MỤC LỤC
(i) Ma trận A là xác định dương khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng của A đều dương. (ii) Ma trận A là nửa xác định dương khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng của A đều không âm và có tồn tại ít nhất một giá trị riêng bằng không.
Dưới vi phân của hàm lồi Định nghĩa 1.14. [1]
Do / lồi, chính thường và / hữu hạn, nên g cũng là một hàm lồi, chính thường trên Mn.
Đơn giản cho việc trình bày, trong mục này ta thống nhất sử dụng ký hiệu. Vậy bài toán bất đẳng thức biến phân chỉ là một trường hợp riêng của bài toán cân bằng. Cho hàm clà một tập khác rỗng trong Kn và g là hàm số xác định trên c.
(a) cđược gọi là tập ràng buộc, còn g được gọi là hàm mục tiêu. Hệ quả dưới đây được suy ra trực tiếp từ tính chất cực trị của hàm lồi:. địa phương đều là nghiệm tối ưu toàn cục. Giả sử g là hàm lồi khả vi liên tục trên tập mở w chứa u. Theo định nghĩa của nón pháp tuyến ngoài suy ra:. ) là hàm lồi khả vi liên tục trên tập mở w chứa u. Vậy bài toán cân bằng chỉ là trường hợp riêng của bài toán tựa cân bằng.
Trong các bài toán kinh tế, khoa học, công nghệ,..nảy sinh từ thực tế, chúng ta phải xem xét tối ưu hóa đồng thời nhiều mục tiêu. Việc làm tốt hơn mục tiêu này thường dẫn tới việc làm xấu đi một số mục tiêu khác (nghĩa là không có lời giải tối ưu nào cho mọi mục tiêu). Như vậy, chúng ta cần phải tối ưu hóa không phải chỉ một mục tiêu nào đó, mà là đồng thời tất cả các mục tiêu tương thích với nhau.
Trường hợp đặc biệt, nếu p — 1 (chỉ có một mục tiêu) thì Bài toán tối ưu véc tơ (VP) trở về bài toán tối ưu thông thường. Một trong những kỹ thuật để tìm nghiệm tối ưu Pareto yếu cho Bài toán tối ưu véc tơ (VP) là kỹ thuật vô hướng hóa. Ý tưởng của kỹ thuật này là để tìm một nghiệm Pareto, hay Pareto yếu của Bài toán (VP) ta chỉ cần giải một bài toán tối ưu một mục tiêu thông thường.
Điều này và theo định nghĩa của bài toán vô hướng hóa yếu ta suy ra s(x*) > s(x) là mâu thuẫn với X* là nghiệm tối ưu toàn cục của Bài toán. Ngoài ra để trả lời câu hỏi ngược lại, với mỗi nghiệm hữu hiệu u (tương ứng hữu hiệu yếu) của Bài toán tối ưu véc tơ (VP), có tồn tại hay không bộ trọng số A e MỊ+ (tương ứng là A € M") sao cho u là nghiệm tối ưu toàn cục của Bài toán vô hướng hóa (SVP(A)) (tương ứng Bài toán vô hướng hóa yếu (WSVP(A)) hay không?.
Trong Mô hình Nash-Cournot cổ điển, các hãng cạnh trạnh nhau một cách độc lập. Nói một cách cụ thể hơn, mức sản lượng tối ưu X * mà hãng ỉ đưa ra chỉ cần thuộc tập chiến lược riêng Ui của hãng và. lược chung ucủa Mô hình, mà không phải chịu thêm một ràng buộc chung nào khác. Tuy nhiên, trong thực tế thì mức sản lượng tối ưu mà các hãng lựa chọn thường phải thỏa mãn thêm một số ràng buộc chung nào đó. dụ như, tổng sản lượng hàng hóa X) xj của tất cả các hãng phải bằngn. Giả sử Kị : u_i—> Ui là một ánh xạ đa trị biểu thị khả năng mà chiến lược của tất cả các hãng j ^ i có thể tác động tới tập chiến lược của hãng i.
(A3) Mô hình Nash-Cournot suy rộng theo nghĩa là chiến lược của các hãng đưa ra không độc lập mà có ràng buộc chung. Như đã trình bày ở phần trên, nếu sử dụng cách tiếp cận cân bằng với Mô hình Nash-Cournot thì để tìm điểm cân bằng cho Mô hình chúng ta cần phải giải một Bài toán cân bằng (EP) với Mô hình cổ điển và giải Bài toán tựa cân. Nhìn chung thì việc giải các Bài toán cân bằng (EP) hay Bài toán tựa cân bằng (QEP) là phức tạp và hiện không có nhiều các thuật toán hiệu quả để giải các bài toán này.
