập đạt được ban đầu Rx L với mọi điều kiện cuối2( ). Vậy chuỗi thời gian hữu hạn (2.19) không là quan sát được và cũng không là Y-quan sát được nhưng lại là R-quan sát được.
Ta cộng các phương trình này lại và chú ý rằng Nh 0 ta có công thức biểu diễn của trạng thái con x k :2( ). Với điều kiện ban đầu cho trước, hệ phương trình sai phân thường luôn có nghiệm, còn hệ phương trình sai phân ẩn thì không phải lúc nào cũng có nghiệm với bất kỳ điều kiện ban đầu. Điều kiện (2.26) được gọi là điều kiện ban đầu chấp nhận được thỏa mãn theo trạng thái ban đầu x(0).
Các công thức (2.25) và (2.26) không chỉ cho ta thấy sự khác biệt giữa hệ phương trình sai phân ẩn và hệ phương trình sai phân thường. Nó còn cho ta thấy sự khác nhau giữa hệ phương trình sai phân ẩn và hệ phương trình vi phânđại số (xem [6], trang 243). Thí dụ 2.3.1.1 cho thấy, hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn nói chung không có tính nhân quả.Để xácđịnh được trạng thái của hệ, nói chung ta phải cần đến cácđiều khiển tương lai.
Do đó, mục tiêu của tiêu dùng tương lai thường được sử dụng cho sản xuất trong thời điểm hiện tại. Bởi vì quan hệ vào-ra chỉ phụ thuộc vào tínhđiều khiển được và tính quan sát được của các hệ con nên ta giả sử rằng cặp ma trận ( ,N B C2, 2) là điều khiển được và quan sát được, tức là. Tương tự như trong 2.2 và 2.3, ta đưa vào các khái niệm điều khiển được và quan sátđược cho hệ phương trình sai phân tuyến tínhẩn như sau.
Hệ (2.20) được gọi là điều khiển được(tương ứng, R-điều khiển được; Y-điều khiển được) nếu với mọi Ln đủ lớn, chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là điều khiển được (tươngứng, R-điều khiển được; Y-điều khiển được). Hệ (2.20) được gọi làquan sát được (tươngứng, R-quan sátđược; Y-quan sát được) nếu với mọi Lnđủ lớn, chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là quan sát được (tươngứngR-quan sát được; Y-quan sát được). Song song với hệ phương trình sai phân ẩn (2.20), ta xét hệ phương trình vi phânẩn (hệ phương trình vi phânđại số) tuyến tính dừng sauđây.
Định lý dưới đây cho mối quan hệ giữa tínhđiều khiển được và quan sátđược của hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn và hệ phương trình vi phân đại số (xem [6], trang 244). Hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính (2.20) là điều khiển được (R-điều khiển được; Y-điều khiển được) nếu và chỉ nếu hệ liên tục (2.30) là điều khiển được (R-điều khiển được; Y-điều khiển được). Như vậy, nhờ định lý này, ta có thể kiểm tra tính điều khiển được và quan sát được của hệ phương trình sai phân tuyến tínhẩn (2.20) bằng cách sử dụng các tiêu chuẩn điều khiển được và quan sát được của hệ phương trình vi phânđại số tuyến tính (2.30).
Hệ phương trình sai phân (2.31) là ổn định nếu và chỉ nếu tập các điểm cực hữu hạn (the finite pole set) của nó.
Ký hiệu C vàN R là tập tất cả cácN điểm 0-điều khiển được (tươngứng, 0-đạt được) sau N bước. Ý nghĩa của 0-điều khiển được địa phương (0-đạt được địa phương) là ta có thể đi từ một điểm bất kì trong lân cận của gốc tọađộ trong không gian n về gốc tọa độ sau một thời gian hữu hạn (tương ứng, từ gốc tọa độ đi tới một điểm bất kỳ trong lân cận của gốc tọa độ trong không gian n sau một thời gian hữu hạn. Hệ (3.1) là 0-điều khiển địa phương nếu và chỉ nếu ma trận chuyển vị AT không có véc tơ riêng tựa trên tương ứng với giá trị riêng dương cũng không có vectơ riêng phức nào ứng với giá trị riêng phức khác 0 vuông góc với .
TÍNHĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦAHỆPHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨNTUYẾN TÍNH DỪNG Cể HẠN CHẾ TRấN BIẾN ĐIỀU KHIỂN Xét hệ phương trình sai phân thường tuyến tính dừng dạng. Các khái niệm điều khiển được và đạt được phát biểu trong 3.1 cho hệ phương trình sai phân thường (3.1) cũng được áp dụng cho hệ phương trình sai phânẩn (3.2). Ta có các tiêu chuẩn đạt được và điều khiển được cho hệ phương trình sai phânẩn dưới đây (xem [7], trang 83).
Trạng thái của hệ con tiến và hệ con lùi được xác định như sau. Tính toán trực tiếp chỉ ra rằng AiT có véc tơ riêng khác không với giá trị riêng. Luận văn đã trình bày các công thức nghiệm của phương trình sai phân ẩn tuyến tính nhằm làm sáng tỏ sự khác biệt cơ bản giữa phương trình sai phân thường và phương trình sai phânẩn.
Công thức nghiệm của phương trình sai phân cũng là công cụ hữu hiệu để nghiên cứu các tính chất định tính của hệ phương trình sai phânẩn tuyến tính có tham số điều khiển. Luận văn cố gắng trình bày một số vấn đề của lý thuyết định tính phương trình sai phânẩn tuyến tính (tínhđạt được, tínhđiều khiển được, tính quan sát được,ổn định vàổn định hóa,…) dưới dạng một tổng quan tươngđối đầy đủ và thời sự về những vấn đề này. Nhiều vấn đề của lý thuyết phương trình sai phân ẩn còn chưa được làm sáng tỏ.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế, nên luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được các ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn đồng nghiệp.