MỤC LỤC
Từ kết quả của mục trước, ta thấy cấu trúc của một tôpô tuyến tính hoàn toàn được xác định bởi hệ cơ sở lân cận gốc. Nếu tồn tại một hệ cơ sở lân cận gốc gồm toàn các tập lồi thìτ sẽ được gọi là tôpô (tuyến tính) lồi địa phương và X được gọi là không gian tôpô (tuyến tính) lồi địa phương. Cho X là một không gian vectơ. a) Nếu τ là một tôpô lồi địa phương trên X, thì tồn tại một cơ sở lân cận gốc B gồm toàn các tập lồi, cân đối, hấp thụ. Nếu chú ý rằng, với mọi V ∈ B ta có V ⊂ 2V, thì ta có thể khẳng định rằng mọi tôpô lồi địa phương đều tồn tại một cơ sở lân cận gốc lồi, cân đối và đóng.
Hơn nữa, ta có thể chứng minh được rằnglp là không gian lồi địa phương khi và chỉ khi p≥1.
Lúc đópC là hàm liên tục khi và chỉ khi C là một lân cận gốc. Hơn nữa, ta có. b) p là chuẩn nếu và chỉ nếu p = pC với C là một tập lồi, cân đối, hấp thụ và không chứa trọn đường thẳng nào. Từ Định lý 1.10 ta thấy, một tôpô lồi địa phương τ trên không gian vectơ X hoàn toàn được xác định bởi một họ các tập lồi, cân đối, hấp thụ B0 (theo nghĩa τ là tôpô tuyến tính yếu nhất nhận mọi tập V ∈ B0 làm lân cận gốc). Kết hợp với Mệnh đề 1.15 và Mệnh đề 1.16 ta có thể khẳng định thêm rằng τ hoàn toàn được xác định bởi một họ P0 các nửa chuẩn (theo nghĩa τ là tôpô tuyến tính yếu nhất sao cho mọi nửa chuẩn p ∈ P0 đều liên tục).
Nếu A⊂X là một tập compact và tồn tại số nguyên dương n sao cho, với mọi x ∈ coA đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của không quá n phần tử thuộc A, thì coA là tập compact.
KHÔNG GIAN LIÊN HỢP. b) Một siêu phẳng để một tập có phần trong khác rỗng về một phía thì đóng. Lúc đó, ta nói x0 là điểm tựa củaC trên siêu phẳngH(f;α)vàf là phiếm hàm tựa của tập lồiC tạix0. Ta ký hiệuNC(x0) là tập hợp tất cả các vectơ pháp tuyến ngoài liên tục củaC tại x0; tức là.
Cuối cùng, ta nhận được mệnh đề sau mà là mở rộng một phần của Hệ quả 1.1.
Tương ứng với mỗi x ∈ X, ta thiết lập một phiếm hàm φx trên X∗ được xác định bởi. Dễ kiểm chứng được rằng đây là một phiếm hàm tuyến tính trênX∗, và do đó, nếu đồng nhất mỗi x ∈ X với φx ta có thể xem X như một họ các phiếm hàm tuyến tính trên X∗. Tôpô tuyến tính yếu nhất τw∗ trên X∗ bảo đảm sự liên tục của mọi x∈X được gọi là tôpô yếu*trên X∗.
Tương tự tôpô yếu, ta có thể thấyτw∗ là tôpô lồi địa phương, có cơ sở lân cận gốc gồm các tập có dạng. Một điều đáng chú ý là bất luận tôpô trênX như thế nào, tôpô yếu* trên X∗ luôn luôn là Hausdorff. Như vậy có thể xem X là một không gian vectơ những phiếm hàm tuyến tính trên Y, hay X ≤Y#.
Ta sẽ ký hiệu tôpô tuyến tính yếu nhất trên X bảo đảm sự liên tục của mọi phiếm hàm y ∈ Y bởi σ(X, Y) và tôpô tuyến tính yếu nhất trên Y bảo đảm sự liên tục của mọi phiếm hàm x∈X bởiσ(Y, X). Giả sử (X, τ) là một không gian lồi địa phương Hausdorff với không gian liờn hợp X∗. Do tính đối xứng giữa các không gian X vàX∗, được thể hiện qua hệ quả trên, ta thường ký hiệu các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian lồi địa phương X làx∗ ∈X∗ và viết hx, x∗i thay cho x∗(x).
Trong mục này, ta xét trường hợp X là một không gian định chuẩn và X∗ là không gian liên hợp của nó. Ta đã biếtX∗ cũng là một không gian định chuẩn, hơn nữa là không gian Banach, với chuẩn được xác định bởi. Đến lượt nó, không gian định chuẩnX∗ cũng có không gian liên hợp gồm các phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗∗ trên nó mà ta ký hiệu là X∗∗, với chuẩn.
Với quan điểm như vậy, từ nay về sau ta luôn xem X là không gian con của không gian X∗∗. Vì không gian X∗∗ luôn luôn là không gian Banach, nên một không gian phản xạ phải là không gian Banach. Một không gian Banach X là phản xạ khi và chỉ khi hình cầu đơn vị đóng B0(0; 1) là compact yếu.
Một ví dụ đơn giản của hàm lồi là hàm chỉ; Cho C là tập con của X, ta gọi hàm chỉ của C là hàm. Lúc đó, dễ kiểm tra được rằng δC là hàm lồi khi và chỉ khi C là tập lồi. Ba phát biểu sau là tương đương. c) epif là một nón lồi. Bõy giờ, với mỗi tập F ⊂ X ìR cho trước, ta xột hàm tương ứng fF trờn X được định nghĩa như sau. Ta gọi cận trên và cận dưới của họ hàm này lần lượt là các hàm.
Nếuf(x0) hữu hạn thì điều kiện này có thể viết lại một cách tương đương rằng, với mọi >0tồn tại lân cận gốc V sao cho. Từ kết quả này mà một hàm nửa liên tục dưới còn được gọi là hàm đóng. Nếuf là hàm lồi chính thường trên Rn thì f liên tục trong tôpô tương đối của Aff(domf) tại mọi điểm x∈ri(domf).
Tập hợp tất cả các dưới gradient của f tại x0 được gọi là dưới vi phân của f tại điểm đó và được ký hiệu là ∂f(x0). Nếuf lồi, chính thường và liên tục tại một điểm nào đó, thì tại mọi điểm x0 ∈Int(domf), ∂f(x0) là tập lồi, compact yếu*, khác rỗng. Qua ví dụ này ta thấy đạo hàm theo hướng có thể tồn tại hoặc không, tuỳ theo từng trường hợp.
Tuy vậy, nếu f là hàm lồi thì đạo hàm của nó theo mọi hướng luôn luôn tồn tại. Cho f là một hàm lồi chính thường trên X và C là một tập con lồi khác rỗng của X.