Tuy nhiờn cỏc nghiờn cứu kinh tế cho thấy, tớnh lừm đối với cỏc hàm chi phớ là phổ biến hơn so với tính lồi. Ngoài ra, hiện có rất ít các thuật toán giải Bài toán tựa cân bằng (QEP) và ở các thuật toán này đều đòi hỏi các giả thiết rất nặng mà các Mô hình thực tế khó có thể thỏa mãn (xem [9]). Cách tiếp cận tối ưu véc tơ với các Mô hình Nash-Cournot cổ điển hay suy rộng được dựa trên một số căn cứ: Một là tối ưu véc tơ đã và đang được ứng dụng nhiều trong kinh tế; Hai là các điểm tối ưu véc tơ thường cho tổng lợi nhuận của tất cả các hãng cao hơn so với điểm cân bằng; Ba là việc giải các Bài toán cân bằng (EP), hay Bài toán tựa cân bằng (QEP) nhìn chung là phức tạp hơn so với việc tìm mộtdiem toi Hu Pareto cho Mo hinh.
Hon nUa, Bai toan toi Uu vec to (QVP) Ung vdi Mo hinh Nash- Cournor suy rong chi phUc tap hon Bai toan toi Uu vec to (VP) ling vdi Mo hinh Nash-Cournot co dien la do tap rang buoc D la giao cua hinh hop U vdi mot tap loi da dien {x E Kn : Ax < b}.
Nhờ vào cấu trúc đặc biệt của hàm F(X, x) và tập ràng buộc là một hình hộp, nên Quy Van Nguyên (xem [10]) đã sử dụng phương pháp đơn hình và đưa ra một thuật toán tìm nghiệm tối ưu toàn cục cho Bài toán vô hướng hóa (2.3) của Mô hình Nash-Cournot cổ điển. Tuy nhiên, thuật toán này không thể áp dụng để giải Bài toán vô hướng hóa (SQVP) của Mô hình Nas-Cournot suy rộng.
Một tập Gkhác rỗng sẽ được gọi là tập để chia (phân nhánh) nếu ứng với mỗi một tập con I khác rỗng của G ta xác định được tập ràng buộc Cj là một phần của cvà giải được bài toán nới lỏng hạn chế. Kỹ thuật chia thường được sử dụng là chia hộp (/ là một hình hộp), chia đơn hình (I là một đơn hình) với hai kiểu chia là chia vét kiệt hay chia thích nghi. Kỹ thuật chia thích nghi là kỹ thuật chia mà các điểm chia và cách chia ở bước lặp sau được xác định dựa trên các tiên đoán về tính chất của nghiệm tối ưu ở bước lặp trước đó.
Với kỹ thuật chia này thì dãycác tập để chia ựk} không nhất thiết phải teo dần về một điểm, nên việc chứng minh thuật toán hội tụ thường phức tạp. Mặc dù Bài toán (SQVP) là một quy hoạch toàn phương, nhưng do ma trận Q không xác định dương, hay nửa xác định dương nên Bài toán (SQVP) không phải là một bài toán lồi, và do đó việc tìm kiếm một nghiệm tối ưu toàn cục cho bài toán này là một nhiệm vụ khó khăn khi số lượng các biến lớn. Tuy nhiên, nhờ vào cấu trúc đặc biệt của ma trận Q, chúng ta có thể đưa ra thuật toán giải Bài toán (SQVP) bằng cách chuyển thành bài toán song tuyến tính.
Vậy là, để tìm một điểm Pareto cho bài toán (QVP), thay vì việc phải giải bài toán vô hướng hóa dạng toàn phương với biến X (nhìn chung không lồi)(SQVP) ta sẽ giải bài toán vô hướng hóa dạng song tuyến tính theo hai biến (t,x) là Bài toán (LSQVP). Do tính chất liên tục của hàm mục tiêu F dẫn đến Bài toán (LSQVP1) luôn có ít nhất một nghiệm tối ưu khi mà tập chiến lược chung D của mô hình là khác rỗng. Các kết quả ở phần trên cho thấy, tập để phân nhánh trong thuật toán nhánh cận giải Bài toán vô hướng hóa (LSQVP) ứng với biến t trong không gian 1 chiều.
Sử dụng các quy tắc tính cận và chia nhánh đã được giới thiệu ở các phần trên, sau đây chúng ta sẽ mô tả chi tiết thuật toán nhánh cận giải Bài toán vô hướng hóa (LSQVP). Bước khởi đầu: Gồm các công việc sau:. la) Nếu Oíỵ < /3k, thì dừng thuật toán và xk chính là nghiệm tối ưu cần tìm.
Đó cũng chính là một điểm hữu hiệu của Mô hình Nash-Cournot tương ứng. Tính toán trực tiếp, ứng với điểm hữu hiệu này, tổng lợi nhuận của cả ba hãng là 447. Do điều kiện về thời gian và trình độ nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong quý thầy cô và bạn bè đóng góp ý kiến và bổ sung để luận văn được hoàn thiện.