Giáo án môn toán nâng cao lớp 11

BÀI TẬP

Phân phối 4 quả cầu khác nhau vào 3 cái hộp khác nhau (có thể có hộp không chứa quả cầu nào sau khi xếp). Để tổ chức một trò chơi giữa hai lớp A và B, mỗi lớp cử 5 bạn tham gia. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn vào ngồi quanh 2 bàn tròn sao cho bàn thứ nhất có 6 bạn, bàn thứ hai có 4 bạn?.

Chú ý rằng hai cách xếp n người cụ thể vào ngồi quanh bàn tròn được coi là như nhau nếu bạn bên trái mỗi người trong cách xếp này cũng chính là bạn trong cách xếp kia. Cho một mạng giao thông như hình 2.3 mà các ô nhỏ đều là các hình vuông bằng nhau. Giải sử ở tại mỗi đỉnh của hình vuông du khách chọn ngẫu nhiên một trong hai hướng lên trên và sang phải để đi tiếp.

Bốn quả cầu được rút ngẫu nhiên (cùng một lúc) từ một cái hộp chứa 8 quả cầu đen và 4 quả cầu trắng. Giả sử ta sẽ nhận được 2 cái kẹo cho mỗi quả đen được rút ra và mất 1 kẹo cho mỗi quả trắng được rút.

GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM

VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

Chứng minh rằng phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng

* Để có thể dùng phép biến hình giải các bài toán tìm tập hợp điểm ta xem tập hợp điểm đó là ảnh của một hình đã biết qua một phép biến hình xác định. Do đó khi A chạy trên nửa đường tròn C, thì I chạy trên nửa đường tròn C’ là ảnh của C qua phép đồng dạng F. Chứng minh rằng hợp thành của hai phép đối xứng qua hai đường thẳng song song là một phép tịnh tiến.

Dựng về một phía của đường thẳng AC các tam giác đều ABD và BCE. Cho dây cung AB độ dài không đổi có hai đầu mút chạy trên đường tròn tâm O bán kính R và một điểm C cố định trên (O). Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC chạy trên một đường tròn cố định.

QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau. - Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn tương ứng tỉ lệ. Khi đó ba đường AA’, BB’, CC’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song sng với một mặt phẳng.

- Cách 2: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và tìm phương của giao tuyến. Một mặt phẳng (α) quay quanh IJ cắt cạnh AD và AC lần lượt tại K và L. Trong trường hợp IL và JK cắt nhau tại M thì điểm M chạy trên đường nào?.

Nhận xét rằng khi mặt phẳng (α) đi qua trung điểm E của đoạn AC thì (α) không cắt đường thẳng AB. Theo định lí Ta – lét đảo ta có: MN,AN, CF cùng song song với một mặt phẳng. Vì AB và CF chéo nhau nên (CFD) là mặt phẳng duy nhất chứa CF mà song song với AB.

Gọi M, N là hai điểm di động trên hai đoạn AD và BE sao cho AM NB. * Chú ý: Ta có thể sử dụng định lý Ta – lét đảo trong không gia để giải bài này. Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) và giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Gọi M, N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB và CD sao cho BM = CN. Từ đó suy ra thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNK) với hình hộp đã cho. Hãy xác định thiết diện tạo bởi hình lập phương đã cho và mặt phẳng (MNP).

QUAN HỆ VUễNG GểC TRONG KHễNG GIAN

• Ba vectơ được gọi là dồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. • Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O bất kì lần lượt song song với a và b. • Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

• Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa đường thẳng đó cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song vớ nhau. Gọi b là đường thẳng không thuộc (α) đồng thời không vuông góc với (α) và b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (α). Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) là góc tạo bởi đường thẳng d và hình chiếu d’ của d trên (α).

• Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. • Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó. * Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế kia Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là một hình chữ nhật.

Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) thì OMuuuur=xOA yOB zOCuuur+ uuur+ uuur. Trong mặt phẳng (ADI), ta vẽ AH ⊥ DI thì H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng (BCD). Gọi (α) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A và (β) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CB tại B.

Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và đến mặt phẳng Bài 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Lập luận tương tự đối với các điểm còn lại ta chứng minh được các khoảng cách từ các điểm này đến đường chéo AC’ đều bằng nhau. Trên các cạnh AD và BC ta lần lượt lấy các điểm P và Q sao cho PAuuur= −3PD QBuuur uuur, = −3QCuuur.

Hai tam giác đều ABC và ABD có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD); gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB và SD.